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obtido com a regra de Simpson.
3. Mostre que a primeira regra de Simpson é exata para polinômios cúbicos
no intervalo [−h, h].
4. O período de um pêndulo largado do repouso com um ângulo θ com respeito
à vertical é dado pela relação: P = 4
√
L
g
I, onde L é o comprimento do
pêndulo, g é a constante gravitacional, e I é a integral
I =
∫ pi/2
0
1√
1− a2sen 2(x)dx,
com a = sen (θ/2)
2
. Determine o valor da integral pela segunda regra de
Simpson.
190 cálculo numérico
5. Utilize a implementação da quadratura Gaussiana desenvolvida no exercício
8.7 para determinar as integrais dos exercícios 1 e 2, tomando dois e três
pontos (k = 2, 3). Em seguida, resolva a integral I do problema do pêndulo
acima para 5 pontos (k = 5).
6. Resolva as integrais utilizando a técnica da primeira regra de Simpson com-
posta com n = m = 4 e a técnica da quadratura Gaussiana com n = 1.
∫ 2.0
0
∫ 1.2
0
e2x+y
2
dy dx.
Capítulo 9
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE
EDO'S
Equações diferenciais surgem em muitas aplicações, nas mais diversas áreas
do conhecimento. Em particular, na Física, nas Engenharias, na Biomatemática
e na Economia, as equações diferenciais desempenham um papel fundamental na
formulação dos modelos.
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida
e suas derivadas. A equação diferencial é ordinária quando envolve apenas deriva-
das ordinárias da função. Quando derivadas parciais estão presentes na equação,
estas são chamadas de equações diferenciais parciais. A ordem de uma equação
diferencial é de�nida pela ordem mais elevada da derivada que está presente na
equação. Assim, a equação diferencial é de primeira ordem se existe apenas
derivada primeira da função na equação, e assim sucessivamente.
Neste capítulo, vamos estudar alguns métodos de resolução numérica de equa-
ções diferenciais ordinárias de primeira ordem e, posteriormente, de ordens supe-
riores.
Seja f(x, y) uma função real nas variáveis x e y.
De�nição 9.1 Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é dada por
y′ = f(x, y), (9.1)
onde y′ = dy
dx
e y = y(x) é uma função desconhecida.
Em geral, a equação (9.1) possui in�nitas soluções.
Exemplo 9.1 Seja a equação diferencial de primeira ordem y′ = y. Essa equa-
ção é satisfeita para y(x) = c ex, onde c é uma constante arbitrária. Temos,
portanto, uma família de soluções para a equação.
192 cálculo numérico
De�nição 9.2 Um problema do valor inicial é formado por uma equação dife-
rencial e uma condição inicial, de tal forma que:
y′ = f(x, y), y(x0) = y0. (9.2)
A solução única do problema do valor inicial é garantida pelo teorema de
Lipschitz.
Teorema 9.1 (Teorema de Lipschitz) Seja uma função f(x, y) de�nida e con-
tínua em um intervalo a ≤ x ≤ b e −∞ < y <∞, com a e b valores �nitos. Se
a função f satisfaz a condição de Lipschitz, de existir uma constante L tal que
|f(x, y)− f(x, y∗)| ≤ L|y − y∗|, ∀x ∈ [a, b], ∀y, y∗,
então para qualquer valor inicial y0 existe uma única solução do problema do
valor inicial
y′ = f(x, y), y(a) = y0.
Em outras palavras, o teorema de Lipschitz garante que, para todos os pontos
(x0, y0) com x0 ∈ [a, b], existe uma única função y(x) tal que a mesma satizfaz a
equação diferencial y′ = f(x, y).
Exemplo 9.2 Seja a equação diferencial do exemplo (9.1). Vemos que há in�ni-
tas soluções, pois c é uma constante arbitrária. No entanto, o problema do valor
inicial com a condição y(0) = 1 conduz a uma única solução dada por y(x) = ex.
9.1 Resolução do problema do valor inicial
O teorema de Lipschitz garante a existência e a unicidade da solução do pro-
blema do valor inicial, no entanto, não garante que teremos uma solução explícita
de forma fechada da equação. Assim, em muitas ocasiões a solução do problema
do valor inicial deve ser obtida de forma numérica.
Nesta seção, vamos estudar algumas técnicas que podem ser aplicadas para
resolver o problema do valor inicial de primeira ordem.
9.1.1 Método da série de Taylor
A série de Taylor de uma função f(x) pode ser empregada para determinar
de forma aproximada a solução de um problema do valor inicial dado por (9.2).
