A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
217 pág.
NotasdeAula_CN

Pré-visualização | Página 28 de 38

o resultado da derivação aproximada pela diferença cen-
tral para o caso de aproximação da função pelo polinômio de Gregory-Newton de
segunda ordem. Qual a expressão para o erro de truncamento?
158 cálculo numérico
7.3 Derivadas de ordem superior
A aproximação das derivadas de ordem superiores pode ser obtida seguindo-se
o mesmo raciocínio. Se considerarmos a aproximação da função por um polinô-
mio interpolador de Gregory-Newton de segunda ordem, neste caso teremos três
pontos, após algumas manipulações obtemos:
f ′′(x0) ∼= y2 − 2y1 + y0
h2
,
e o erro de truncamento associado será:
ET (x0) = −hf ′′′(λ).
Observe que podemos obter também ainda as derivadas segundas nos pontos
x1 e x2. De forma análoga, a derivada segunda pode ser obtida a partir do
polinômio de Gregory-Newton com ordens superiores a dois.
Para a estimativa da derivada terceira, devemos considerar, pelo menos, o
polinômio de ordem três. Neste caso, após algumas manipulações, obtemos:
f ′′′(x0) ∼= y3 − 3y2 + 3y1 − y0
h3
.
Observe que podemos obter também ainda as derivadas terceiras nos pontos
x1, x2 e x3. De forma análoga, a estimativa da derivada terceira pode ser obtida
a partir do polinômio de Gregory-Newton com ordens superiores a três.
Exercício 7.2 Deduza as aproximações e os erros de truncamentos para as de-
rivadas de ordem dois e três apresentadas acima e, determine também estas de-
rivadas considerando polinômios de Greogory-Newton de ordem imediatamente
superiores, nos respectivos casos.
Exemplo 7.2 Usando a tabela, determine o valor de f ′(1, 4).
x 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6
f(x) 1, 5095 1, 6984 1, 9043 2, 1293 2, 3756
Solução: considerando a aproximação por um polinômio de primeiro grau, a
diferença progressiva aproxima o valor da derivada por:
f ′(1, 4) ∼= f(1, 5)− f(1, 4)
0, 1
= 2, 2500.
Considerando a aproximação por um polinômio de grau dois, a derivada é
aproximada por uma diferença progressiva dada por
f ′(1, 4) ∼= 1
0, 2
[−3f(1, 4) + 4f(1, 5)− f(1, 6)] = 2, 1435.
métodos de derivação numérica 159
7.4 Extrapolação de Richardson
A partir da equação da diferença central (7.8), podemos de�nir o termo:
F (h) =
f(x+ h)− f(x− h)
2h
.
Se o erro de truncamento, quando h → 0, for conhecido podemos obter uma
boa aproximanção para F (0), que corresponde à derivada da função f(x), pois:
lim
h→0
F (h) = f ′(x).
A função F (h) pode ser escrita como
F (h) = f ′(x) +
h2f ′′′(λ)
6
+O(h4).
Se considerarmos um passo de comprimento 2h nessa expressão, temos:
F (2h) = f ′(x) +
4h2f ′′′(λ)
6
+O(h4).
Subtraindo as duas expressões, temos:
F (2h)− F (h) = 3h
2f ′′′(λ)
6
+O(h4)⇒
F (2h)− F (h)
3
=
h2f ′′′(λ)
6
+O(h4). (7.15)
A expressão
ET (F (h)) =
h2f ′′′(λ)
6
corresponde ao erro de truncamento associado à função F (h), o qual pode ser
estimado pela expressão do lado esquerdo da equação (7.15).
Usando a equação (7.15) na expressão para F (h), obtemos:
F (h) = f ′(x) +
F (2h)− F (h)
3
+O(h4),
que nos dá a derivada
f ′(x) = F (h) +
F (h)− F (2h)
3
+O(h4). (7.16)
Observe que a derivada na expressão (7.16) possui um erro de truncamento
da ordem de O(h4), em vez de O(h2) como na fórmula da diferença central (7.8).
160 cálculo numérico
O método para obtenção da derivada primeira de ordem superior no erro, com
base em uma fórmula de derivação de ordem inferior, é conhecido como extrapo-
lação. A derivada f ′(x) dada pela fórmula (7.16) é conhecida como extrapolação
de Richardson.
Podemos mostrar que o método de extrapolação de Richardson para derivadas
resulta em erros de truncamento que são sempre potências pares de h.
