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NotasdeAula_CN

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, (8.53)
com erro de truncamento dado, após alguns cálculos, por
métodos de integração numérica 183
ET = −(d− c)(b− a)
180
[
h4
∂4f(λ, µ)
∂x4
+ l4
∂4f(λ˜, µ˜)
∂y4
]
, (8.54)
with λ, µ, λ˜, µ˜ values in the region R.
Exemplo 8.3 Seja a função f(x, y) = exy com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Deter-
mine a integral dupla iterada utilizando a primeira regra de Simpson composta
com n = 4 e m = 2.
Solução: Como n = 4 temos h = 1−0
4
= 0, 25, e para m = 2 temos l =
1−0
2
= 0, 5. Assim, estamos dividindo o intervalo na direção x em quatro partes
iguais e na direção y em duas partes iguais, gerando os pontos {x0, x1, x2, x3, x4}
e {y0, y1, y2}. A integral a ser resolvida é então:
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
ex ydy dx
Os valores da função em cada ponto (xi, yj), i = 0, . . . , 4, y = 0, 1, 2 são
obtidos tomando f(xi, yj) = e
xiyj .
De acordo com a equação (8.53), temos:
184 cálculo numérico
∫ 1
0
∫ 1
0
exiyjdy dx ≈ 0, 25 · 0, 5
9
{[
f(x0, y0) + 2
1∑
i=1
f(x2i, y0)
+ 4
2∑
i=1
f(x2i−1, y0) + f(x4, y0)
]
+2
[
0∑
j=1
f(x0, y2j) + 2
0∑
j=1
1∑
i=1
f(x2i, y2j)
+ 4
0∑
j=1
2∑
i=1
f(x2i−1, y2j) +
0∑
j=1
f(xn, y2j)
]
+4
[
1∑
j=1
f(x0, y2j−1) + 2
1∑
j=1
1∑
i=1
f(x2i, y2j−1)
+ 4
1∑
j=1
2∑
i=1
f(x2i−1, y2j−1) +
1∑
j=1
f(xn, y2j−1)
]
+
[
f(x0, ym) + 2
1∑
i=1
f(x2i, ym)
+ 4
2∑
i=1
f(x2i−1, ym) + f(xn, ym)
]}
.
Como temos apenas a aplicação da primeira regra de Simpson simples na dire-
ção y, pois m = 2, os termos com
∑0
j=1 não se aplicam, devendo ser considerados
iguais a zero na expressão acima. Portanto, calculando cada um dos termos da
expressão temos:
métodos de integração numérica 185
f(x0, y0) = e
x0·y0 = e0 = 1,
1∑
i=1
f(x2i, y0) = f(x2, y0) = e
0 = 1,
2∑
i=1
f(x2i−1, y0) = f(x1, y0) + f(x3, y0) = e0 + e0 = 2,
f(x4, y0) = e
0 = 1,
1∑
j=1
f(x0, y2j−1) = f(x0, y1) = e0 = 1,
1∑
j=1
1∑
i=1
f(x2i, y2j−1) = f(x2, y1) = e0,5·0,5 = 1, 284025416,
1∑
j=1
2∑
i=1
f(x2i−1, y2j−1) =
1∑
j=1
[f(x1, y2j−1) + f(x3, y2j−1)] = f(x1, y1) + f(x3, y1)
= e0,25·0,5 + e0,75·0,5 = 2, 588139867,
1∑
j=1
f(x4, y2j−1) = f(x4, y1) = e0,5 = 1, 648721270,
f(x0, y2) = e
0 = 1,
1∑
i=1
f(x2i, y2) = f(x2, y2) = e
0,5·1.0 = 1, 648721270,
2∑
i=1
f(x2i−1, y2) = f(x1, y2) + f(x3, y2) = e0,25·1,0 + e0,75·1,0
= 1, 284025416 + 2, 117000016 = 3, 401025432,
f(x4, y2) = e
1,0 = 2, 718281828.
Substituindo agora os valores acima na expressão (8.55), obtemos:
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
ex ydy dx ≈ 1, 318016005.
Exercício 8.8 Resolva a intergal
∫ 1
0
∫ 2
0
cos (x+ y)dy dx, usando a primeira regra
de Simpson composta com n = 4 e m = 4.
Uma extensão da aplicação da primeira regra de Simpson composta pode ser
efetuada para obtenção da integral tripla iterada, utilizando para isso o mesmo
procedimento adotado.
186 cálculo numérico
∫ b
a
∫ d
c
∫ f
e
f(x, y, z)dz dy dx, (8.55)
Observe que neste caso, teremos ao �nal uma expressão formada por 64 ter-
mos. Da mesma forma, podemos também obter a aproximação das integrais
triplas iteradas utilizando a segunda regra de Simpson composta. As deduções
destas aproximações são deixadas como exercícios para o leitor.
8.5.2 Aplicando a quadratura Gaussiana
A resolução da integral dupla iterada pode ser efetuda utilizando-se também a
técnica da Quadratura Gaussiana, vista na Seção 8.3. A metodologia de aplicação
da quadratura Gaussiana é semelhante ao que foi realizado com a utilização da
primeira regra de Simpson composta.
