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(0)
3,1, u2(x0) + k
(0)
3,2
)
= 0, 531375.
Considerando as equações de iteração para as funções u1(x) e u2(x), temos:
u1,i+1 = u1,i +
1
6
(
k
(i)
1,1 + 2k
(i)
2,1 + 2k
(i)
3,1 + k
(i)
4,1
)
,
u2,i+1 = u2,i +
1
6
(
k
(i)
1,2 + 2k
(i)
2,2 + 2k
(i)
3,2 + k
(i)
4,2
)
.
resolução numérica de edo's 209
Substituindo os valores para i = 0, temos:
u1,1 = u1,0 +
1
6
(
k
(0)
1,1 + 2k
(0)
2,1 + 2k
(0)
3,1 + k
(0)
4,1
)
= 2, 525645833,
u2,1 = u2,0 +
1
6
(
k
(0)
1,2 + 2k
(0)
2,2 + 2k
(0)
3,2 + k
(0)
4,2
)
= −4, 481854166,
onde u1,0 = u1(x0) = 3 e u2,0 = u2(x0) = −5.
A solução para o problema original, quando x = x1 = 0, 1 é
y1 = y(x1) = y(0, 1) = u1(x1) = u1,1 = 2, 525645833.
Note que para obtermos a solução para o próximo passo, isto é, em y(x2) é
necessário que tenhamos computado o valor de u2,1, pois este valor será utilizado
nos cálculos dos k
(1)
m,n, m = 1, 2, 3, 4 e n = 1, 2.
Uma extensão da técnica aplicada para equações de segunda ordem pode ser
utilizada para equações diferenciais de ordem superiores. Em geral, uma equação
diferencial de ordem m pode ser escrita da forma:
u(m)(x) = f(x, u, u′, u′′, . . . , u(m−1)). (9.36)
A equação diferencial (9.36) pode ser transformada em um sistema equivalente
contendo m equações diferenciais de primeira ordem, tomando-se v1 = u, temos:
v′1 = u
′ = v2,
v′2 = u
′′ = v3,
v′3 = u
′′′ = v4,
.
.
. (9.37)
v′m−1 = u
(m−1) = vm,
v′m = u
(m) = f(x, u, u′, u′′, . . . , u(m−1)).
A equação diferencial (9.36) pode possuir m condições iniciais, as quais se
transformam para o sistema (9.37) em condições do tipo:
vk(x0) = ak, k = 1, . . . ,m.
A solução do sistema pode ser encontrada pela aplicação do método de Runge-
Kutta, analogamente ao realizado para o caso do problema do valor inicial de
segunda ordem.
210 cálculo numérico
Exemplo 9.11 Seja o problema do valor inicial de terceira ordem dado por:
y′′′ = x + y + 2y′ + y′′2, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.
Encontre o sistema de primeira ordem equivalente.
Solução: Fazendo y(x) = v1, temos:
v′1 = v2, v1(0) = 0,
v′2 = v3, v2(0) = 0,
v′3 = x + v1 + 2v2 + v
2
3, v3(0) = 0.
Agora, podemos utilizar o método de Runge-Kutta para determinar a solução
do sistema acima, seguindo um raciocínio análogo ao empregado para a solução
do Exemplo 9.10.
9.4 Problema do valor de fronteira
Os métodos que vimos anteriormente são aplicados para a resolução do Pro-
blema do Valor Inicial. No entanto, há problemas de equações diferenciais de
segunda ordem onde as condições são atribuidas nas extreminades do intervalo.
Tais problemas são conhecidos como Problemas do Valor de Fronteira.
De�nição 9.5 O Problema do Valor de Fronteira de segunda ordem é de�nido
da forma:
y′′ = f(x, y, y′), y(a) = α, y(b) = β, (9.38)
onde x ∈ [a, b].
Vamos estudar aqui o problema do valor de fronteira caracterizado pela equa-
ção diferencial que pode ser posta na forma:
y′′ − q(x)y = f(x), y(a) = α, y(b) = β, (9.39)
onde a função q(x) deve satisfazer q(x) > 0 e f(x) é arbitrária.
Para resolvermos o problema do valor de fronteira (9.39), vamos utilizar o
método da diferença apresentado na Seção (7.3). Seja o intervalo I = [a, b].
Dividindo-se este intervalo em n partes iguais b−a
n
= h, temos que xi = a + ih,
com i = 0, 1, 2, . . . , n.
Seja yi = y(xi). Pelas condições de fronteira, sabemos que:
resolução numérica de edo's 211
y0 = y(x0) = y(a) = α, yn = y(xn) = y(b) = β.
Considerando a aproximação da derivada segunda pela diferença,
y′′(xi) ≈ yi+1 − 2yi + yi−1
h2
, (9.40)
podemos tomar esta equação para cada ponto xi, i = 1, . . . , n− 1. Substituindo
a relação (9.40) na equação (9.39), temos:
yi+1 − 2yi + yi−1
h2
− q(xi)yi = f(xi),
yi+1 − (2 + h2qi)yi + yi−1 = h2fi, i = 1, 2, . . . , n− 1. (9.41)
Para i = 1, a equação (9.41) torna-se:
y2 − (2 + h2q1)y1 + y0 = h2f1,
como y0 = α, temos
y2 − (2 + h2q1)y1 = h2f1 − α. (9.42)
Para i = n− 1, temos:
yn − (2 + h2qn−1)yn−1 + yn−2 = h2fn−1,
como yn = β, temos
−(2 + h2qn−1)yn−1 + yn−2 = h2fn−1 − β. (9.43)
Agora, de�nindo as matrizes, temos:
y =

