Aula 4 - Anuidades

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Matemática Atuarial I 
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ANUIDADES
Agora vamos entrar nos produtos atuariais ligados à previdência: as 
anuidades.
Para estudarmos esse tipo de produto atuarial temos que ter em 
mente sempre que os gastos da seguradora (ou do Fundo de 
Pensão ou qualquer outra Instituição Financeira) com um 
determinado segurado, sempre será aleatório, pois não sabemos 
se uma pessoa irá definitivamente se aposentar e, caso se 
aposente, quanto tempo essa pessoa irá receber o benefício.
Antes de entrarmos de fato nesta teoria, apresentaremos algumas 
definições iniciais que darão suporte para continuarmos com a 
teoria.
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ANUIDADES
Relembrando:
Soma finita de uma P.G. É:
Soma infinita de uma P.G. é:
Sn=
a1 (1−qn )
1−q
S∞=
a1
1−q
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ANUIDADES
As anuidades são uma série de pagamentos que 
serão feitos à um segurado até o momento de 
morte (em caso de aposentadoria) ou por um 
período determinado (cobertura).
A série de Prêmios pagos pelo segurado, seja 
para financiar um seguro de vida, seja para 
financiar a aposentadoria, também podem ser 
reconhecidas como anuidades.
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ANUIDADES
1) Pensemos no pagamento de 1 u.m. paga por 
“n” anos. O valor presente de todos os 
pagamentos será:
1+v+v 2+v 3+.. .+vn=1−v
n+1
1−v
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ANUIDADES
Caso as anuidades sejam pagas infinitamente, 
então:
1+v+v 2+v3+.. .= 1
1−v
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ANUIDADES
Para o caso em que a anuidade é finita e existe 
um pagamento feito imediatamente, o valor 
presente será dado por:
a¨ n |=
1−vn
1−v
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ANUIDADES
Pensemos agora no valor final ou acumulado de 
n pagamentos. Essa anuidade certa será 
utilizada posteriormente para cálculo do 
prêmio a ser pago pelo segurado (que, neste 
caso, não será um prêmio único).
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ANUIDADES
Vejamos que:
Vejamos ainda que:
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ANUIDADES
Observe que (exercício). 
11
ANUIDADES
2) Pensemos agora o caso em que as 
anuidades não serão pagas imediatamente, 
isto é, o primeiro pagamento será realizado 
apenas daqui a um ano. Então:
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ANUIDADES
Valor final capitalizado será:
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ANUIDADES
As anuidades que não pagam imediatamente 
uma quantia financeira (o primeiro pagamento 
só ocorre no próximo instante de tempo) são 
chamadas anuidades postecipadas.
As anuidades em que o primeiro pagamento 
ocorre imediatamente são chamadas 
anuidades antecipadas.
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ANUIDADES
3) Os pagamentos podem ser feitos em parcelas 
ao longo do ano (pensemos, como exemplo, 
pagamentos mensais ou semanais ou 
semestrais). O valor presente desta série de 
pagamentos será:
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ANUIDADES
16
ANUIDADES
Uma outra forma de pagamento de anuidades 
seria considerar, como no exemplo 3, 
pagamentos por um período menor que um 
ano, porém não regulares como apresentado 
no exemplo 3. Essas anuidades não serão 
calculadas aqui e não serão consideradas 
nesse curso.
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ANUIDADES
Pensemos no que ocorre quando, no exemplo 3,
 
 Neste caso, estamos caminhando para 
“infinitos” pagamentos ao longo do ano. 
Estamos saindo do tempo discreto para o 
contínuo.
m→∞
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ANUIDADES
Veja que, nesse caso:
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ANUIDADES
20
ANUIDADES
Vamos generalizar para um t genérico (não só 
para t inteiro) temos:
que é o valor presente de um fluxo contínuo de 
pagamentos entre [0,t]. 
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ANUIDADES
Em todos os casos apresentados, estamos 
trabalhando com o valor presente de uma 
série de pagamentos. Não existe, nos 
exemplos acima, o reconhecimento de uma 
variável como tendo “natureza” aleatória. De 
fato, todas as anuidades apresentadas são 
anuidades certas. Uma série de pagamentos 
sendo realizados ao longo do tempo.
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ANUIDADES
Inicialmente trabalharemos com anuidades a 
tempo contínuo.
Veja que, no processo de compra de um produto 
atuarial ou de concessão de benefício, existe 
risco.
