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obtido com a regra de Simpson. 3. Mostre que a primeira regra de Simpson é exata para polinômios cúbicos no intervalo [−h, h]. 4. O período de um pêndulo largado do repouso com um ângulo θ com respeito à vertical é dado pela relação: P = 4 √ L g I, onde L é o comprimento do pêndulo, g é a constante gravitacional, e I é a integral I = ∫ pi/2 0 1√ 1− a2sen 2(x)dx, com a = sen (θ/2) 2 . Determine o valor da integral pela segunda regra de Simpson. 190 cálculo numérico 5. Utilize a implementação da quadratura Gaussiana desenvolvida no exercício 8.7 para determinar as integrais dos exercícios 1 e 2, tomando dois e três pontos (k = 2, 3). Em seguida, resolva a integral I do problema do pêndulo acima para 5 pontos (k = 5). 6. Resolva as integrais utilizando a técnica da primeira regra de Simpson com- posta com n = m = 4 e a técnica da quadratura Gaussiana com n = 1. ∫ 2.0 0 ∫ 1.2 0 e2x+y 2 dy dx. Capítulo 9 RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EDO'S Equações diferenciais surgem em muitas aplicações, nas mais diversas áreas do conhecimento. Em particular, na Física, nas Engenharias, na Biomatemática e na Economia, as equações diferenciais desempenham um papel fundamental na formulação dos modelos. Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida e suas derivadas. A equação diferencial é ordinária quando envolve apenas deriva- das ordinárias da função. Quando derivadas parciais estão presentes na equação, estas são chamadas de equações diferenciais parciais. A ordem de uma equação diferencial é de�nida pela ordem mais elevada da derivada que está presente na equação. Assim, a equação diferencial é de primeira ordem se existe apenas derivada primeira da função na equação, e assim sucessivamente. Neste capítulo, vamos estudar alguns métodos de resolução numérica de equa- ções diferenciais ordinárias de primeira ordem e, posteriormente, de ordens supe- riores. Seja f(x, y) uma função real nas variáveis x e y. De�nição 9.1 Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é dada por y′ = f(x, y), (9.1) onde y′ = dy dx e y = y(x) é uma função desconhecida. Em geral, a equação (9.1) possui in�nitas soluções. Exemplo 9.1 Seja a equação diferencial de primeira ordem y′ = y. Essa equa- ção é satisfeita para y(x) = c ex, onde c é uma constante arbitrária. Temos, portanto, uma família de soluções para a equação. 192 cálculo numérico De�nição 9.2 Um problema do valor inicial é formado por uma equação dife- rencial e uma condição inicial, de tal forma que: y′ = f(x, y), y(x0) = y0. (9.2) A solução única do problema do valor inicial é garantida pelo teorema de Lipschitz. Teorema 9.1 (Teorema de Lipschitz) Seja uma função f(x, y) de�nida e con- tínua em um intervalo a ≤ x ≤ b e −∞ < y <∞, com a e b valores �nitos. Se a função f satisfaz a condição de Lipschitz, de existir uma constante L tal que |f(x, y)− f(x, y∗)| ≤ L|y − y∗|, ∀x ∈ [a, b], ∀y, y∗, então para qualquer valor inicial y0 existe uma única solução do problema do valor inicial y′ = f(x, y), y(a) = y0. Em outras palavras, o teorema de Lipschitz garante que, para todos os pontos (x0, y0) com x0 ∈ [a, b], existe uma única função y(x) tal que a mesma satizfaz a equação diferencial y′ = f(x, y). Exemplo 9.2 Seja a equação diferencial do exemplo (9.1). Vemos que há in�ni- tas soluções, pois c é uma constante arbitrária. No entanto, o problema do valor inicial com a condição y(0) = 1 conduz a uma única solução dada por y(x) = ex. 9.1 Resolução do problema do valor inicial O teorema de Lipschitz garante a existência e a unicidade da solução do pro- blema do valor inicial, no entanto, não garante que teremos uma solução explícita de forma fechada da equação. Assim, em muitas ocasiões a solução do problema do valor inicial deve ser obtida de forma numérica. Nesta seção, vamos estudar algumas técnicas que podem ser aplicadas para resolver o problema do valor inicial de primeira ordem. 