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t, corresponde às raízes de um
conjunto de polinômios conhecidos como polinômios de Legendre, cuja de�nição
é:
De�nição 8.1 Os polinômios de Legendre são determinados pela relação de re-
corrência:
P0(x) = 1,
P1(x) = x,
Pm+1(x) =
1
m + 1
[(2m + 1)xPm(x)−mPm−1(x)] ,
com m = 1, 2, . . . .
Os polinômios de Legendre P2(x), P3(x) e P10(x) são apresentados abaixo.
P2(x) =
1
2
(3x2 − 1),
P3(x) =
x
2
(5x2 − 3),
P10 =
1
256
(46189x10 − 109395x8 + 90090x6 − 30030x4 + 3465x2 − 63).
Podemos determinar as soluções para as equações P2(x) = 0 e P3(x) = 0,
178 cálculo numérico
P2(x) = 0⇒ x = ±
√
1
3
, (8.37)
P3(x) = 0⇒ x = 0 ou x = ±
√
3
5
. (8.38)
Observe que as raízes dos polinômios de Legendre P2(x) e P3(x) correspondem
exatamente aos valores de t0 e t1 para a quadratura Gaussiana, quando n = 1 e
de t0, t1 e t2 para a quadratura Gaussiana, quando n = 2, respectivamente. A
solução do sistema é obtida após substituirmos os valores dos t′s e resolvermos
para os coe�cientes A′s.
Tabela 8.1: Quadratura Gaussiana.
n k tk (tk−1−i = −ti) Ak (Ak−1−i = Ai)
0 1 t0 = 0, 0 A0 = 2, 0
1 2 t1 = −t0 = 0, 5773502691 A0 = A1 = 1, 0
2 3
t0 = −t2 = −0, 7745966692
t1 = 0, 0
A0 = A2 = 0, 5555555555
A1 = 0, 8888888888
3 4
t0 = −t3 = −0, 8611363115
t1 = −t2 = −0, 3399810435
A0 = A3 = 0, 3478548451
A1 = A2 = 0, 6521451548
4 5
t0 = −t4 = −0, 9061798459
t1 = −t3 = −0, 5384693101
t2 = 0, 0
A0 = A4 = 0, 2369268850
A1 = A3 = 0, 4786286704
A2 = 0, 5688888888
A Tabela 8.1 mostra os valores para a quadratura Gaussiana até n = 4.
8.3.4 Erro de truncamento
O erro de truncamento para a quadratura Gaussiana com n = 1 (k = 2) é
dado por:
ET =
1
135
F iv(λ), −1 ≤ λ ≤ 1. (8.39)
No caso geral, o erro de truncamento para funções contínuas é determinado
pela relação a seguir, e a quadratura Gaussiana converge para o valor exato da
integral [Szidarovszky, 89], quando k →∞:
ET =
22k+1k!4
(2k + 1)[(2k)!]3
F 2k(λ), −1 ≤ λ ≤ 1, (8.40)
onde k corresponde ao número de pontos.
métodos de integração numérica 179
Exercício 8.6 Qual o valor do erro de truncamento para o exemplo 8.2 resolvido
anteriormente?
Exercício 8.7 Implemente computacionalmente o método da quadratura Gaus-
siana para qualquer valor de n dado na tabela. Em seguida, determine a integral
de f(x) = sen (5x), x = [0, pi], tomando a quadratura Gaussiana para n = 1, 2, 3, 4.
8.4 Integrais impróprias
Integrais impróprias surgem com muita frequência em diversos problemas apli-
cados. Tais integrais surgem quando o integrando apresenta uma singularidade
em um dos extremos do intervalo de integração ou ainda quando pelo menos um
dos extremos do intervalo de integração é in�nito. Em ambas as situações as téc-
nicas apresentadas para integrais próprias não podem ser diretamente aplicadas,
requerendo modi�cações para resolução das mesmas.
Vamos considerar os casos em que:
i) A integral a ser estimada é do tipo
∫ b
a
f(x)dx, onde o integrando não está
de�nido no ponto extremo x = b, mas é bem de�nida em qualquer intervalo
[a, b− �], com 0 < � < b− a. Estamos então supondo que a integral
lim
�→0
∫ b−�
a
f(x)dx, (8.41)
existe. Neste caso, denotamos (8.41) por
∫ b
a
f(x)dx e dizemos que a integral
converge. Um exemplo de integração com singularidade é
∫ 1
0
1√
x
dx = 2. Já
a integral
∫ 1
0
1
x
dx não converge para um valor �nito.
ii) A integral a ser estimada é do tipo
∫∞
a
f(x)dx, com o integrando está de�nido
sobre qualquer intervalo �nito [a, b] e
lim
b→∞
∫ b
a
f(x)dx, (8.42)
existe. Neste caso, denotamos (8.42) por
∫∞
a
f(x)dx e dizemos que a integral
converge. Um exemplo de uma integral com limite in�nito é
∫∞
1
1
x3
dx = 1
2
.
Uma maneira simples e algumas vezes útil para a resolução de ambos os casos
é fazer uma mudança apropriada de variável de modo a transformar a integral
imprópria em uma integral própria que possa ser resolvida por uma técnica nu-
mérica. Por exemplo, a integral imprópria
180 cálculo numérico
∫ 1
0
sen x√
1− xdx, (8.43)
pode ser transformada considerando-se a mudança de variável u =
√
1− x, com
du = − 1
2u
dx⇒ dx = −2du. Logo, a integral (8.43) torna-se∫ 1
0
sen x√
1− xdx = 2
∫ 1
0
sen (1− u2)du, (8.44)
que pode ser agora resolvida usando quadratura Gaussiana, por exemplo.
8.5 Integrais múltiplas
Nas seções anteriores vimos algumas técnicas de integração numérica, as quais
foram aplicadas a integrais simples de funções de uma variável. Nesta seção
veremos como é possível estender tais técnicas para o cálculo numérico de integrais
múltiplas , isto é, integrais de funções em duas ou três variáveis.
Consideremos inicialmente a integral dupla dada por,
I =
∫ ∫
R
f(x, y) dA, (8.45)
onde R = {(x, y); a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, com a, b, c e d constantes, de�nindo
uma região retangular no plano xy e dA é o elemento de área.
8.5.1 Aplicando a primeira regra de Simpson composta
Vamos utilizar a primeira regra de Simpson composta para ilustrar como po-
demos aproximar o valor da integral dupla (8.45). Para isso, vamos dividir a
região R em pequenos retângulos particionando o intervalo [a, b] em um número
n de partes iguais e de comprimento h, e o intervalo [c, d] em um número m de
partes iguais e de comprimento l, da forma:
b− a
n
= h,
d− c
m
= l. (8.46)
De acordo com a primeira regra de Simpson, os valores de n e m devem ser
par para podermos gerar um número par de subintervalos. Desta forma geramos
um conjunto de pontos x0, x1, . . . , xn e y0, y1, . . . , ym. Escrevendo a integral (8.45)
na sua forma iterada, temos:
I =
∫ ∫
R
f(x, y) dA =
∫ b
a
(∫ d
c
f(x, y) dy
)
dx. (8.47)
métodos de integração numérica 181
equation
Podemos considerar a integral na variável y e resolvê-la utilizando a primeira
regra de Simpson composta dada em (8.14). Fazendo yj = c + j l com j =
0, 1, . . . ,m, onde l é o tamanho do passo na direção y e considerando x constante,
temos:
∫ d
c
f(x, y) dy =
l
3
f(x, y0) + 2m/2−1∑
j=1
f(x, y2j) + 4
m/2∑
j=1
f(x, y2j−1) + f(x, ym)