Exemplo 7.3 Seja f(x) = ex e x0 = 1. Se usarmos a diferença central para
aproximarmos a derivada da função f ′(x0) para os valores de h = 0, 2 e h = 0, 4,
obtemos para a função F(h), respectivamente,
h F(h)
0, 2 2, 736439985
0, 4 2, 791351458
O erro de truncamento em F(0, 2) é estimado como
ET(F(0.2)) =
F(0, 2)− F(0, 4)
3
= −0, 01830382415,
e agora podemos obter o valor da derivada da função f no ponto x0 = 1 :
f ′(1) ≈ F(0, 2) + ET(F(0, 2)) = 2, 718136161.
Observe que o valor absoluto do erro do cálculo da derivada f ′(1) pelo método
de Richardson é de 1, 456674580× 10−4.
7.5 Exercícios propostos
1. Implemente um operador para calcular as derivadas primeiras de uma fun-
ção pelo método das derivadas progressivas, central e regressiva.
2. Determine a derivada da função f(x) = cos(x)√
10−ex2
, no ponto x = 1, uti-
lizando os operadores de�nidos no exercício anterior, para os passos h =
1; 0, 1; 0, 001.
3. Considere as funções f(x) = sen x e g(x) = cosx e calcule o valor apro-
ximado da derivada primeira dessas funções no ponto x = pi/3, usando o
método da diferença central com h = 0, 01.
4. Determine a derivada segunda da função f(x) = e
x
cosx+senx
, no ponto x = 1,
para os passos h = 0, 2; 0, 1; 0, 05; 0, 01. Usando o Derive , determine a
derivada exata da função e em seguida veri�que o erro de truncamento no
ponto x = 1.
métodos de derivação numérica 161
5. Por meio de um experimento, observou-se que a corrente elétrica I(t) em
um circuito era dada pela tabela a seguir:
t 1, 0 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4
I(t) 8, 23 7, 24 5, 99 4, 53 2, 91
Encontre o valor de I ′(1, 2) usando o método de Richardson. Qual será o
valor da voltagem para t = 1, 2 se a mesma é dada pela equação E(t) =
0, 05dI(t)
dt
+2I(t). Utilize o Derivepara resolver essa equação diferencial de
forma exata e compare com o resultado aproximado obtido.
162 cálculo numérico
Capítulo 8
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
NUMÉRICA
Um dos resultados mais importantes do cálculo diferencial e integral é o que
relaciona uma função f(x) à sua primitiva F (x). Esse resultado é formalmente
construído por meio do teorema fundamental do cálculo, o qual é enunciado a
seguir:
Teorema 8.1 (Teorema Fundamental do Cálculo) Seja f(x) uma função
contínua em um intervalo [a, b] e F(x) a sua primitiva, isto é, dF(x)
dx
= f(x), então
F′(x) = f(x)⇔
∫ b
a
f(x)dx = F(b)− F(a).
O teorema transforma o problema da integração pela soma de Riemann no
problema da determinação da primitiva. No entanto, a determinação da função
primitiva F (x) nem sempre é uma tarefa fácil, ou possível analiticamente. Além
disso, em muitas situações práticas nem sempre temos a forma analítica da função
a ser integrada (integrando). O que conhecemos são apenas pontos de uma tabela,
o que torna inviável a utilização direta do teorema fundamental do cálculo.
Neste capítulo, vamos estudar alguns métodos numéricos para obtenção de
integrais aproximadas. Os métodos de integração numérica estão classi�cados
em duas categorias:
• Métodos de Newton-Côtes, que empregam os valores de f(x), onde os valo-
res de x estão uniformemente espaçados;
• Método da Quadratura Gaussiana, que utiliza os pontos x com espaça-
mentos distintos. Nesse método, o espaçamento é determinado por certas
propriedades de polinômios ortogonais.
164 cálculo numérico
Entre as técnicas do método de Newton-Côtes, veremos as seguintes:
• Regra dos trapézios simples e composta;
• Primeira e a segunda regras de Simpson, simples e composta.
Para a obtenção da fórmula de Newton-Côtes, utilizaremos o polinômio inter-
polador de Gregory-Newton para aproximar a função do integrando, tomando
Pn(z) = y0 +
z
1!
4y0 + z(z − 1)
2!
42y0 + . . .+
z(z − 1) . . . [z − (n− 1)]
n!
4ny0 +Rn, (8.1)
onde Rn é o resíduo da aproximação pela interpolação e z =
x−x0
h
. A expressão
do resíduo é dada por:
Rn =
z(z − 1)(z − 2) . . . (z − n)hn+1fn+1(λ)
(n+ 1)!
, a ≤ λ ≤ b. (8.2)
Fazendo a aproximação da função f(x) no integrando por um polinômio de
Gregory-Newton e, resolvendo a integral, obtemos as fórmulas de Newton-Côtes.
8.1 Regra