Lista 4 Esperança e variância

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Universidade Federal de Alfenas - UNIFAL-MG - campus Varginha
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Economia
Disciplina: Cálculo de Probabilidade - Profa. Patrícia de Siqueira Ramos
Lista 4 - Esperança e variância
1. Demonstre as propriedades de E(X) considerando uma variável aleatória X contínua e sendo c uma cons-
tante:
a) E(c) = c; b) E(cX) = cE(X).
2. Demonstre as seguintes propriedades, considerando c uma constante:
a) V (X + c) = V (X); b) V (cX) = c2V (X).
3. O tempo T , em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória com a
seguinte função de probabilidade:
P (T = t) =

0,1, t=2;
0,1, t=3;
0,3, t=4;
0,2, t=5;
0,2, t=6;
0,1, t=7;
a) Calcule o tempo médio de processamento.
b) Obtenha P (3 ≤ T < 6).
c) Para cada peça processada, o operário ganha um valor fixo de R$2,00 mas, se ele processa a peça em menos
de seis minutos, ganha R$0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minu-
tos, recebe a quantia adicional de R$1,00. Encontre a função de probabilidade, a média, a variância e o desvio
padrão da variável aleatória G: quantia em R$ ganha por peça.
4. Uma moeda é lançada quatro vezes. A variável aleatória X é o número de vezes que uma cara é seguida de
uma coroa. Obtenha a média e a variância de X .
5. Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f(x) = cx2, para −1 ≤ x ≤ 1.
a) Determine o valor da constante c.
b) Encontre o valor de α tal que F (α) = 1/4 (α é o primeiro quartil da distribuição de X).
6. O número de carros vendidos semanalmente em uma concessionária é uma variável aleatória com valor
esperado 16.
a) Forneça um limite superior para a probabilidade de que as vendas na próxima semana excedam 18 carros, ou
seja, obtenha P (X > 18) = P (X ≥ 19). Interprete.
b) Suponha que a variância do número de carros vendidos semanalmente seja igual a 9. Forneça um limite
inferior para a probabilidade de que o número de vendas na próxima semana esteja entre 10 e 22. Interprete.
7. A mediana de uma variável aleatória contínua X , denotada por medX , med(X) ou ξ0,50, é uma medida de
posição tal que F (med(X)) = 1/2, ou seja,∫ med(X)
−∞
f(x)dx =
1
2
=
∫ ∞
med(X)
f(x)dx.
Obtenha a mediana da variável aleatória X que tem a seguinte função densidade de probabilidade: f(x) =
3e−3x, para x ≥ 0.
8. Suponha que X seja uma variável aleatória com média e variância iguais a 20. O que é possível dizer sobre
P (0 < X < 40)?
9. Se E(X) = 1 e V (X) = 5, determine:
a) E(2X + 3); b) E(2 +X2); c) V (4 + 3X).
10. A média dos valores de aluguéis em um bairro é de R$500,00. Verdadeiro ou falso: não mais que 20% dos
aluguéis tem valor de R$2.500,00 ou mais.
11. Um professor sabe que a nota de um estudante na prova final é uma variável aleatória com média 75.
a) Forneça um limite superior para a probabilidade de que a nota de um estudante exceda 85. Suponha, além
disso, que o professor saiba que a variância da nota de um estudante é igual a 25.
b) O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a nota de um estudante esteja entre 65 e 85?
12. Uma empresa tem 82 empregados. A distância média percorrida (da casa para o trabalho) pelos empregados
é 6,2 km. Quantos empregados percorrem uma distância de menos de 15,5km? Selecione todas as respostas
que julgar corretas:
a) mais de 25;
b) mais de 35;
c) mais de 45.