9.1.1 Método da série de Taylor A série de Taylor de uma função f(x) pode ser empregada para determinar de forma aproximada a solução de um problema do valor inicial dado por (9.2). Para simpli�car a notação, vamos adotar aqui que a derivada parcial com res- peito a uma variável é indicada pela letra correspondente à variável em subscrito. Isto é, se temos a função f(x, y(x)), denotamos: resolução numérica de edo's 193 fx(x, y) = ∂f(x, y) ∂x , fy(x, y) = ∂f(x, y) ∂y , fxy(x, y) = ∂2f(x, y) ∂y∂x , e assim sucessivamente. Se considerarmos a equação diferencial em (9.2) e tomarmos as derivadas sucessivas da expressão, teremos: y′(x) = f(x, y(x)), y′′(x) = fx(x, y(x)) + fy(x, y(x)) y′(x), y′′′(x) = fxx(x, y(x)) + 2fxy(x, y(x)) y′(x), (9.3) + fyy(x, y(x)) y ′2(x) + fy(x, y(x)) y′′(x), . . . . . . Calculando o valor dos termos nas equações (9.3) para x = x0 e y = y0, podemos obter uma aproximação da função y(x) por meio da série de Taylor da forma: y(x) ≈ y(x0) + y ′(x0) 1! (x− x0) + · · ·+ y (k)(x0) k! (x− x0)k. (9.4) Note que o erro de truncamento associado à equação (9.4) é da ordem de O ((x− x0)k+1) . Em outras palavras, se tivermos a diferença |x − x0| muito grande, o erro será também muito grande, e assim num intervalo [x0, b] de compri- mento moderado podemos ter um erro relativamente grande, tornando a aplicação do método insatisfatória. Exemplo 9.3 Seja o problema do valor inicial y′(x) = x2 + y2, y(0) = 0. Usando o método da série de Taylor até a quinta ordem, temos que: f(x, y(x)) = x2 + y2, y′(0) = 02 + y(0)2 = 0, y′′(x) = 2x + 2yy′ ⇒ y′′(0) = 2 · 0 + 2 · y(0) · y′(0) = 0, y′′′(x) = 2 + 2y′2 + 2yy′′ ⇒ y′′′(0) = 2, y(4)(x) = 6y′y′′ + 2yy(3) ⇒ y(4)(0) = 0, y(5)(x) = 6y′′2 + 8y′y(3) + 2yy(4) ⇒ y(5)(0) = 0. Substituindo os valores acima na equação (9.4), obtemos a solução aproximada 194 cálculo numérico y(x) ≈ 2x 3 3! = x3 3 . Vários sistemas computacionais dispõem de facilidades para resolução de equa- ções diferenciais ordinárias. Hoje, temos alguns sistemas de computação algébrica com enorme capacidade de resolução de equações diferenciais de forma puramente simbólica, como por exemplo o maple e o mathematica. Exercício 9.1 Implemente computacionalmente o método da série de Taylor. Exercício 9.2 Veri�que que o problema do valor inicial y′ = x3 + y2, y(0) = 0 não possui solução analítica. Dessa forma, a solução aproximada numericamente é importante. Qual a solução pelo método da série de Taylor? Para contornar o problema do erro de truncamento citado, o método da série de Taylor pode ser modi�cado de tal forma que sua acurácia seja melhorada. Para isso, considera-se que a expansão da série é feita ao longo de uma seqüência de valores de x, de tal forma que |xi+1 − xi| seja um valor pequeno. Se de�nirmos o comprimento do intervalo por h = (b−x0) n , onde n > 1 é um inteiro, e [x0, b] é o intervalo-solução, com base nessa de�nição, podemos obter a seqüência de pontos xi = x0 + ih, i = 0, · · · , n. Portanto, entre os pontos xi e xi+1, a solução pode ser aproximada pela série y(x) ≈ y(xi) + y ′(xi) 1! (x− xi) + · · ·+ y (k)(xi) k! (x− xi)k. (9.5) A aproximação nos dá um método para determinarmos a solução aproximada para o problema do valor inicial caminhando ao longo do eixo x com passos h, partindo-se do ponto inicial x0. Assim, podemos ver que no intervalo [x0, x1] a série de Taylor com i = 0 nos dá uma aproximação de y(x). Em particular, se desejamos o valor para x = x1, obtemos: y(x1) = y1 ≈ y0 + y ′(x0) 1! h+ · · ·+ y (k)(x0) k! hk. Esse procedimento estabelece um algoritmo para obtermos os valores suces- sivos de y(x) nos pontos da seqüência de tal forma que, para um valor y(xi+1), temos: yi+1 ≈ yi + y ′ i