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⇒ S ′′0 (x0) = 2c0 + 6d0(x0 − x0) = 0⇒ c0 = 0, (5.80)
e para
x = xn ⇒ S ′′n−1(xn) = 2cn−1 + 6dn−1(xn − xn−1) = 0,
que substituindo dn−1 dado em (5.71), temos
2cn−1 + 6
cn − cn−1
3hn−1
hn−1 = 0 ⇒ cn = 0. (5.81)
Agora, determinando-se os ci a partir das equações geradas por (5.77) e uma
das condições adicionais, os demais coe�cientes da spline serão determinados. A
condição de spline natural deve ser utilizada quando temos uma tabela contendo
pontos, pois neste caso não dispomos da função f que gerou a tabela.
Resumindo, as equações para determinar a spline cúbica:
Si(x) = fi + S
′
i(xi)(x− xi) +
zi
2
(x− xi)2 + zi+1 − zi
6hi
(x− xi)3, (5.82)
são:
S ′i(xi) = bi =
fi+1 − fi
hi
− zi+1hi
6
− zihi
3
, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1, (5.83)
e com ci =
zi
2
, i = 0, 1, 2, . . . , n e xi ≤ x ≤ xi+1, hi = xi+1 − xi, para i =
0, 1, 2, . . . , n− 1; a equação para determinar os zi é dada por,
hizi + 2(hi + hi+1)zi+1 + hi+1zi+2 = 6
(
fi+2 − fi+1
hi+1
− fi+1 − fi
hi
)
, (5.84)
onde i = 0, 1, 2, . . . , n− 2, e assumindo a condição de spline natural z0 = zn = 0.
Exemplo 5.6 Sejam os pontos {(0, 1), (1, 0), (2, 1/2), (3, 1)}. Determine a spline
cúbica natural para os pontos dados.
Solução: Temos 4 pontos tabelados. Logo, com a imposição da spline natural
temos que z0 = z3 = 0. Temos também que:
136 cálculo numérico
h0 = x1 − x0 = 1, h1 = x2 − x1 = 1, h2 = x3 − x2 = 1,
f1 − f0 = −1, f2 − f1 = 1/2, f3 − f2 = 1/2.
Para i = 0, temos:
h0z0 + 2(h0 + h1)z1 + h1z2 = 6
(
f2 − f1
h1
− f1 − f0
h0
)
⇒ 4z1 + z2 = 9.
Para i = 1, temos:
h1z1 + 2(h1 + h2)z2 + h2z3 = 6
(
f3 − f2
h2
− f2 − f1
h1
)
⇒ z1 + 4z2 = 0.
Resolvendo o sistema linear para as variáveis z1 e z2, obtemos:
z1 =
12
5
, z2 = −3
5
. (5.85)
Agora, substituindo estes valores na equação (5.83), obtemos:
S ′0(x0) = b0 =
f1 − f0
h0
− z1h0
6
− z0h0
3
= −7
5
,
S ′1(x1) = b1 =
f2 − f1
h1
− z2h1
6
− z1h1
3
= −1
5
,
S ′2(x2) = b2 =
f3 − f2
h2
− z3h2
6
− z2h2
3
=
7
10
.
Portanto, substituindo em (5.82), temos:
S0(x) =
2
5
x3 − 7
5
x+ 1, x0 ≤ x ≤ x1,
S1(x) = −1
2
x3 +
27
10
x2 − 41
10
x+
19
10
, x1 ≤ x ≤ x2,
S2(x) =
1
10
(x3 − 9x2 + 59x− 85), x2 ≤ x ≤ x3.
Exercício 5.15 Aproxime a função f(x) = sen(x) por uma spline natural, con-
siderando os pontos x0 = 0, x1 = pi/4, x2 = pi/2. Veri�que o valor interpolado
para x = pi/6 e compare com o valor obtido diretamente da função.
interpolação 137
Neste capítulo, foram apresentados alguns métodos de interpolação polino-
mial. No entanto, há outros métodos de interpolação polinomial, como a aproxi-
mação de uma função por polinômios de Chebyshev, ou ainda por meio de funções
que não sejam polinômios, como, por exemplo, pela aproximação por funções ra-
cionais, cujo método é conhecido como aproximação de Padé. Um estudo sobre
essas novas técnicas está fora do escopo deste livro, e por isto não serão tratadas
aqui.
5.9 Exercícios propostos
1. Desenhe os grá�cos das funções f(x) = senx e g(x) = x− x3
6
+ x
5
120
e veri�que
em que intervalo o polinômio é uma boa aproximação da função sen (x).
2. Seja a tabela
x 0 0, 25 0, 5
y 1, 0 1, 064494458 1, 284025416
.
Encontre o polinômio interpolador quadrático para os pontos da tabela, e,
em seguida, compare os grá�cos do polinômio interpolador com o da função
f(x) = ex
2
. Determine o valor do polinômio em x = 0, 4 e estime o erro de
truncamento cometido pela aproximação.
