NotasdeAula_CN

dos trapézios
Para determinarmos a regra mais simples de integração numérica, vamos con-
siderar o polinômio de Greogry-Newton de primeiro grau. Isso signi�ca que esta-
remos aproximando a função por uma reta. Assim, fazendo n = 1 na expressão
(8.1), temos:
P1(z) = y0 + z4y0, R1(z) = z(z − 1)f
′′(λ)
2!
. (8.3)
Substituindo este polinômio na integral
I =
∫ b
a
f(x)dx,
com f(x) ' P1(z), temos:
z =
x− x0
h
⇒ dz = 1
h
dx.
métodos de integração numérica 165
Tomando os pontos extremos a = x0 e b = x1, a integral transforma-se em
I =
∫ b
a
f(x)dx =
∫ z1
z0
(y0 + z4y0)hdz,
z0 =
x0 − x0
h
= 0, z1 =
x1 − x0
h
=
h
h
= 1.
Logo, a integral �ca:
I =
∫ 1
0
(y0 + z4y0)hdz = h[y0z +4y0 z
2
2
]
∣∣∣1
0
(8.4)
= h[y0 +
1
2
(y1 − y0)] = 1
2
h(y0 + y1).
Como o valor de h é conhecido e y0, y1 estão dados na tabela, então o valor
da integral é aproximado pela expressão (8.4), que é a Regra dos Trapézios para
integração.
A interpretação geométrica da regra dos trapézios é simples, a ilustração da
Figura 8.1 mostra-nos o porquê desse nome.
Figura 8.1: Regra dos trapézios.
A área compreendida pela curva da função f(x) é aproximada pela área do
trapézio formado pela reta P1(x). O valor dessa área é dado por:
166 cálculo numérico
A =
1
2
h (f(x0) + f(x1)) =
h
2
(y0 + y1),
que é o resultado da regra dos trapézios.
8.1.1 Erro de truncamento
A diferença entre o valor da área gerada por f(x) e a área gerada pela reta é
o erro de integração. Para determinarmos o erro de truncamento na integração
pela regra dos trapézios, devemos integrar o resíduo. Assim:
ET =
∫ b
a
R1dx =
∫ 1
0
z(z − 1)h2
2!
f ′′(λ)hdz (8.5)
=
h3
2!
f ′′(λ)
(
z3
2
− z
2
2
) ∣∣1
0
= −h
3
12
f ′′(λ), a ≤ λ ≤ b.
Observe que na expressão do erro dada em (8.5), se f ′′(λ) > 0, o erro será por
excesso, e se f ′′(λ) < 0, o erro será por falta.
Exemplo 8.1 Determinar o valor da integral
∫ 3,6
3,0
1
x
dx, utilizando a regra dos
trapézios.
Solução: O resultado é falcilmente obtido, pois sabemos que o resultado da
integral é dado por:
I =
h
2
(y0 + y1),
mas como y = 1
x
, obtemos facilmente os valores:
y0 =
1
3, 0
≈ 0, 333333,
y1 =
1
3, 6
≈ 0, 277777,
h = x1 − x0 = 3, 6− 3, 0 = 0, 6.
Logo:
I ≈ 0, 183333.
O cálculo do erro é:
métodos de integração numérica 167
ET = −h
3
12
2
λ3
.
Como sabemos que 3, 0 ≤ λ ≤ 3, 6, temos:
|f ′′(λ)|max =
2
λ3
=
2
33
=
2
27
.
Agora, o erro máximo será
ET = −0, 6
3
12
2
27
≈ −1, 33333× 10−3.
8.1.2 Fórmula composta dos trapézios
Uma forma de melhorar o valor aproximado da integral, por meio da regra
dos trapézios, é dividir o intervalo [a, b] em n partes iguais e aplicar a regra dos
trapézios a cada uma dessas n partes.
Como resultado da aplicação, teremos a soma das integrais aproximadas de
cada uma das n partes:
I =
∫ x1
x0
f(x) dx+
∫ x2
x1
f(x) dx+ · · ·+
∫ xn
xn−1
f(x) dx
=
h
2
(y0 + y1) +
h
2
(y1 + y2) + · · ·+ h
2
(yn−1 + yn)
=
h
2
(y0 + 2y1 + 2y2 + · · ·+ 2yn−1 + yn). (8.6)
A fórmula (8.6) é conhecida como regra dos trapézios composta.
O erro de truncamento é, então, a soma dos erros gerados pela aplicação da
regra simples dos trapézios para cada um dos n intervalos. Dessa forma, temos:
ET = ET0 + ET1 + · · ·+ ETn−1 ,
onde:
ETi = −
h3
12
f ′′(λi).
Logo:
ET = −h
3
12
n−1∑
i=0
f ′′(λi).
É possível mostrar que o erro total transforma-se na expressão
168 cálculo numérico
ET = −(b− a)
3
12n2
f ′′(λ), a ≤ λ ≤ b; f ′′(λ) =
∑n−1
i=0 f
′′(λi)
n
. (8.7)
onde n corresponde ao número de divisões consideradas do intervalo [a, b]. Vemos
que, quanto maior for o número n de divisões do intervalo, melhor é a aproximação
pela regra dos trapézios composta.