Para simpli�car a notação, vamos adotar aqui que a derivada parcial com res-
peito a uma variável é indicada pela letra correspondente à variável em subscrito.
Isto é, se temos a função f(x, y(x)), denotamos:
resolução numérica de edo's 193
fx(x, y) =
∂f(x, y)
∂x
, fy(x, y) =
∂f(x, y)
∂y
, fxy(x, y) =
∂2f(x, y)
∂y∂x
,
e assim sucessivamente.
Se considerarmos a equação diferencial em (9.2) e tomarmos as derivadas
sucessivas da expressão, teremos:
y′(x) = f(x, y(x)),
y′′(x) = fx(x, y(x)) + fy(x, y(x)) y′(x),
y′′′(x) = fxx(x, y(x)) + 2fxy(x, y(x)) y′(x), (9.3)
+ fyy(x, y(x)) y
′2(x) + fy(x, y(x)) y′′(x),
.
.
.
.
.
.
Calculando o valor dos termos nas equações (9.3) para x = x0 e y = y0,
podemos obter uma aproximação da função y(x) por meio da série de Taylor da
forma:
y(x) ≈ y(x0) + y
′(x0)
1!
(x− x0) + · · ·+ y
(k)(x0)
k!
(x− x0)k. (9.4)
Note que o erro de truncamento associado à equação (9.4) é da ordem de
O ((x− x0)k+1) . Em outras palavras, se tivermos a diferença |x − x0| muito
grande, o erro será também muito grande, e assim num intervalo [x0, b] de compri-
mento moderado podemos ter um erro relativamente grande, tornando a aplicação
do método insatisfatória.
Exemplo 9.3 Seja o problema do valor inicial
y′(x) = x2 + y2, y(0) = 0.
Usando o método da série de Taylor até a quinta ordem, temos que:
f(x, y(x)) = x2 + y2,
y′(0) = 02 + y(0)2 = 0,
y′′(x) = 2x + 2yy′ ⇒ y′′(0) = 2 · 0 + 2 · y(0) · y′(0) = 0,
y′′′(x) = 2 + 2y′2 + 2yy′′ ⇒ y′′′(0) = 2,
y(4)(x) = 6y′y′′ + 2yy(3) ⇒ y(4)(0) = 0,
y(5)(x) = 6y′′2 + 8y′y(3) + 2yy(4) ⇒ y(5)(0) = 0.
Substituindo os valores acima na equação (9.4), obtemos a solução aproximada
194 cálculo numérico
y(x) ≈ 2x
3
3!
=
x3
3
.
Vários sistemas computacionais dispõem de facilidades para resolução de equa-
ções diferenciais ordinárias. Hoje, temos alguns sistemas de computação algébrica
com enorme capacidade de resolução de equações diferenciais de forma puramente
simbólica, como por exemplo o maple e o mathematica.
Exercício 9.1 Implemente computacionalmente o método da série de Taylor.
Exercício 9.2 Veri�que que o problema do valor inicial y′ = x3 + y2, y(0) = 0
não possui solução analítica. Dessa forma, a solução aproximada numericamente
é importante. Qual a solução pelo método da série de Taylor?
Para contornar o problema do erro de truncamento citado, o método da série
de Taylor pode ser modi�cado de tal forma que sua acurácia seja melhorada.
Para isso, considera-se que a expansão da série é feita ao longo de uma seqüência
de valores de x, de tal forma que |xi+1 − xi| seja um valor pequeno.
Se de�nirmos o comprimento do intervalo por h = (b−x0)
n
, onde n > 1 é um
inteiro, e [x0, b] é o intervalo-solução, com base nessa de�nição, podemos obter a
seqüência de pontos
xi = x0 + ih, i = 0, · · · , n.
Portanto, entre os pontos xi e xi+1, a solução pode ser aproximada pela série
y(x) ≈ y(xi) + y
′(xi)
1!
(x− xi) + · · ·+ y
(k)(xi)
k!
(x− xi)k. (9.5)
A aproximação nos dá um método para determinarmos a solução aproximada
para o problema do valor inicial caminhando ao longo do eixo x com passos h,
partindo-se do ponto inicial x0. Assim, podemos ver que no intervalo [x0, x1] a
série de Taylor com i = 0 nos dá uma aproximação de y(x). Em particular, se
desejamos o valor para x = x1, obtemos:
y(x1) = y1 ≈ y0 + y
′(x0)
1!
h+ · · ·+ y
(k)(x0)
k!
hk.
Esse procedimento estabelece um algoritmo para obtermos os valores suces-
sivos de y(x) nos pontos da seqüência de tal forma que, para um valor y(xi+1),
temos:
yi+1 ≈ yi + y
′
i