A seguradora não sabe se vai receber todos os 
prêmios do segurado (este pode morrer antes 
do período de cobertura) e, a seguradora não 
sabe ao certo quanto irá gastar com previdência 
uma vez que uma pessoa se aposentou e 
entrou em gozo de benefício.
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ANUIDADES
Reconhecer a anuidade como um produto 
atuarial é reconhecer que a seguradora (ou 
fundo de pensão) não saberá ao certo quanto 
que, a valor de hoje, um segurado irá custar.
Pensemos em uma pessoa que aposentou hoje 
e recebeu 1 u.m. e morreu antes de receber a 
segunda parcela do benefício.
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ANUIDADES
Esse segurado (ou participante) irá custar à 
seguradora (ou fundo de pensão) apenas 1 u.m.
Caso o segurado sobreviva um ano a mais e morra no 
ano seguinte, o fundo de pensão deverá ter pago, 
em valores de hoje, o valor de: 1 + v
Se o segurado não morrer nos dois primeiros anos e 
morrer no terceiro ano, deverá ser pago ao 
segurado, à valores de hoje, o valor de: 1 + v + v2
A partir desse ano de morte, o custo desse segurado 
à seguradora fica intuitivo 
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ANUIDADES
Inicialmente, trabalhemos com o tempo discreto.
Imagine que um segurado deseja comprar uma 
anuidade que paga 1 u.m. ao segurado até 
que ele faleça. Qual deverá ser o valor a ser 
pago (Prêmio Puro Único) pelo segurado por 
essa anuidade?
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ANUIDADES
Vamos reconhecer que o valor presente do 
custo com um segurado é uma v.a.. Como dito 
anteriormente, os valores possíveis de gasto 
com esse segurado são:
para um t fixo, a probabilidade associada a esse 
valor de custo será a tpxqx+t
a¨ t |=
1−v t
1−v
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ANUIDADES
Então, para o caso discreto, o V.P.A. será dado 
por:
a¨ x=∑
t=0
∞
a¨ t+1 | t px qx+ t
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ANUIDADES
Exemplo 1: Seja uma pessoa de 40 anos que 
queira comprar uma anuidade que paga 1 
u.m. até o momento de morte começando a 
pagar imediatamente. Considerando a tábua 
de mortalidade AT-2000 e uma taxa de juros 
de 5% a.a., calcule o Prêmio Puro Único a ser 
pago pelo segurado para comprar essa 
anuidade.
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ANUIDADES
30
ANUIDADES
Resolver no quadro.
31
ANUIDADES
No exemplo anterior, o pagamento começa a ser 
realizado imediatamente, ou seja, estamos 
calculando uma anuidade temporária 
antecipada. 
Caso a primeira parcela da anuidade seja paga 
apenas no próximo ano, então o V.P.A. será 
dado por:
a x=∑
t=1
∞
a ̄t+1∣t
pxq x+t
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ANUIDADES
Exemplo 2: Voltemos ao exemplo 1. Seja uma 
pessoa de 40 anos que queira comprar uma 
anuidade que pague 5 parcelas de 1 u.m. 
começando a pagar daqui a um ano. 
Considerando a tábua de mortalidade AT-2000 
e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule o 
Prêmio Puro Único a ser pago pelo segurado 
para comprar essa anuidade.
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ANUIDADES
Resolução no quadro
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ANUIDADES
As anuidades atuariais são calculadas de forma 
semelhantes às que vimos para o cálculo de 
seguro. Basta identificar a lista de valores possíveis 
e de probabilidades associadas e, com essas 
informações, calcular a esperança matemática de 
nossa v.a.
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ANUIDADES
Exemplo 3: Um segurado de idade 50 anos 
deseja comprar uma anuidade que pague 1 
u.m. até o seu falecimento (começando-se a 
se pagar imediatamente). Considerando uma 
taxa de juros anual de 4% e a tábua de 
mortalidade AT-2000 descreva o procedimento 
de cálculo do Prêmio Puro Único a ser pago 
pelo segurado.
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ANUIDADES
Resolução no quadro.
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ANUIDADES
As anuidades temporária ou vitalícia foram 
calculadas considerando T uma v.a. Discreta.
