Aula 13 Parede e Laje

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MEMORIAL DE 
CÁLCULO
Parede e Laje
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO 
RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
IT 520 – Projeto de Construções Rurais e Ambiência II
Professora: Vânia Rosal Guimarães Nascimento
09/10/2015
Memorial de Cálculo
Objetivo
 Demonstrar os cálculos numéricos de 
dimensionamento dos elementos estruturais, 
parede e laje, que compõem as construções 
rurais
Destaques da aula de hoje:
 Parede
 Assentamento dos tijolos
 Vão nas alvenarias
Com quantos blocos se faz uma parede?
 Exemplo
 Laje
Classificação
 Dimensionamento
 Exercícios
Parede
 Que tipo de bloco será utilizado? Cerâmico ou 
de concreto? Vazado ou maciço?
 Quais as dimensões do bloco?
 Qual o tipo de assentamento dos blocos? 
 Qual a espessura das paredes?
 Qual a quantidade de blocos (tijolos) 
necessária?
 Nas paredes terão portas e janelas?
Parede de Tijolo
 Assentamento dos tijolos
 Quanto a colocação (ou dimensão das paredes) dos tijolos, 
podemos classificar as paredes em: cutelo, de meio tijolo, de um 
tijolo, etc.
a) Paredes de 1/4 de tijolo ou cutelo (espelho ou face de 
assentamento visível)
 Assentados segundo a espessura e o maior comprimento
 Tijolos maciços ou vazados
 Não oferecem grande estabilidade
 Aplicação: empregadas somente para fechar pequenos vãos, como 
divisões e fundo de armários embutidos, box de banheiro, etc.
Parede de tijolo
b) Paredes de 1/2 tijolo (alvenaria de ½ vez ou parede de 15)
 Os tijolos (maciços ou vazados) são assentados segundo a 
maior face de modo que a largura corresponda a espessura 
da parede
 São utilizadas para vedação, divisões internas e servem para 
suporte (quando o comprimento for menor que 4 m).
 Para comprimento maior que 4 m, usar pilar de reforço.
Parede de tijolo
c) Paredes de 1 tijolo (parede de 20 ou 25):
 Os tijolos são colocados de forma que o seu comprimento 
(maior dimensão) seja a espessura da parede.
 Existem diversos tipos de assentamento. 
 São utilizadas como paredes externas por serem bastante 
impermeáveis, possuem maior resistência e 
consequentemente maior capacidade para suportar cargas.
Parede de tijolo
d) Paredes oca (alvenaria dupla)
 Usadas quando se pretende grande isolamento de som e 
umidade, além de manutenção de temperatura sem 
grandes variações internas. 
 Recomendadas em cômodos para aparelhos de precisão. 
 São formadas por duas paredes entre as quais forma-se 
câmara de ar equivalente a 1/4 de tijolo. A amarração 
entre as duas paredes faz-se por meio de gatos metálicos.
Paredes
Vão nas alvenarias
 Os vãos - portas, janelas - devem ser protegidos por vergas na parte 
superior e contravergas (peitoril) na parte inferior, a fim de evitar 
deformação da esquadria e trincas no peitoril e nos cantos.
 A verga deve passar de 0,20 a 0,30 m de cada lado do vão
 A contraverga pode ser utilizada como cinta de amarração de 
paredes, sendo até maiores que 0,30 m de comprimento.
Com quantos blocos se faz 
uma parede?
 Informações necessárias
 Dimensões e altura do cômodo
 Quantidade de portas e janelas
 Tipo de bloco
 Consumo de bloco por m² de superfície
 Calcule a área do cômodo 
 Não se esqueça de subtrair da área todos os vãos de janelas, portas 
e aberturas existentes.
 Observação: Um croqui com as medidas facilita o cálculo!
