INTEGRAIS MÚLTIPLAS

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INTEGRAIS MÚTIPLAS 
As integrais múltiplas ou integrais de funções de várias variáveis são uma extensão 
natural do conceito de integral de funções de uma variável. As integrais múltiplas 
contribuíram bastante para o engrandecimento do cálculo e sua possível atuação em 
diversas ciências. O cálculo, por meio das Integrais Múltiplas, tem diversas aplicações. 
Entre as diversas aplicações das Integrais Múltiplas, temos: o cálculo de volume de 
sólidos, o cálculo do centro de massa e momento de inércia de um corpo, etc. 
 
INTEGRAIS DUPLAS 
A integral dupla de uma função f(x,y), estendida a um domínio D:





dyc
bxa é igual: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Ou ainda, 
 
 
ENGENHARIA BÁSICA – Santos/Rangel 
DISCIPLINA: CFVV 
(Cálculo de Funções de Várias Variáveis) 
 
Profª. Me Ângela Maria 
 angelamaria26@yahoo.com.br 
profa_angelamaria@hotmail.com 
 
 
 
 
 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
A definição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica análoga à 
definição de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume 
(ver figura 3.1 ) da mesma forma que a integral definida é associada ao cálculo de área. 
Assim, definição formal da integral dupla envolve a soma de muitas áreas elementares, 
isto é, diferenciais de área , ou seja, com a finalidade de obter-se uma quantidade total 
após esta operação. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas 
concernentes a volumes e a áreas. Ao tentar resolver-se “o problema do volume”, sabe-
se que se trata área da base vezes a altura é tal que para cada área elementar o valor 
de fica univocamente definido. Consideremos uma função z = f(x,y)
0
 0, definida numa 
região R do plano xy. Nossa intenção é estimar o volume aproximado do sólido 
delimitado por z = f(x,y) acima do plano z = 0 e pelo cilindro definido pela curva 
fechada que delimita a região R. Para tanto, subdividimos R em n - subregiões traçando 
linhas paralelas aos planos coordenados, conforme na figura 3.2 e 3.3.Assim, a integral 
será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes das colunas 
infinitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, como mostra a Figura 3.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VOLUME DE UM SÓLIDO 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule as integrais: 
a) 
  
2
0
1
0
²)38( dydxxy
. 
b) 
  
2
0
1
0
)3( dydxyx
. 
c) 
  
3
0
2
1
)24( dxdyyx
 
d) 
 
1
0
²
0
x
dxdyxy
 
 
2) Calcular 
D yxf ),(
sendo f(x,y) = x-y e D: 





30
50
y
x
 
 
3) Calcular 
D yxf ),(
sendo f(x,y) = x²+y² e D: 





²0
10
xy
x
 
 
4) Calcule a integral dupla 
dydxyx
R
  )(
onde R é o retângulo 
R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}. 
 
5) Calculando a integral dupla 
dydxyx
R
  )(
onde R = {(x,y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 
1}, obtemos: 
A ) 12 
B ) 1 
C ) 2 
D )1,5 
E )3,5 
6) 
A )312 
B )132 
C )64 
D )32 
E )16 
7) 
A )e - 1 
B )0,5e - 0,5 
C )0,5e 
D )e - 2 
E )2e 
8) 
A )5 
B )6 
C )1/6 
D )- 5 
E )5/6 
E )0 
 
LISTA EXTRA 
 
1) Calcular 
D yxf ),(
sendo f(x,y)=f(x+y)² e D: 





30
50
y
x
 
R: 2
565
 
 
2) Calcular 
D yxf ),(
sendo f(x,y)=f(x²+y²) e D: 





10
1
y
xx
 
R: 
105
26
 
 
3) Calcule a integral dupla de f sobre D. Onde, D é o quadrado 
 e f(x,y) = x²+ y². 
R: 
3
2
 
 
4) Calcule a integral dupla ∫R∫(2x – 3y)dA se R é a região que consiste de todos os 
pontos (x, y), tais que –1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3 
R: - 6 
 
5) Calcule: 
 
1
0 ²
))24((
y
y
dydxxy
 
R: 2 
 
6) Determine o valor da integral dupla 
 
R: 
15
248
 
 
7) Calcule: 
 
1
0 ²
))24((
x
x
dxdyxy
 
R: 2 
 
8) Calcule: 
  
1
0
2
0
)2( dxdyx
 
R: 5 
 
9) Calcule: 
 
1
0
13x
x
dxdyxy
 
 
10) Calcule: 
 
1
0
13
²
y
y
dydxxy
 
 
11) Calcule a integral dupla 
dydxseny 
 
0
2
0
)2(
 
 
12) Calcule a integral dupla 
dydxxyseny 

0
2
0
)(