 Imaginando que a anuidade é paga a tempo 
contínuo, o cálculo do V.P.A. será dado por:
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ANUIDADES
considerando
u=1−e
−δt
δ
du=e−δtdt
dv= t p x μ( x+t )dt=f t ( t )dt
v=F t( t )=1−t px
E (Y )=a x=∫
0
∞
a t | f T (t)dt=∫
0
∞
a t | t pxμ(x+t )dt
ā x=∫
0
∞ 1−e−δ t
δ f T (t)dt
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ANUIDADES
Assim, 
40
ANUIDADES
Veja que o V.P.A. pode ser calculado como o 
pagamento de 1 u.m. caso o participante 
esteja vivo no momento do recebimento.
Trazido a valor discreto, essa fórmula seria uma 
série de pagamentos em que, cada 
pagamento teria distribuição bernoulli.
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RELAÇÃO MATEMÁTICA 
IMPORTANTE
Vamos deduzir uma importante relação 
matemática que relaciona o seguro de vida 
com uma anuidade.
Para isso, pensemos que 1 u.m. é posta para 
capitalizar um juros, digamos δ. Após um 
período t capitalizou-se no tempo t.1eδt>1
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RELAÇÃO MATEMÁTICA 
IMPORTANTE
O acréscimo no capital devido ao juros 
trazido esse ganho a valor presente (em t = 0) 
teremos: como então:
eδt−1
v t (eδt−1) v=e−δ
e−δt (eδt−1)=1−e−δt=1−v t
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RELAÇÃO MATEMÁTICA 
IMPORTANTE
Vejamos que:
Relembrando do slide 20:
logo:
1=1−v t+v t= δ
δ
(1−v t )+v t
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RELAÇÃO MATEMÁTICA 
IMPORTANTE
Podemos dizer então que:
onde é o valor de 1 u.m. trazida a valor 
presente e é o valor dos juros trazidos à 
valor presente.
v t
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RELAÇÃO MATEMÁTICA 
IMPORTANTE
Veja que, como obtivemos a relação a partir de 
um t genérico, podemos dizer que, 
considerando a v.a. T, a seguinte relação é 
verdadeira:
É interessante observar que a soma de duas v.a.'s 
possui o valor constante igual a 1.
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RELAÇÃO MATEMÁTICA 
IMPORTANTE
Caso queiramos obter a Esperança Matemática 
dessa nossa v.a. teremos:
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ANUIDADES
Assim:
ā x=
(1− Āx)
δ
Āx=1−δ āx
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ANUIDADES
Podemos também calcular a variância do valor 
presente de um fluxo contínuo de pagamentos 
em [0,t] à taxa de 1 real por ano, com juros δ 
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ANUIDADES
Exemplo:
Suponha que 
Usando uma taxa de juros δ, a Esperança e 
Variância de será dada por:
f T (t )={ 0 t<0μe−μt t>0 }
P (T>t )=t px={e−μt t>01 c .c .}
a t |
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ANUIDADES
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ANUIDADES
Portanto,
Mas, qual a probabilidade de que o valor 
presente de uma anuidade exceda o valor 
presente esperado?
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ANUIDADES
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ANUIDADES
Como T ~ exp(μ) então para t>0
então:
Mas quanto é isso?
P (T>t )=e−μt
P(T>−1δ log( μμ+δ))=e
μ
δ log( μμ+δ )=( μμ+δ)
μ
δ
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ANUIDADES
Considerando δ = 0,10 e prob. morte igual a 
0,0016, essa probabilidade será igual a 0,94 
ou 94%
Considerando δ = 0,01 e μ = 0,033 essa 
probabilidade será 0,42 ou 42%.
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Temporary Life annuities
Paga a taxa de 1 por ano continuamente, enquanto 
indivíduo com a idade x sobrevive pelos 
próximos n anos
Y é uma variável aleatória
Y não é nem continua e nem discreta
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Temporary Life annuities
Precisamos calcular a esperança de Y, ou seja, o 
VPA
Como fazer?
Se o VPA de uma anuidade vitalícia é:
Então o VPA de uma anuidade de vida temporária 
é:
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Temporary Life annuities
Observe que a anuidade temporária pode ser 
escrita em função do seguro de vida 
temporário, lembremos:
 
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Temporary Life annuities
Veja que, Z na forma em que está escrito, 
representa o valor presente de um seguro 
dotal misto que paga 1 u.m.
Assim, temos:
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Anuidades Diferidas
Todos os exemplos que vimos até agora de 
anuidade, o segurado se apresenta na 
seguradora ou fundo de pensão e já sai dessa 
empresa recebendo uma anuidade, ou seja, o 
segurado já sai “aposentado”.