y1
y2
.
.
.
yi−1
 (9.44)
212 cálculo numérico
A =

−(2 + h2q1) 1 0 · · · 0
1 −(2 + h2q2) 1 · · · 0
.
.
.
0 · · · 1 −(2 + h2qi−2) 1
0 · · · 1 −(2 + h2qi−1)
 ,
(9.45)
B =

h2f1 − α
h2f2
.
.
.
h2fi−2
h2fi−1 − β
 , (9.46)
escrevemos
A · y = B, (9.47)
que corresponde ao conjunto de equações dadas em (9.41). A solução deste
sistema será única desde que a condição q(x) > 0, x ∈ [a, b]. Assim, a solu-
ção desse sistema é solução do problema do valor de fronteira em cada ponto
xi, i = 1, . . . , n− 1.
Exemplo 9.12 Seja o problema do valor de fronteira dado por:
y′′ − y = 0, y(0) = 0, y(1) = 1, 175, h = 0, 25.
Encontre a solução utilizando o método estudado anteriormente.
Solução: Para resolver o problema, vamos escrever o sistema de equações
(9.47). As funções q(x) = 1 > 0, 0 ≤ x ≤ 1 e f(x) = 0. Neste caso as matrizes
tornam-se:
 −(2 + h2) 1 01 −(2 + h2) 1
0 1 −(2 + h2)
 ·
 y1y2
y3
 =
 00
−1, 175
 .
Resolvendo o sistema, obtemos:
y =
 0, 25280, 5214
0, 8225
 .
resolução numérica de edo's 213
Exercício 9.9 Resolva o probelma do valor de fronteira,
y′′ − x2y = 0, y(0) = 0, y(1) = 1, h = 0.2
9.5 Exercícios propostos
1. Seja o problema do valor inicial dado por y′ =
√
1− y2, y(0) = 0. Determine
a solução no intervalo [0, pi/4], usando o método de Taylor com ordem 5.
2. Use o método de Taylor para determinar a solução do problema do valor
inicial y′ = 1
t2+1
, y(0) = 0, até ordem 10.
3. Sejam os problemas do valor inicial dado a seguir. Use o método de Euler
para determinar as soluções:
a) y′ = 1
y
− x, y(1) = 2, h = 0, 1. Qual o valor de y′(2)?
b) y′ = x2y, y(1) = 1, h = 0, 1k, k = 1, 2, 3, 4, 5.
c) y′ = ycos(x), y(0) = 1, h = 0, 1k, k = 1, . . . , 10.
d) y′ = e−2x − 2y, y(0) = 0, 1, no intervalo [0; 0, 2], h = 0, 05
4. O crescimento populacional de certa espécie de bactéria aumenta a uma
taxa que é proporcional ao valor da própria população, e obedece ao pro-
blema do valor inicial y′(t) = 1, 8y(t), y(1) = 1, 9 × 108. Supondo um
período de cinco horas, determine, pelo método de Euler, a quantidade de
bactérias tomando passos h = 1 hora, h = 1/60 horas. Quanto tempo é
necessário para a duplicação da população?
5. Seja um projétil lançado verticalmente do solo e que cai verticalmente.
Sabemos que a resitência do ar é proporcional à velocidade do projétil, o
problema do valor inicial para a velocidade do projétil é dado por: v′(t) =
−32 − α
m
v, v(0) = v0, onde v0 é a velocidade de lançamento, m é a massa
do projétil e α é o coe�ciente de resistência do ar. Supondo que v0 = 4m/s
e
α
m
= 0, 15, use o método de Heun com passo h = 0, 5 para determinar a
solução do problema do valor inicial no intervalo t = [0, 30].
6. Um modelo ecológico para o crescimento de certo pássaro é dado pela equa-
ção diferencial
dN
dt
= 0, 89N − 0, 003N1,9, onde t é medido em meses. Qual
o número de pássaros ao �nal de um ano, quando o número inicial é de
100 pássaros? Utilize o método de Runge-Kutta para resolver a questão e
compare com outros métodos estudados neste capítulo.
214 cálculo numérico
7. O sistema de equações diferenciais descreve o modelo da presa-predador
para certa espécie de animais,
dx(t)
dt
= x(1− y2); x(0) = 5,
dy(t)
dt
= y(0, 75x− 1, 5); y(0) = 2.
Encontre a solução do sistema para t = 1, com h = 0, 1, usando o método
de Runge-Kutta.
8. Encontre a solução para os problemas do valor inicial de segunda ordem
dados por
a) y′′(x) + y(x)