 Escolha o tipo de bloco e verifique a quantidade necessária por 
m² de superfície
 Calcule a quantidade exata em blocos inteiros e acrescente 
10% de reposição para perdas e quebras
Lista da quantidade por m² dos blocos mais usados:
 Bloco de concreto 09x19x39 cm / 14x19x39cm = 12,5 unidades por m²
 Bloco cerâmico (tijolo baiano) em pé - Parede com 10 cm largura = 23 
unidades por m²
 Bloco cerâmico (tijolo baiano) deitado - Parede com 20 cm largura= 46 
unidades por m²
 Tijolo comum maciço - Parede com 10 cm largura = 92 unidades por m²
 Tijolo comum maciço - Parede com 20 cm largura = 184 unidades por 
m²
Com quantos blocos se faz 
uma parede?
 Calcule a quantidade de blocos cerâmicos para a construção de 
um cômodo, com as dimensões 5,00 x 4,00 m e pé direito de 3,00 
m. O cômodo tem uma porta de 0,80 x 2,20 m e duas janelas de 
1,00 x 1,00 m.
 Resolução:
 Perímetro do cômodo = (5,00 + 5,00 + 4,00 + 4,00)m = 18,00 m
 Área total = 18,00 m x 3,00 m = 54,00 m²
 Área das aberturas
 Porta = 0,80 x 2,20 = 1,76 m²
 Janelas = (1,00 x 1,00) x 2 = 2,00 m²
 Área da superfície construída = 54 m² - (1,76 m² + 2,00 m²) = 50,24 m²
 Bloco cerâmico em pé (parede de 10) = 23 unidades por m²
 Total de blocos = 50,24 m² x 23 un./m² = 1155,52 un.
 10% de 1155,52 = 115,55 un.
 Total = 1155,52 + 115,55 = 1271,0 blocos 
Com quantos blocos se faz uma parede?
Exemplo
Então a quantidade de 
blocos cerâmicos para a 
construção do cômodo será 
de 1271 blocos, certo?
Não está faltando nada?
Sim, estão faltando as 
empenas ou oitões!
Com quantos blocos se faz 
uma parede?
 Considerando que será utilizado telha de fibrocimento
 Inclinação = 10º
 Pela tangente do ângulo obtemos a altura do pendural (x)
 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 𝑡𝑎𝑛𝑔 10º =
𝑥
2
∴ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑔 10º . 2 ∴ 𝑥 = 0,35 𝑚
 Área do triângulo retângulo
 𝐴𝑇 =
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
∴ 𝐴𝑇 =
2 𝑥 0,35
2
= 0,35 𝑚2 𝑥 2 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 = 0,71 𝑚2
 Cálculo da quantidade de blocos para as empenas (frente e 
fundos)
 Total = (0,71 m² x 2) x 23 un./m² = 32,4 blocos + 10% = 35,6 = 36 blocos
 Total geral = 1271 + 36 = 1307 blocos
Com quantos blocos se faz uma parede?
Exemplo
Laje
 A instalação agrícola terá laje?
 Qual será o tipo de laje? De concreto? De 
tavelas (lajotas)?
 Qual a altura da laje?
 Qual o diâmetro e espaçamento da 
armadura?
Laje
Classificação
 Quanto à natureza
 Maciça – em concreto armado – vão de 4 a 6m)
 Nervurada – vão de 10 a 12 m
 Mista
 Vigotas e blocos cerâmicos – vão de até 5 m
 Vigotas treliçadas e bloco cerâmico – vão de 8 a 12 m
 Lajes pré-fabricadas – vão de 10 a 11 m
 Quanto ao comportamento à flexão
 Laje armada em uma direção
 Laje armadas em duas direções (em cruz)
 Quanto à continuidade
 Laje isolada
 Laje contínua
Dimensionamento 
de lajes maciças
 1º passo => Verificar o tipo de armação
 2º passo => Definir o apoio dos bordos da laje
 3º passo => Estimativa da altura e do vão 
teórico da laje
 4º passo => Conhecer as cargas
 5º passo => Definir os esforços
Momento fletor
 6º passo => dimensionamento
 7º passo => detalhamento
Representação de uma laje 
maciça
Laje Maciça
 É uma estrutura maciça, constituída de concreto armado.
