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dos trapézios Para determinarmos a regra mais simples de integração numérica, vamos con- siderar o polinômio de Greogry-Newton de primeiro grau. Isso signi�ca que esta- remos aproximando a função por uma reta. Assim, fazendo n = 1 na expressão (8.1), temos: P1(z) = y0 + z4y0, R1(z) = z(z − 1)f ′′(λ) 2! . (8.3) Substituindo este polinômio na integral I = ∫ b a f(x)dx, com f(x) ' P1(z), temos: z = x− x0 h ⇒ dz = 1 h dx. métodos de integração numérica 165 Tomando os pontos extremos a = x0 e b = x1, a integral transforma-se em I = ∫ b a f(x)dx = ∫ z1 z0 (y0 + z4y0)hdz, z0 = x0 − x0 h = 0, z1 = x1 − x0 h = h h = 1. Logo, a integral �ca: I = ∫ 1 0 (y0 + z4y0)hdz = h[y0z +4y0 z 2 2 ] ∣∣∣1 0 (8.4) = h[y0 + 1 2 (y1 − y0)] = 1 2 h(y0 + y1). Como o valor de h é conhecido e y0, y1 estão dados na tabela, então o valor da integral é aproximado pela expressão (8.4), que é a Regra dos Trapézios para integração. A interpretação geométrica da regra dos trapézios é simples, a ilustração da Figura 8.1 mostra-nos o porquê desse nome. Figura 8.1: Regra dos trapézios. A área compreendida pela curva da função f(x) é aproximada pela área do trapézio formado pela reta P1(x). O valor dessa área é dado por: 166 cálculo numérico A = 1 2 h (f(x0) + f(x1)) = h 2 (y0 + y1), que é o resultado da regra dos trapézios. 8.1.1 Erro de truncamento A diferença entre o valor da área gerada por f(x) e a área gerada pela reta é o erro de integração. Para determinarmos o erro de truncamento na integração pela regra dos trapézios, devemos integrar o resíduo. Assim: ET = ∫ b a R1dx = ∫ 1 0 z(z − 1)h2 2! f ′′(λ)hdz (8.5) = h3 2! f ′′(λ) ( z3 2 − z 2 2 ) ∣∣1 0 = −h 3 12 f ′′(λ), a ≤ λ ≤ b. Observe que na expressão do erro dada em (8.5), se f ′′(λ) > 0, o erro será por excesso, e se f ′′(λ) < 0, o erro será por falta. Exemplo 8.1 Determinar o valor da integral ∫ 3,6 3,0 1 x dx, utilizando a regra dos trapézios. Solução: O resultado é falcilmente obtido, pois sabemos que o resultado da integral é dado por: I = h 2 (y0 + y1), mas como y = 1 x , obtemos facilmente os valores: y0 = 1 3, 0 ≈ 0, 333333, y1 = 1 3, 6 ≈ 0, 277777, h = x1 − x0 = 3, 6− 3, 0 = 0, 6. Logo: I ≈ 0, 183333. O cálculo do erro é: métodos de integração numérica 167 ET = −h 3 12 2 λ3 . Como sabemos que 3, 0 ≤ λ ≤ 3, 6, temos: |f ′′(λ)|max = 2 λ3 = 2 33 = 2 27 . Agora, o erro máximo será ET = −0, 6 3 12 2 27 ≈ −1, 33333× 10−3. 8.1.2 Fórmula composta dos trapézios Uma forma de melhorar o valor aproximado da integral, por meio da regra dos trapézios, é dividir o intervalo [a, b] em n partes iguais e aplicar a regra dos trapézios a cada uma dessas n partes. Como resultado da aplicação, teremos a soma das integrais aproximadas de cada uma das n partes: I = ∫ x1 x0 f(x) dx+ ∫ x2 x1 f(x) dx+ · · ·+ ∫ xn xn−1 f(x) dx = h 2 (y0 + y1) + h 2 (y1 + y2) + · · ·+ h 2 (yn−1 + yn) = h 2 (y0 + 2y1 + 2y2 + · · ·+ 2yn−1 + yn). (8.6) A fórmula (8.6) é conhecida como regra dos trapézios composta. O erro de truncamento é, então, a soma dos erros gerados pela aplicação da regra simples dos trapézios para cada um dos n intervalos. Dessa forma, temos: ET = ET0 + ET1 + · · ·+ ETn−1 , onde: ETi = − h3 12 f ′′(λi). Logo: ET = −h 3 12 n−1∑ i=0 f ′′(λi). É possível mostrar que o erro total transforma-se na expressão 168 cálculo numérico ET = −(b− a) 3 12n2 f ′′(λ), a ≤ λ ≤ b; f ′′(λ) = ∑n−1 i=0 f ′′(λi) n . (8.7) onde n corresponde ao número de divisões consideradas do intervalo [a, b]. Vemos que, quanto maior for o número n de divisões do intervalo, melhor é a aproximação pela regra dos trapézios composta. Exercício 8.1 Resolva, pela regra dos trapézios composta, a integral ∫ 3,6 3,0 1 x dx, to- mando o número de divisões do intervalo de integração igual a n = 6. Determine o erro cometido. 