Vejamos a aplicação para o caso da quadratura Gaussiana com n = 1, isto é,
utilizaremos o resultado apresentado na equação (8.30). Seja
I =
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y)dy dx. (8.56)
Considerando, inicialmente, a integral na variável y, mantendo x constante,
temos que resolver, ∫ d
c
f(x, y)dy. (8.57)
Fazendo a mudança de variável
y =
1
2
(d− c)v + 1
2
(d+ c), (8.58)
temos: ∫ d
c
f(x, y)dy =
∫ 1
−1
1
2
(d− c) f [x, 1
2
(d− c)v + 1
2
(d+ c)] dv. (8.59)
De�nindo a função,
F (x, v) =
1
2
(d− c) f [x, 1
2
(d− c)v + 1
2
(d+ c)], (8.60)
e aplicando a quadratura para n = 1, obtemos:∫ d
c
f(x, y)dy = F (x, v0) + F (x, v1), (8.61)
métodos de integração numérica 187
onde usamos A0 = A1 = 1 e consideramos v0 = −v1 =
√
1/3, provenientes da
Tabela 8.1.
Agora a integral (8.56), torna-se
I =
∫ b
a
[F (x, v0) + F (x, v1)]dx. (8.62)
Considerando outra mudança de variável da forma
x =
1
2
(b− a)u+ 1
2
(b+ a), (8.63)
temos:
I =
∫ b
a
F (x, v0) dx+
∫ b
a
F (x, v1) dx
=
∫ 1
−1
1
2
(b− a)F [1
2
(b− a)u+ 1
2
(b+ a), v0] du
+
∫ 1
−1
1
2
(b− a)F [1
2
(b− a)u+ 1
2
(b+ a), v1] du. (8.64)
De�nindo-se,
G(u, v) =
1
2
(b− a)F [1
2
(b− a)u+ 1
2
(b+ a), v], (8.65)
a integral torna-se:
I =
∫ 1
−1
G(u, v0)du+
∫ 1
−1
G(u, v1)du, (8.66)
que utilizando a Tabela 8.1 para a quadratura Gaussiana com n = 1 na variável
u, obtemos:
188 cálculo numérico
I = G(u0, v0) +G(u1, v0) +G(u0, v1) +G(u1, v1)
=
1
4
(b− a)(d− c)f [1
2
(b− a)u0 + 1
2
(b+ a),
1
2
(d− c)v0 + 1
2
(d+ c)]
+
1
4
(b− a)(d− c)f [1
2
(b− a)u1 + 1
2
(b+ a),
1
2
(d− c)v0 + 1
2
(d+ c)]
+
1
4
(b− a)(d− c)f [1
2
(b− a)u0 + 1
2
(b+ a),
1
2
(d− c)v1 + 1
2
(d+ c)]
+
1
4
(b− a)(d− c)f [1
2
(b− a)u1 + 1
2
(b+ a),
1
2
(d− c)v1 + 1
2
(d+ c)].(8.67)
Substituindo na expressão (8.67) os valores de u0 = −u1 =
√
1/3, e v0 =
−v1 =
√
1/3, obtemos �nalmente a expressão da integral dupla iterada por meio
da Quadratura Gaussiana de ordem n = 1 para ambas as variáveis.
Exemplo 8.4 Seja a função f(x, y) = exy com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. De-
termine a integral dupla iterada utilizando a Quadratura Gaussiana de ordem
n = 1.
Solução: Como n = 1 utilizaremos diretamente o resultado dado em (8.67).
Temos que, a = 0, b = 1, c = 0, d = 1 e f(x, y) = ex y. Assim,
G(u0, v0) =
1
4
f [
1
2
√
1/3 +
1
2
,
1
2
√
1/3 +
1
2
]
=
1
4
f [
√
1/12 + 1/2,
√
1/12 + 1/2]
=
1
4
e(
√
1/12+1/2)2 = 0, 4656663477,
G(u0, v1) = 0, 2614175968
G(u1, v0) = 0, 2614175968
G(u1, v1) = 0, 2614175968,
portanto, a integral resulta em
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
ex ydy dx ≈ 1, 317764150.
métodos de integração numérica 189
Exercício 8.9 Resolva o exercício 8.8 usando a técnica da quadratura Gaussiana
com n = 1.
Exercício 8.10 Implemente computacionalmente a técnica da quadratura Gaus-
siana para n = 1.
Um extensão da quadratura Gaussiana para ordens superiores (n = 2, 3, · · · )
pode ser facilmente conduzida seguindo-se o mesmo procedimento realizado para
a obtenção da integral dada em (8.67). No entanto, o leitor deve estar atento à
ordem da expansão que foi escolhida, uma vez que os coe�cientes da expansão são
distintos e estão dados na Tabela 8.1. Para a integral dupla iterada, a quadratura
Gaussiana com n = 2 gera, ao �nal, uma expressão com 9 termos. O mesmo
procedimento pode ser aplicado para obtenção da aproximação para a integral
tripla iterada, que para n = 1 gera, ao �nal, 8 termos. Deixamos para o leitor a
tarefa de deduzir as expressões da quadratura Gaussiana para estes casos.
8.6 Exercícios propostos
1. Determine o valor da integral usando a regra dos trapézios simples e, em
seguida, a regra composta dos trapézios com h = 1.
I =
∫ 4
0
dx
1 + 3xex2
.
2. Qual o valor da integral
∫ 1
0
4
x2+1
dx, usando a primeira regra de Simpson?
Utilize o Derive para determinar o valor exato da integral e, em seguida,
compare ao valor