 A armação de ferro contida em seu interior pode, de acordo 
com os vãos, ser armada em cruz ou em apenas uma direção.
1. Verificação do tipo de armação
Maior lado (ou vão) de apoio da laje Ly
Menor lado (ou vão) de apoio da laje Lx
= 
Tipo de armação
Fonte: Camacho (2004).
Laje maciça
2. Quanto à continuidade
Tanto as lajes armadas em uma só direção como as lajes armadas 
em cruz poderão ser isoladas ou contínuas.
 Lage isolada => aquelas em que não há, em nenhum dos seus 
apoios, continuidade estrutural com as lajes vizinhas
 Laje contínua => quando duas ou mais lajes estão em 
continuidade
Fonte: Camacho (2004).
Laje maciça
3. Determinação das condições de apoio das lajes
a) Tipos de apoios
 Bordo livre => quando não há suporte (Ex.: laje em balanço).
 Bordo apoiado => quando há restriçãodos deslocamentos verticais, sem 
impedir a rotação das lajes no apoio (Ex.: laje isolada apoiada por vigas)
 Bordo engastado => quando há impedimento do deslocamento vertical e 
da rotação da laje neste apoio (Ex.: lajes apoiadas por vigas de grande 
rigidez)
Corte de uma laje 
em balanço (bordo 
livre)
Corte de uma laje apoiada 
em duas vigas (bordos 
apoiados)
Corte de uma laje apoiada 
em duas vigas de grande 
rigidez (bordos engastados)
3. Determinação das condições de apoio dos bordos das lajes
 Laje isolada => Admite-se que se utilize:
 Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande 
rigidez;
 Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez 
normal;
 Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio.
 Convenção utilizada para a representação dos apoios de uma laje
Laje maciça
Fonte: Camargo (2001).
Laje maciça
3. Determinação das condições de apoio dos bordos das lajes
b) Determinação do apoio (ou vinculação) dos bordos entre as 
lajes
 se as lajes apresentam rigidez semelhante, ou seja, têm 
espessuras iguais, considera-se que uma está engastada na 
outra;
 se a espessura de uma laje é muito maior que a espessura de 
outra laje, apenas a segunda está engastada;
 não pode haver engastamento nos lados correspondentes a 
direção de menor rigidez;
 na laje em balanço, qualquer que seja a rigidez da laje ou da 
viga, a laje será sempre engastada.
Laje maciça
3. Determinação das condições de apoio dos bordos das 
lajes
b) Determinação do apoio dos bordos entre as lajes
 Para os painéis de lajes de edifícios, quando houverem lajes 
contíguas no mesmo nível, o bordo poderá ser considerado 
perfeitamente engastado para o cálculo da laje, como mostra a 
próxima figura:
Laje maciça
b) Determinação do apoio dos bordos entre as lajes
Casos particulares
b) Determinação do apoio dos bordos entre as lajes
Casos particulares
Laje maciça
Laje maciça
 Lajes contínuas de diferentes dimensões
Laje maciça
3. Determinação das condições de apoio dos bordos das lajes
 Laje contínua
 Na determinação dos esforços de um painel de laje, é prática 
comum considerar as lajes isoladamente.
 Como em regiões de 
continuidade de lajes 
existe momento negativo, 
este pode ser 
representado, nas lajes 
isoladas, por um engaste
Laje maciça
3. Determinação das condições de apoio dos bordos das lajes
 Laje contínua
 L1 => simplesmente apoiada nas vigas V1 e V4, contínua na direção da 
laje L2 (engastada sobre a V5) e contínua na direção da Laje L3 
(engastada sobre a V2);
 L2 => simplesmente apoiada nas 
vigas V1 e V3, contínua na direção 
das lajes L1 e L3 (engastada sobre a 
V5) e com uma borda livre; e 
 L3 => simplesmente apoiada nas 
vigas V3 eV4, contínua na direção 
da laje L1 (engastada sobre a V2) e 
contínua na direção da laje L2 
(engastada sobre a V5).