Na prática, para benefícios de aposentadoria, o 
plano é comprado anos antes do início dos 
recebimentos das anuidades. 
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Anuidades Diferidas
Veja que, caso o participante faleça antes do 
início do recebimento da anuidade (antes de 
aposentadoria) a seguradora não terá que 
pagar nada ao segurado (considerando que 
não existe reversão para pensão).
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Anuidades Diferidas
Pensemos então para o caso em que estamos 
no instante t = 0. O segurado irá receber a 
primeira parcela daqui a m anos. Suponha 
que o segurado tenha recebido 3 parcelas e 
tenha falecido. A valor de hoje, o gasto com 
este segurado será: vm + vm+1 + vm+2
Colocando vm em evidência teremos:
Vm(1 + v + v2)
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Anuidades Diferidas
Utilizando o resultado anterior, podemos dizer 
que o valor gasto com esse segurado foi:
Considere agora, que o segurado tenha 
recebido t parcelas da anuidade e tenha 
falecido. Seguindo o mesmo raciocínio, 
trazendo-se a valor de hoje o gasto futuro que 
tivemos com o segurado, teremos:
vm + vm+1 + vm+2 + vm+3 + … vm+t
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Anuidades Diferidas
De forma semelhante ao que fizemos teremos:
Vm(1 + v + v2 + … + vt), ou seja, para um t 
genérico, o gasto atual com o segurado 
considerando que ele receberá t prestações 
será de: 
vm a¨ t |
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Anuidades Diferidas
O gasto médio que teremos com uma anuidade 
vitalícia paga para uma pessoa com idade x 
será então de (considerando que o usuário 
sobreviverá ao período de diferimento):
E (vm a¨ t |)=v
m E (a¨ t |)=v
m a¨ x+m
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Anuidades Diferidas
Nesse caso não consideramos a probabilidade do 
segurado morrer antes do período de 
diferimento.
Veja que neste tipo de produto atuarial, podemos 
observar uma natureza bernoulli associada ao 
pagamento de benefício. Caso o segurado 
faleça antes do período de diferimento, nada 
será pago. Caso ele sobreviva gastaremos, em 
média, 
vm a¨ x+m
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Anuidades Diferidas
O gasto esperado será, então:
E (gasto )=0P(T<m)+vm a¨ x+m P (T≥m )=m px v
m a¨ x+m
E (gasto)=m E x a¨ x+m
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Anuidades Diferidas
Uma outra forma de encararmos a anuidade 
diferida seria:
VPA da anuidade vitalícia menos VPA de uma 
anuidade temporária de m anos
m |a x=a x−a x :m |
m |a x=∫
0
∞
v t t px dt−∫
0
m
v t t px dt=∫
m
∞
v t t px dt
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Anuidades Diferidas
Veja como ficaria a forma de cálculo de uma 
anuidade temporária por n anos, mas diferida 
por m.
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Anuidades Vitalícias com 
pagamento certo para os 
primeiros m anos
Considere, finalmente, o caso em que uma 
seguradora pagará certamente m parcelas 
para o segurado ou seus dependentes (ou 
para qualquer outra pessoa) e, a partir desse 
ponto, a seguradora pagará 1 u.m. caso o 
segurado esteja vivo.
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Anuidades Vitalícias com 
pagamento certo para os 
primeiros m anos
Veja que, os valores possíveis dessa v.a. pode 
ser descrito por:
Y={ām̄∣ 0≤T<mā t̄∣ T>m }
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Anuidades Vitalícias com 
pagamento certo para os 
primeiros m anos
O valor esperado dessa v.a. será:
a x :m |=E (Y )=∫
0
∞
g (t ) f T (t)dt
a x :m |=∫
0
m
a m | f T (t)dt+∫
m
∞
a t | f T (t)dt
a x :m |=a m | m qx+∫
m
∞
a t | f T (t)dt
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Anuidades Vitalícias com 
pagamento certo para os 
primeiros m anos
Uma outra forma de cálculo seria:
a x :m |=a m |+∫
m
∞
v t t px dt
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Referências
Foi utilizado como importante material de apoio 
as notas de aula do prof. Renato Assunção
(site:http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/)
Além das notas de aula da professora 
Luana Junqueira Dias Myrrha e dos livros 
indicados no plano de ensino.
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