3. Na série de �cção cientí�ca Star Trek, a nave Enterprise viaja com veloci-
dade medida em Wraps, onde 1 Wrap é igual à velocidade da luz no vácuo
c, e 10 Wraps é in�nitamente rápido. De acordo com o Star Trak: The
Next Generation Technical Manual, by Sternbach e Okuda, a relação entre
Wraps e a velocidade da luz c é dada pela tabela (veja [Etchells, 97]):
Wrap 1 2 3 4 5 6 7 8 9
c 1 10 39 102 214 392 656 1024 1516
.
Determine o polinômio interpolador de Lagrange para esses pontos e, em se-
guida, determine qual o valor da velocidade da Enterprise quando a mesma
viaja com uma velocidade de 5, 5 Wraps.
Nota: De acordo com a teoria da Relatividade Geral de Einstein, nada
pode viajar com uma velocidade superior à velocidade da luz no vácuo c,
embora haja uma teoria que propõe partículas com velocidades superiores
à da luz, chamadas de tachyons, mas estas ainda não foram comprovadas
experimentalmente ou observacionalmente.
4. A tabela a seguir apresenta o Produto Interno Bruto per Capita (PIBpC)
do Brasil, medido em US$. Determine o polinômio interpolador de Newton
138 cálculo numérico
nos pontos tabelados e estime o valor da PIBpC em 1964.
Ano 1900 1913 1950 1973 1987
PIBpC −BR 436 521 1073 2504 3417
Na tabela a seguir, o PIBpC dos Estados Unidos é apresentado em US$.
Observando que o intervalo entre os anos é constante, utilize o método de
interpolação de Gregory-Newton para encontrar o polinômio interpolador
referente a esta tabela. Em seguida, cálcule o PIBpC dos Estados Unidos
no ano de 1964 e compare ao valor brasileiro.
Ano 1890 1910 1930 1950 1970
PIBpC − US 3101 4538 5642 8605 12815
Que conclusões você pode tirar deste exercício?
5. O método da interpolação estudado neste capítulo pode também ser apli-
cado para determinar o valor de x para certo valor de y, quando temos uma
função da forma y = f(x). Esse procedimento é conhecido com interpolação
inversa, e é obtido com a troca dos papéis de x com y na interpolação direta.
Usando os valores tabelados a seguir, determine o polinômio interpolador
de Lagrange de ordem 3, e em seguida indique o valor do ângulo cujo seno
é 0.6. Qual o erro de truncamento?
y 0, 0 0, 5 0, 8660254037 1, 0
x = arcsen y 0, 0 pi
6
pi
3
pi
2
Capítulo 6
AJUSTE DE CURVAS
Neste capítulo, vamos estudar o método de ajuste de curvas (funções), uti-
lizando a técnica dos mínimos quadrados. Essa técnica de aproximação tem
características diferentes da interpolação polinomial.
Suponha que temos um conjunto de pontos tabelados da forma
{(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xm, ym)}
e desejamos obter a expressão y = f(x), que relaciona x a y, e com esse resultado
desejamos determinar o valor de y para certo valor de x que não conste na tabela,
podendo o valor de x estar, inclusive, fora do intervalo [x1, xm].
Emmuitas ocasiões, o método da interpolação não é aconselhável. Em particu-
lar:
• Quando é preciso obter um valor aproximado da função para valores fora
do intervalo tabelado. Isso caracteriza uma extrapolação.
• Em experimentos físicos ou em alguma pesquisa onde existem erros ineren-
tes devidos aos instrumentos etc., os quais não são previsíveis.
Assim, não há necessidade de calcularmos exatamente a função f que origina
os pontos tabelados, e sim a função que melhor se ajusta aos pontos dados. Esse
ajuste dá a idéia de um comportamento médio da função.
Neste capítulo, vamos tratar apenas dos ajustes de curvas nos casos de pontos
discretos. Mas, qual o sentido da expressão �melhor se ajusta� aos pontos da
tabela?
Suponha que temos o seguinte caso visto na Figura 6.1. Como podemos dizer
qual das retas melhor se ajusta aos pontos dados? Alguns critérios para medir a
qualidade do ajuste podem ser propostos.
140 cálculo numérico
Figura 6.1: Ajuste por retas.
6.1 Critérios para medida da qualidade dos
ajustes
Se por algum processo determinarmos uma função f ∗ para a curva originada
a partir de uma tabela dada, podemos comparar o valor de f ∗(xi) com os valores
de yi.
De�nição 6.1 O erro ou resíduo de valor é dado por:
Ri = f
∗(xi)− yi.
Assim, podemos imaginar os processos de ajuste da forma:
1. Todos os erros devem tender a zero, isto é: Ri → 0. Esse critério não é in-
teressante,