Laje Maciça
Estimativa da altura
 Altura útil (d)
 Laje em balanço
d (altura útil) = 0,056.(comprimento do balanço)
 Demais casos
d (altura útil) = (0,028 – (0,006.Leng/Per).L
Onde :
L = é o menor dos valores entre: menor vão da laje ou 0,7 do maior
Leng = soma dos comprimentos dos lados engastados da laje
Per = perímetro da laje = 2 (Lmaior + Lmenor)
 Altura (h) 
h = dy + (φ/2 + φ + 1,5)
 Altura útil
 c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 
0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de espessura 
mínima de 1 cm (NBR-6118)
 φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx
 φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my .
Laje Maciça
Estimativa da altura
 Limites mínimos para a espessura de lajes maciças:
 hmin = 5 cm – cobertura não em balanço 
 hmin = 7 cm – piso ou cobertura em balanço
 hmin = 10 cm – piso p/ veículos de peso total ≤ 30 kN
 hmin = 12 cm – piso p/ veículos de peso total maior q/ 30 kN
Laje Maciça
Estimativa da altura
Laje maciça
Vão teórico
 O vão teórico ou efetivo (lef) das lajes, é o valor da 
distância entre os apoios que deve ser empregado no 
processo da análise estrutural, em cada direção.
Fonte: Camacho (2004).
Fonte: Machado (2006).
Laje maciça
4. Estimativa das cargas atuantes (ações)
 Peso próprio da laje;
 Peso de eventual enchimento;
 Revestimento;
 Paredes sobre lajes;
 Carregamento acidental (sobrecarga ou carga viva);
 Cobertura. 
Laje maciça
4. Estimativa das cargas atuantes (ações)
a)Cargas permanentes
São constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelo peso 
de todos os elementos construtivos fixos e de instalação 
permanente.
 Cargas devidas ao peso próprio da laje;
 Cargas devidas ao revestimento da laje;
 Cargas devidas a paredes sobre a laje;
 Cargas devidas à cobertura.
A somatória dessas cargas, constitui a carga permanente 
sobre a laje. 
Laje maciça
4. Estimativa das cargas atuantes (ações)
a) Cargas permanentes
 Peso próprio
Depende da espessura (altura) da laje que, por sua vez, depende do vão e dos 
esforços solicitantes.
O peso próprio da laje, com altura total h, será calculado por:
pp = 25 . h adotando-se h em cm, pp em kgf/m²;
pp = 0,25 . h adotando-se h em cm, pp em kN/m².
 Revestimento => Tabela 1
Fonte: Camacho (2004).
Piso
2 cm
Camada de regularização
2,5 cm
Laje
Revestimento
2,5 cm
Tabela 1- Ações permanentes por unidade de área
Laje maciça
4. Estimativa das cargas atuantes (ações)
a) Cargas permanentes
 Cobertura
Quando a estrutura do telhado estiver apoiada sobre a laje através de 
pontaletes, deve-se considerar uma carga uniformemente distribuída de 
acordo com o tipo de telha (Tabela 1).
 Pesos específicos dos materiais de construção => ABNT NBR 6120
 Argamassa de cal, cimento e areia = 19,0 kN/m³
 Argamassa de cimento e areia = 21,0 kN/m³
 Argamassa de gesso = 12,5 kN/m³
 Reboco = 20,0 kN/m³
 Concreto simples = 24,0 kN/³
 Concreto armado = 25,0 kN/m³
 Carregamento atuante na laje (peso por unidade de área):
𝑔 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 ℎ
 g = carga permanente uniformemente distribuída, kN/m²;
 𝛾𝑚𝑎𝑡 = peso específico do material, kN/m³;
 h = espessura do material, m.
