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1)h = h(z − (n− 1)).
Levando esses resultados na fórmula de Newton, obtemos:
Pn(z) = y0 + hz∆y0 + h
2z(z − 1)∆2y0 + . . .+ (5.57)
hnz(z − 1) . . . [z − (n− 1)]∆ny0.
De�nição 5.7 De�nimos o conceito de diferenças �nitas, quando xi+1 − xi =
h, ∀i, da forma:
1) zero ordem: 40yi = yi
2) primeira ordem: 4yi = yi+1 − yi = 40yi+1 −40yi
3) segunda ordem: 42yi = 4yi+1 −4yi,
e assim por diante até a ordem n-ésima
n) ordem n: 4nyi = 4n−1yi+1 −4n−1yi
130 cálculo numérico
Exercício 5.9 Dada a tabela a seguir, construa as diferenças �nitas possíveis.
x 3, 5 4, 0 4, 5 5, 0 5, 5
y 9, 8 10, 9 12, 0 13, 1 16, 2
Teorema 5.4 Seja f uma função de�nida nos pontos (xi, yi), i = 0, . . . , n, tais
que xi+1 − xi = h, ∀i. Então:
∆nyi =
4nyi
n!hn
.
Levando esse resultado na fórmula (5.57), obtemos:
Pn(z) = y0 +
z
1!
4y0 + z(z − 1)
2!
42y0 + . . .+ (5.58)
z(z − 1) . . . [z − (n− 1)]
n!
4ny0.
A expressão do polinômio interpolador em (5.58) é chamada de fórmula de
interpolação de Gregory-Newton para diferenças �nitas.
Exercício 5.10 Mostre que o erro de truncamento para as diferenças �nitas é
dado por:
ET(z) = h
n+1z(z− 1)(z− 2) . . . (z− n) f
n+1(λ)
(n + 1)!
.
Exercício 5.11 Veri�que qual o número de operações envolvidas na fórmula de
Gregory-Newton e compare o resultado com a fórmula de Newton.
Exercício 5.12 Construa as diferenças �nitas com base na tabela dada abaixo e
em seguida determine o polinômio de Gregory-Newton:
x 3, 5 4, 0 4, 5 5, 0 5, 5
y 9, 8 10, 9 12, 0 13, 1 16, 2
5.8 Interpolação por Splines
Nas subseções anteriores apresentamos algumas técnicas de interpolação poli-
nomial onde a ordem do polinômio interpolador é determinada levando-se em con-
sideração o número de pontos da tabela, ou seja, dados os pontos {(x0, y0), (x1, y1),
. . . , (xn, yn)}, o polinômio interpolador será de ordem máxima n, sendo este po-
linômio único para qualquer ponto a ser interpolado.
interpolação 131
A técnica da interpolação por splines
1
é utilizada para construir um conjunto
de polinômios de mesma ordem para cada intervalo xi+1−xi, com i = 0, 1, . . . , n−
1, os quais obedecem alguns critérios de continuidade e suavidade.
De�nição 5.8 Sejam a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b, (n+1)-pontos distintos e
sejam f0, f1, f2, . . . , fn os valores de uma função f nos pontos xi, respectivamente.
A função spline de grau m, com pontos de interpolação xi, i = 0, . . . , n é uma
função polinomial S(x) que satisfaz às seguintes condições:
1. S(xi) = fi, i = 0, . . . , n.
2. S(x) é (m-1)-vezes derivável em cada ponto xi, 1 ≤ i ≤ n− 1.
3. Em cada subintervalo [xi, xi+1], S(x) é uma função polinômial de grau ≤ m.
4. S(x) é uma função contínua em todo o intervalo [a, b].
As condições acima indicam que a função spline é contínua por partes e suave,
pois é derivável, a exceção do spline linear, onde apenas a condição de continui-
dade é mantida.
5.8.1 Spline linear
O caso mais simples de aplicação da interpolação por spline é o linear. A spline
S(x) será formada por um conjunto de n-retas, onde cada reta está de�nida em
um intervalo [xi, xi+1], ou seja:
Si(x) = ai(x− xi) + bi, xi ≤ x ≤ xi+1, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1. (5.59)
Na expressão da spline linear (5.59) vemos que há 2n coe�cientes a serem
determinados. A continuidade da função requer (n−1) condições. Os n+1 graus
de liberdade restantes são usados para que a spline assuma os valores S(xi) =
fi, i = 0, 1, 2, . . . , n nos seus nós. Devemos ter, então:
Si+1(xi+1) = Si(xi+1), i = 0, 1, 2, . . . , n− 2. (5.60)
A condição anterior, quando aplicada à função (5.59) resulta em:
1
O termo splines surgiu a partir da utilização de um tipo de régua �exível a qual foi utilizada
na indústria para o design naval e de aviões. Um pouco da história sobre splines pode ser
encontrado na página da Wikipedia na internet.
