Lista 10 VAs multidimensionais II

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Universidade Federal de Alfenas - UNIFAL-MG - campus Varginha
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Economia
Disciplina: Cálculo de Probabilidade - Profa. Patrícia de Siqueira Ramos
Lista 10 - Variáveis aleatórias multidimensionais II
1. Considere a função bivariada fX,Y (x,y) = k(x2 − y), 0 < x < 1, 0 < y < 1. Qual o valor da constante k para que
fX,Y (x,y) seja uma função densidade de probabilidade conjunta?
2. Demonstre a terceira propriedade da covariância: Cov(aX,Y ) = aCov(X,Y ).
3. Mostre que, se (X,Y ) for uma v.a. bidimensional contínua, a distribuição condicional de Y dado X = x é uma função
densidade de probabilidade.
4. Suponha que a f.d.p. conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y ) seja dada por fX,Y (x,y) = x2 +
xy
3
,
0 < x < 1, 0 < y < 2. Calcule:
a) P (X > 1/2); b) P (Y < X); c) P (Y < 1/2|X < 1/2).
5. Considere a função conjunta fX,Y (x,y):
y\x 0 1 2
0 1/18 1/9 1/6
1 1/9 1/18 1/6
2 1/6 1/9 1/18
a) Verifique que fX,Y (x,y) é uma função de probabilidade conjunta.
b) Obtenha a f.p. marginal de X e de Y .
c) Calcule P (1 ≤ X ≤ 2, Y ≥ 1).
d) Calcule P (X = 1, Y > 1).
6. Uma f.d.p. conjunta é definida por fX,Y (x,y) = c(x+ 2y), se 0 < x < 2 e 0 < y < 1.
a) Obtenha o valor de c.
b) Encontre as funções marginais de X e de Y .
7. Considere duas variáveis aleatórias X e Y que têm f.d.p. conjunta fX,Y (x,y) =
1
2
xy, 0 < x < 2, 0 < y < x.
a) Obtenha as distribuições marginais de X e de Y . b) X e Y são independentes?
8. Seja fX,Y (x,y) = e−(x+y), x ≥ 0, y ≥ 0.
a) Calcule P (X > 1).
b) Calcule P (1 < X + Y < 2).
c) Calcule o coeficiente de correlação de X e Y .
9. Seja (X,Y ) o vetor aleatório bivariado contínuo com f.d.p. conjunta dada por fX,Y (x,y) =
1
5
e−y , 0 ≤ x ≤ 5, y ≥ 0.
a) Obtenha as marginais de X e Y .
b) Obtenha fX|Y (x|y).
c) Verifique se X e Y são independentes.
10. Deseja-se comparar a relação entre o número de filhos (X) e anos de escolaridade do pai (Y ) em famílias de dois
bairros periféricos da cidade. Apesar de os bairros terem características próximas, suspeita-se que a intensidade da depen-
dência entre essas variáveis seja diferente nos dois bairros. Entre as possíveis razões, o bairro B tem uma comunidade de
moradores mais participativa e atuante em questões sociais. A seguir se encontram as f.p. conjuntas para X e Y de cada
bairro.
x\y 5 6 7 8 9 fX(x) x\y 5 6 7 8 9 fX(x)
2 0,01 0,02 0,05 0,03 0,01 0,12 2 0,01 0,01 0,03 0,08 0,09 0,22
3 0,05 0,05 0,09 0,08 0,06 0,33 3 0,04 0,07 0,06 0,06 0,05 0,28
4 0,11 0,10 0,10 0,13 0,11 0,55 4 0,12 0,13 0,11 0,09 0,05 0,50
fY (y) 0,17 0,17 0,24 0,24 0,18 1,00 fY (y) 0,17 0,21 0,20 0,23 0,19 1,00
a) Verifique se X e Y são independentes para cada bairro.
b) Obtenha ρX,Y para cada bairro e interprete.