Laje maciça
4. Estimativa das cargas atuantes (ações)
a) Cargas permanentes
 Para materiais de acabamento ou coberturas, podem ser adotados 
os seguintes valores, considerando pesos por unidade de área:
4. Estimativa das cargas atuantes (ações)
b) Cargas acidentais
As ações variáveis em lajes de concreto armado são as 
decorrentes do tipo de utilização, tais como pessoas, 
mobiliário, materiais diversos, equipamentos, veículos, etc.
Essas cargas são verticais e consideradas atuando no piso 
da edificação e são supostas uniformemente distribuídas –
valores mínimos => Tabela 2 (NBR 6120).
Laje maciça
Laje maciça
4. Estimativa das cargas atuantes (ações)
b) Cargas acidentais
 Edifícios residenciais: 
 Dormitório, sala, copa, cozinha, banheiro → 1,5 kN/m² 
 Despensa, área de serviço, lavanderia → 2,0 kN/m²
 Escadas: 
 Com acesso ao público (área comum) → 3,0 kN/m²
 Sem acesso ao público (área privativa) → 2,0 kN/m²
 Hall: 
 Com acesso ao público (área comum) → 3,0 kN/m²
 Sem acesso ao público (área privativa) → 2,5 kN/m²
 Terraços:
 Com acesso ao público → 3,0 kN/m²
 Sem acesso ao público → 1,5 kN/m²
 Inacessíveis à pessoas → 0,5 kN/m²
 Forros sem acesso à pessoas → 0,5 kN/m²
Exercícios 
Estimativa das cargas atuantes
 Determine as cargas atuantes sobre uma laje de residência agrícola. A 
laje terá 10 cm de espessura, camada de regularização de 1 cm (com 
argamassa de cimento e areia) e acabamento inferior com forrode gesso 
com 1 cm de espessura. Sobre a laje terá uma cobertura com telhas 
cerâmicas e estrutura de madeira. A laje será o foro da residência (sem 
acesso de pessoas).
 Peso próprio = 25 x 10 = 250 kgf/m²
 Revestimento (Obs.: 1 kN = 100 kgf/m²)
 Camada de regularização = 21,0 kN/m³ x 0,01 m = 0,21 kN/m² 
 Forro de gesso = 12,5 kN/m³ x 0,01 m = 0,125 kN/m² 
 Revestimento = 0,21 + 0,125 = 0,335 kN/m² ou 33,5 kgf/m²
 Carga permanente = peso próprio + revestimento
 Carga permanente = 250 kgf/m² + 33,5 kgf/m² = 283,5 kgf/m²
 Carga da cobertura = 1,2 kN/m² ou 120 kgf/m²
 Carga acidental => forro sem acesso de pessoas = 0,5 kN/m² ou 50 kgf/m²
 Carga total = carga permanente + cobertura + acidental
 Carga total = 283,5 + 120 + 50 = 453,5 kgf/m²
Laje maciça
5. Cálculo das solicitações (Cálculo elástico)
Admite-se as seguintes hipóteses:
 Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo 
separadamente;
 Consideração das vigas como sendo apoios indeslocáveis;
 Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente 
distribuída.
a) Lajes armadas em uma direção
Estas lajes serão calculadas apenas na direção do menor lado.
Atenção! Na realidade estas lajes também são armadas nas duas 
direções, será desprezado o cálculo da solicitação na direção do maior 
lado, mas não o efeito da solicitação.
A NBR 6118, recomenda utilizar armadura de distribuição por metro de 
largura da laje
 Seção transversal: ≥ 1/5 da área da armadura principal
 Mínimo de 0,9 cm² e ser composta de pelo menos três barras
Laje maciça
5. Cálculo das solicitações (Cálculo elástico)
a) Lajes armadas em uma direção
 Determinação dos esforços
 Cálculo de uma viga fictícia de 1,0 m de largura.