132 cálculo numérico
ai+1(xi+1 − xi+1) + bi+1 = ai(xi+1 − xi) + bi. (5.61)
Mas, como a função deve passar por todos os pontos, temos que Si(xi) = fi
ou que Si+1(xi+1) = fi+1, portanto, obtemos da equação (5.61) que:
ai =
fi+1 − fi
xi+1 − xi . (5.62)
Se tais condições forem satisfeitas teremos garantida a continuidade. Note
que ai mede a inclinação da reta que liga os pontos xi a xi+1. Como m = 1
temos que m− 1 = 0 e portanto não é possivel impor a segunda condição em 5.8
referente a derivada.
Exercício 5.13 Dados os pontos {(−1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 1)}, determine a spline
linear e o valor interpolado para x = 3/2.
Exercício 5.14 A spline quadrática é uma função S(x) do tipo:
Si(x) = ai + bi(x− xi) + ci(x− xi)2, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Si+1(xi+1) = Si(xi+1), i = 0, 1, 2, . . . , n− 2,
S ′i+1(xi+1) = S
′
i(xi+1), i = 0, 1, 2, . . . , n− 2.
Note que temos 3n coe�cientes a serem determinados, mas a continuidade da
função e de sua derivada resultam em 2n− 2 condições. Para os n+ 2 graus de
liberdade restantes usamos as n + 1 condições S(xi) = fi, i = 0, 1, · · · , n e uma
das condições adicionais: S ′0(x0) = 0 ou S
′
0(x0) = S
′
n−1(xn). A primeira condição
é conhecida como spline natural e a segunda como spline correto. Utilizando a
condição de spline natural, determine a spline quadrática S(x).
5.8.2 Spline cúbica
Consideremos agora a spline cúbica, isto é, o caso em que os graus dos polinô-
mios Si(x) são m = 3 em cada subintervalo.
Sejam os pontos {(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn)} e sejam as funções
Si(x) = ai + bi(x− xi) + ci(x− xi)2 + di(x− xi)3, (5.63)
com i = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
interpolação 133
De acordo com as propriedade da função spline, devemos ter a continuidade
nos pontos internos, assim:
Si+1(xi+1) = Si(xi+1), i = 0, 1, 2, . . . , n− 2. (5.64)
Logo, como S(xi) = fi = yi = ai, temos que
fi + bi(xi+1 − xi) + ci(xi+1 − xi)2 + di(xi+1 − xi)3 = fi+1, (5.65)
pois S(xi+1) = ai+1 = fi+1.
De�nido-se hi = xi+1 − xi, a expressão (5.65) torna-se:
fi+1 = fi + bihi + cih
2
i + dih
3
i . (5.66)
Agora, como m = 3 devemos ter a continuidade nas derivadas até ordem dois.
Assim,
S ′i+1(xi+1) = S
′
i(xi+1), i = 0, 1, 2, . . . , n− 2, (5.67)
S ′′i+1(xi+1) = S
′′
i (xi+1), i = 0, 1, 2, . . . , n− 2. (5.68)
Da condição da derivada primeira, temos
bi+1 = bi + 2cihi + 3dih
2
i , (5.69)
e da segunda condição temos,
ci+1 = ci + 3dihi. (5.70)
Da condição (5.70) obtemos:
di =
ci+1 − ci
3hi
. (5.71)
Substituindo o valor de di dado em (5.71) na equação (5.66), temos
fi+1 = fi + bihi + cih
2
i +
ci+1 − ci
3hi
h3i ,
fi+1 = fi + bihi +
hi
3
(2ci + ci+1). (5.72)
134 cálculo numérico
Substituindo agora a equação (5.71) na equação (5.69), temos
bi+1 = bi + 2cihi + 3h
2
i
ci+1 − ci
3hi
,
bi+1 = bi + hi(ci + ci+1). (5.73)
Extraindo bi da equação (5.72), obtemos:
bi =
fi+1 − fi
hi
− hi
3
(2ci + ci+1), (5.74)
que fazendo i→ i− 1, temos
bi−1 =
fi − fi−1
hi−1
− hi−1
3
(2ci−1 + ci). (5.75)
Da equação (5.73) podemos escrever, tomando, i→ i− 1,
bi = bi−1 + hi−1(ci−1 + ci), (5.76)
que substituindo na equação (5.75) e igualando a bi dado na equação (5.74),
obtemos:
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 = 3
fi+1 − fi
hi
− 3fi − fi−1
hi−1
, (5.77)
com i = 1, 2, 3, . . . , n− 1 e onde usamos que ai = fi e ai+1 = fi+1.
Vemos que a expressão (5.77) gera (n − 1) equações para um total de n + 1
incógnitas. Portanto, ainda precisamos de duas condições adicionais para poder-
mos determinar os coe�cientes c0 e cn. Para isso, é comum adotar-se uma das
duas condições adicionais:
S ′′0 (x0) = S
′′
n−1(xn) = 0, (5.78)
ou
S ′0(x0) = f
′(x0), S ′n−1(xn) = f
′(xn). (5.79)
A condição (5.78) é conhecida como spline natural e a condição (5.79) é co-
nhecida como spline correto. A condição de spline natural resulta em:
interpolação 135
S ′′i (x) = 2ci + 6di(x− xi),
x = x0