Exercício 8.1 Resolva, pela regra dos trapézios composta, a integral
∫ 3,6
3,0
1
x
dx, to-
mando o número de divisões do intervalo de integração igual a n = 6. Determine
o erro cometido.
8.2 Regras de Simpson
As regras de Simpson consideram a aproximação da função do integrando por
polinômios de Gregory-Newton de ordem superior.
8.2.1 Primeira regra de Simpson
Seja a integral
I =
∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a).
A primeira regra de Simpson é obtida tomando a função f(x) por uma apro-
ximação polinomial, usando o polinômio de Gregory-Newton de grau dois, isto
é:
f(x) ≈ P2(x),
P2(z) = y0 + z4y0 + z(z − 1)
2!
42y0, z = x− x0
h
.
Assim, temos:
I =
∫ b
a
f(x)dx ≈
∫ b
a
P2(x)dx.
Na aproximação por um polinômio de segundo grau, temos 3 pontos igual-
mente espaçados. Considerando esses pontos como x0, x1, x2, vemos que para
x0 = a e x2 = b, e como h = xi+1 − xi, então x = a ⇒ z = a−ah = 0 e
x = b⇒ z = b−a
h
= 2h
h
= 2.
Logo, a integral �ca:
métodos de integração numérica 169
I ≈
∫ b
a
P2(x)dx =
∫ 2
0
(y0 + z4y0 + z(z − 1)
2!
42y0)hdz
≈ h
[
zy0 +
z2
2
4y0 +
(
z3
6
− z
2
4
)
42y0
] ∣∣2
0
≈ h
(
2y0 + 24y0 + 1
3
42y0
)
. (8.8)
Como sabemos que
4y0 = y1 − y0, 42y0 = y2 − 2y1 − y0,
substituindo na expressão da integral (8.8), obtemos
I ≈ h
3
(y0 + 4y1 + y2) , (8.9)
que é a primeira regra de Simpson ou também conhecida como a regra do 1/3.
O erro de truncamento do polinômio de segundo grau é dado por:
R2(z) =
z(z − 1)(z − 2)
3!
f ′′′(λ)h3.
Assim, o erro de truncamento da integral torna-se:
ET =
∫ 2
0
z(z − 1)(z − 2)
3!
f ′′′(λ)h4dz (8.10)
=
h4
3!
f ′′′(λ)
∫ 2
0
(z3 − 2z2 + 2z)dz
=
h4
3!
f ′′′(λ)(
z4
4
− z3 + z2) ∣∣20
= 0.
Vemos que o erro de truncamento não depende do R2. Dessa forma, devemos
então considerar um resíduo menor tomando R3(z). Nesse caso:
170 cálculo numérico
ET =
∫ 2
0
R3(z)dz (8.11)
=
∫ 2
0
z(z − 1)(z − 2)(z − 3)
4!
f iv(λ)h5dz
= −h
5
90
f iv(λ), a ≤ λ ≤ b.
Por meio dessa fórmula, vemos que, se a função f(x) for uma função polinomial
de grau três ou inferior, o cálculo da integral via primeira regra de Simpson é
exato, uma vez que f iv(λ) é zero para esses polinômios.
8.2.2 Primeira regra de Simpson composta
A regra de Simpson composta é obtida considerando o intervalo [a, b] e divi-
dindo-o em n subintervalos iguais com amplitudes h, e a cada par de subintervalos
aplicamos a regra de Simpson simples. Observe que o número n deve ser par para
termos um número par de subintervalos.
Se considerarmos o intervalo [a, b] dividido da forma
{[a = x0, x1], [x1, x2], · · · , [xn−2, xn−1], [xn−1, xn = b]}, sendo um número par,
aplicando para cada conjunto de dois subintervalos a primeira regra de Simpson,
temos:
I1 ≈ h
3
(y0 + 4y1 + y2), (8.12)
I2 ≈ h
3
(y2 + 4y3 + y4),
.
.
.
In/2 =
h
3
(yn−2 + 4yn−1 + yn).
Logo, o resultado da integral é a soma das várias subintegrais, resultando em:
I = I1 + I2 + · · ·+ In/2
=
h
3
(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + · · ·+ 2yn−2 + 4yn−1 + yn), (8.13)
métodos de integração numérica 171
que é a primeira regra de Simpson composta.
A expressão (8.13) da primeira regra de Simpson composta pode ser escrita
de forma compacta como:
I =
h
3
y0 + 4 n/2∑
i=1
y2i−1 + 2
n/2−1∑
i=1
y2i + yn
 . (8.14)
O erro de truncamento associado é determinado pela soma dos erros gerados
por cada uma das integrais calculadas em cada subintervalo. Dessa forma:
ET = ET1 + ET2 + · · ·+ ETn/2 .
Podemos demonstrar que o valor do erro é dado por:
ET = − h
5
180
nf iv(λ), (8.15)
ou, substituindo h = b−a
n
, obtemos:
ET = −(b− a)
5
180n4
f iv(λ), a ≤ λ ≤ b. (8.16)
Note que o erro de truncamento nesse caso diminui com a quarta