Aula 1 - comutação

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Matemática Atuarial I 
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Inicialmente, iremos trabalhar com as funções de comutação. Esse 
método consiste em construir tabelas que auxiliam no cálculo de 
benefícios atuariais no ramo vida (como seguro de vida e 
previdência)
As tabelas de comutação são compostas por 7 colunas:
Idade, Dx, Nx, Sx, Cx, Mx e Rx
 Uma tábua de comutação é constituída a partir de dois elementos:
1) tábua de sobrevivência;
2) taxa de juros (ou fator de desconto)
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Tábua de sobrevivência.
As tábuas de sobrevivência são constituídas das 
colunas:
Idade, qx, px, dx e lx
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Tábua de sobrevivência.
qx: probabilidade de morte de uma pessoa com idade x antes de 
completar a idade de x + 1 anos.
px = 1 – qx; é a probabilidade de sobrevivência de uma pessoa com 
idade x antes de completar a idade de x + 1
(Variações)
nqx : é a probabilidade de uma pessoa com idade x morrer antes de 
completar a idade de x + n anos.
npx: é a probabilidade que uma pessoa com idade x, sobreviva pelo 
menos mais n anos.
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Tábua de sobrevivência.
dx é o número de pessoas que faleceram entre a 
idade x e x + 1
lx é o numero (hipotético) de pessoas vivas com 
idade x
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Tábua de sobrevivência.
Exemplo:
Ver tábua AT-2000 em planilha externa.
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
 Coluna Dx
Dx é o valor presente, à idade zero, do total de 
R$ 1,00 pago a cada pessoa da coorte de l0 = 
100.000 pessoas que chegam vivas à idade x, 
isto é, 
Dx = lx* v
x
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Assim, D0 = v
0 * l0
 D1 = v
1 * l1
 …
 Dw = v
w * lw
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exemplo de cálculo na planilha
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Coluna Nx
Nx é o valor presente do total gasto para pagar uma 
anuidade vitalícia de R$ 1,00 por ano para a coorte 
da tábua de vida. Pagamentos são feitos a partir da 
idade x. Isto é:
Nx = (v
x * lx) + (v
x+1 * lx+1) + (v
x+2 * lx+2) … + (v
w * lw)
Nx = Dx + Dx+1 + … + Dw
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Qual o valor presente, à idade zero, com 
i= 5% e tabela AT-2000, de anuidade que paga R$ 
1,00 por ano a cada membro da coorte a partir de x 
= 65 ?
Resp. Ver na planilha 
Veja que, na prática, constrói-se a coluna na ordem 
reversa.
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Coluna Sx
Sx = Nx + Nx+1 + … + Nw
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
A vantagem das funções de comutação é a 
facilidade no cálculo de produtos atuariais.
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Renda vitalícia imediata antecipada: é uma 
renda (aposentadoria) que é paga ao 
beneficiário até o momento de sua morte e 
que deve ser paga imediatamente a este 
beneficiário.
Nx/Dx
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exemplo:
Quanto é necessário ter hoje para pagar uma 
aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para 
uma pessoa de 30 anos? (considerando uma 
taxa de retorno real de 5% a.a.)
Resp. N30/D30
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Renda vitalícia postecipada: é uma renda 
(aposentadoria) que é paga ao beneficiário até 
o momento de sua morte e que deve ser paga 
no tempo t seguinte (no próximo ano, 
trimestre, mês).
Nx+1/Dx
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Renda Vitalícia diferida antecipada: é uma 
renda paga periodicamente (anualmente, 
mensalmente) até a morte do beneficiário, 
mas começará a ser paga após um período de 
“m” anos de diferimento.
(Nx+n/Dx+n)*(Dx+n/Dx)
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Renda temporária imediata antecipada: é uma 
renda que paga periodicamente o benefício 
por um período limitado de tempo (digamos n 
anos)
(Nx - Nx+n)/Dx
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Voltemos à tábua de comutação: Coluna Cx
Valor presente do total de R$ 1,00, à idade 
T = 0, pago a cada um dos indivíduos da coorte 
que morrem com x anos.
Cx = v
x+1dx
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Coluna Mx
Mx = Cx + Cx+1 + Cx+2 + … + Cw
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Essas colunas são úteis para seguros que 
pagam benefícios em caso de morte, isto é, 
seguros de vida.
Exemplo: Seguro de vida inteiro que paga R$ 
1,00 no final do ano de morte.
Ax = Mx/Dx
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Seguro de Vida com período de carência de n 
anos.
(Mx+n/Dx+n)*(Dx+n/Dx)
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FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Vantagens do método de cálculo de comutação:
Facilidade de cálculo de produtos atuariais
Desvantagens:
Os produtos atuariais nascem de variáveis aleatórias 
e devem ser tratadas como tal. Ao utilizar a 
comutação perde-se a noção da natureza aleatória 
de nossa v.a. além da incapacidade de cálculo de 
variâncias.
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