+ET (f, l), (8.48)
com erro de truncamento ET (f, l) dado por,
ET = −(d− c)l
4
180
∂4f(x, µ)
∂y4
, c < µ < d. (8.49)
Agora, substituindo a expressão (8.48) na integral (8.47), temos:
I =
∫ b
a
 l
3
f(x, y0) + 2m/2−1∑
j=1
f(x, y2j)
+ 4
m/2∑
j=1
f(x, y2j−1) + f(x, ym)
+ ET (f, l)
 dx, (8.50)
resultando em
I =
l
3
∫ b
a
f(x, y0)dx+ 2
m/2−1∑
j=1
∫ b
a
f(x, y2j)dx+ 4
m/2∑
j=1
∫ b
a
f(x, y2j−1)dx
+
∫ b
a
f(x, ym)dx
]
− (d− c)l
4
180
∫ b
a
∂4f(x, µ)
∂y4
dx. (8.51)
Resolvendo cada uma das integrais da expressão (8.51) usando a primeira
regra de Simpson composta, considerando agora xi = a + ih, com i = 0, 1, . . . , n
e onde h é o tamanho do passo, teremos para cada j,
182 cálculo numérico
∫ b
a
f(x, yj)dx =
h
3
f(x0, yj) + 2 n/2−1∑
i=1
f(x2i, yj) + 4
n/2∑
i=1
f(x2i−1, yj) + f(xn, yj)

−(b− a)h
4
180
∂4f(λj, yj)
∂x4
, a < λj < b. (8.52)
Portanto, a aproximação da integral dupla iterada resulta em
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y)dy dx ≈ hl
9

f(x0, y0) + 2 n/2−1∑
i=1
f(x2i, y0)
+ 4
n/2∑
i=1
f(x2i−1, y0) + f(xn, y0)

+2
m/2−1∑
j=1
f(x0, y2j) + 2
m/2−1∑
j=1
n/2−1∑
i=1
f(x2i, y2j)
+ 4
m/2−1∑
j=1
n/2∑
i=1
f(x2i−1, y2j) +
m/2−1∑
j=1
f(xn, y2j)

+4
m/2∑
j=1
f(x0, y2j−1) + 2
m/2∑
j=1
n/2−1∑
i=1
f(x2i, y2j−1)
+ 4
m/2∑
j=1
n/2∑
i=1
f(x2i−1, y2j−1) +
m/2∑
j=1
f(xn, y2j−1)

+
f(x0, ym) + 2 n/2−1∑
j=1
f(x2i, ym)
+ 4
n/2∑
i=1
f(x2i−1, ym) + f(xn, ym)