8.2 Regras de Simpson As regras de Simpson consideram a aproximação da função do integrando por polinômios de Gregory-Newton de ordem superior. 8.2.1 Primeira regra de Simpson Seja a integral I = ∫ b a f(x)dx = F (b)− F (a). A primeira regra de Simpson é obtida tomando a função f(x) por uma apro- ximação polinomial, usando o polinômio de Gregory-Newton de grau dois, isto é: f(x) ≈ P2(x), P2(z) = y0 + z4y0 + z(z − 1) 2! 42y0, z = x− x0 h . Assim, temos: I = ∫ b a f(x)dx ≈ ∫ b a P2(x)dx. Na aproximação por um polinômio de segundo grau, temos 3 pontos igual- mente espaçados. Considerando esses pontos como x0, x1, x2, vemos que para x0 = a e x2 = b, e como h = xi+1 − xi, então x = a ⇒ z = a−ah = 0 e x = b⇒ z = b−a h = 2h h = 2. Logo, a integral �ca: métodos de integração numérica 169 I ≈ ∫ b a P2(x)dx = ∫ 2 0 (y0 + z4y0 + z(z − 1) 2! 42y0)hdz ≈ h [ zy0 + z2 2 4y0 + ( z3 6 − z 2 4 ) 42y0 ] ∣∣2 0 ≈ h ( 2y0 + 24y0 + 1 3 42y0 ) . (8.8) Como sabemos que 4y0 = y1 − y0, 42y0 = y2 − 2y1 − y0, substituindo na expressão da integral (8.8), obtemos I ≈ h 3 (y0 + 4y1 + y2) , (8.9) que é a primeira regra de Simpson ou também conhecida como a regra do 1/3. O erro de truncamento do polinômio de segundo grau é dado por: R2(z) = z(z − 1)(z − 2) 3! f ′′′(λ)h3. Assim, o erro de truncamento da integral torna-se: ET = ∫ 2 0 z(z − 1)(z − 2) 3! f ′′′(λ)h4dz (8.10) = h4 3! f ′′′(λ) ∫ 2 0 (z3 − 2z2 + 2z)dz = h4 3! f ′′′(λ)( z4 4 − z3 + z2) ∣∣20 = 0. Vemos que o erro de truncamento não depende do R2. Dessa forma, devemos então considerar um resíduo menor tomando R3(z). Nesse caso: 170 cálculo numérico ET = ∫ 2 0 R3(z)dz (8.11) = ∫ 2 0 z(z − 1)(z − 2)(z − 3) 4! f iv(λ)h5dz = −h 5 90 f iv(λ), a ≤ λ ≤ b. Por meio dessa fórmula, vemos que, se a função f(x) for uma função polinomial de grau três ou inferior, o cálculo da integral via primeira regra de Simpson é exato, uma vez que f iv(λ) é zero para esses polinômios. 8.2.2 Primeira regra de Simpson composta A regra de Simpson composta é obtida considerando o intervalo [a, b] e divi- dindo-o em n subintervalos iguais com amplitudes h, e a cada par de subintervalos aplicamos a regra de Simpson simples. Observe que o número n deve ser par para termos um número par de subintervalos. Se considerarmos o intervalo [a, b] dividido da forma {[a = x0, x1], [x1, x2], · · · , [xn−2, xn−1], [xn−1, xn = b]}, sendo um número par, aplicando para cada conjunto de dois subintervalos a primeira regra de Simpson, temos: I1 ≈ h 3 (y0 + 4y1 + y2), (8.12) I2 ≈ h 3 (y2 + 4y3 + y4), . . . In/2 = h 3 (yn−2 + 4yn−1 + yn). Logo, o resultado da integral é a soma das várias subintegrais, resultando em: I = I1 + I2 + · · ·+ In/2 = h 3 (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + · · ·+ 2yn−2 + 4yn−1 + yn), (8.13) métodos de integração numérica 171 que é a primeira regra de Simpson composta. A expressão (8.13) da primeira regra de Simpson composta pode ser escrita de forma compacta como: I = h 3 y0 + 4 n/2∑ i=1 y2i−1 + 2 n/2−1∑ i=1 y2i + yn . (8.14) O erro de truncamento associado é determinado pela soma dos erros gerados por cada uma das integrais calculadas em cada subintervalo. Dessa forma: ET = ET1 + ET2 + · · ·+ ETn/2 . Podemos demonstrar que o valor do erro é dado por: ET = − h 5 180 nf iv(λ), (8.15) ou, substituindo h = b−a n , obtemos: ET = −(b− a) 5 180n4 f iv(λ), a ≤ λ ≤ b. (8.16) Note que o erro de truncamento nesse caso diminui com a quarta