Lista 6 Distribuições contínuas

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Universidade Federal de Alfenas - UNIFAL-MG - campus Varginha
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Economia
Disciplina: Cálculo de Probabilidade - Profa. Patrícia de Siqueira Ramos
Lista 6 - Distribuições de probabilidade contínuas e distribuições de funções de variáveis aleatórias
1. Seja X ∼ U(−α,α), determine o valor de α nas duas situações:
a) P (−1 < X < 2) = 3/4
b) P (|X| < 1) = P (|X| > 2)
2. Se X segue uma distribuição exponencial com média igual a 2, obtenha P (X < 1|X < 2).
3. Se X é uniformemente distribuída no intervalo [1,2], encontre t de modo que P (X > t+ µX) = 1/4.
4. Suponha que a expectativa de vida, em anos, siga o modelo Exponencial(λ = 1/60).
a) Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probabilidade de viver pelo menos até os 70 anos.
b) Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probabilidade de morrer antes dos 70, sabendo-se que o
indivíduo já viveu 50 anos.
c) Calcule o valor de m tal que P (X > m) = 1/2.
5. A distribuição exponencial apresenta uma propriedade interessante chamada de “falta de memória”: consi-
dere, para qualquer s, t > 0, prove que
P (X > s+ t|X > s) = P (X > t).
Se X representa o tempo de vida de um componente, a probabilidade condicional que o componente dure s+ t
unidades de tempo dado que ele já durou s unidades é o mesmo que a probabilidade de ele durar t unidades de
tempo. É o mesmo que dizer que um componente já em funcionamento tem a mesma distribuição de tempo de
vida que um componente novo, ou seja, o componente não estaria sujeito a fadiga.
6. Com a definição da função matemática gama e algumas de suas propriedades, encontre Γ(3/2).
7. Se X é normalmente distribuída com média 2 e variância 2, expresse P (|X − 1| ≤ 2) em termos da função
de distribuição da normal padrão.
8. As notas dos alunos que fizeram uma prova de seleção podem ser aproximadas por uma função densidade de
probabilidade normal. O avaliador atribui o conceito A para aqueles cujas notas forem maiores do que µ + σ,
B para as notas que estiverem entre µ e µ+ σ e C para o restante.
a) Expresse a probabilidade de ocorrer cada um dos conceitos em função da distribuição acumulada da normal
padrão (não é necessário obter os valores das probabilidades).
b) Sem ter a tabela de probabilidades, responda: qual a probabilidade de um aluno obter conceito C?