 De acordo com as vinculações da laje, essa viga poderá ser 
=> bi-apoiada, apoiada-engastada ou bi-engastada
 Lajes isoladas
 Viga do tipo bi-apoiada
𝑥 =
𝑙
2
𝑑𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 𝐴
(𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑜 𝑀)
Laje maciça
5. Cálculo das solicitações (Cálculo elástico)
a) Lajes armadas em uma direção
 Lajes contínuas
= + +
Cálculo das solicitações
Laje contínua armada em uma só direção
𝑅𝐴 = 3 𝑝𝑙/8
𝑅𝐵 = 5 𝑝𝑙/8
𝑅𝐴 𝑅𝐵
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 𝑝𝑙/2
𝑅𝐴 𝑅𝐵
𝑝𝑝
𝑙
𝑙
𝑀𝐵 𝑀𝐴 𝑀𝐵
𝑀𝑚𝑎𝑥
+
𝑀𝑚𝑎𝑥
+
𝑀𝐵 = −𝑝𝑙
2/8
𝑀𝑚𝑎𝑥
+ = 𝑝𝑙2/14,22 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = −𝑝𝑙
2/12
𝑀𝑚𝑎𝑥
+ = 𝑝𝑙2/24𝑥 = 5 𝑙/8 do apoio B
(posição do Mmax)
𝑥 = 𝑙/2 do apoio A
(posição do Mmax)
Laje maciça
5. Cálculo das solicitações
a) Lajes armadas em duas direção (cruz)
 A determinação dos momentos fletores em placas, pela teoria 
da Elasticidade é bastante trabalhosa.
 Existem tabelas para o cálculo expedito.
 Dentre as tabelas existentes na literatura técnica, escolhemos 
as Tabelas de Czerny, com coeficiente de Poisson = 0,20.
 Essas tabelas trazem a solução tanto para lajes isoladas 
quanto para contínuas.
 Após a determinação dos esforços nas lajes isoladas, devemos 
fazer a compatibilização dos momentos de engastamento das 
lajes adjacentes.
Laje maciça
5. Cálculo das solicitações
a) Lajes armadas em duas direção (cruz)
 Cálculo aproximado
 Supõe-se que a laje é composta por uma série de faixas de 1,0m de 
largura em cada uma das direções, independentes entre si.
 A carga é suposta uniformemente distribuída.
 Tabelas de Czerny => apresentam nove casos possíveis de 
condições de contorno
 Passos para o cálculo:
 Definir o tipo da laje (condição de contorno)
 Consultar a tabela para obtenção dos coeficientes de cálculo
 Consultar as fórmulas a serem empregadas na determinação dos 
esforços (momentos, reações de apoio) e flechas na fluência
Laje maciça
5. Cálculo das solicitações
a) Lajes armadas em duas direção (cruz)
 Notação das tabelas de Czerny e as 
expressões para o cálculo dos momentos 
fletores.
Observação: O conjunto de tabelas proposto por Czerny está no item 8.11 
(pág. 54) da Apostila Lajes maciças de concreto armado (Machado, 2006). 
Fonte: Machado (2006) 
Laje maciça - Cálculo das solicitação
Lajes armadas em duas direção (cruz)
 Uniformização de momentos
 Czerny determina momentos fletores isolados em bordas que são 
contínuas em um painel de lajes => necessário uniformizar os 
momentos negativos atuantes nas regiões de continuidade das lajes
 O momento negativo de borda, atuante na junção das lajes Li e Lj, é 
dado pela expressão:
Fonte: Machado (2006) 
Laje maciça
5. Cálculo das solicitações
a) Lajes armadas em duas direção (cruz)
 Uniformização de momentos
 A uniformização dos momentos fletores negativos atuantes na 
junção das lajes Li e Lj implica em alterações (correções) nos 
momentos fletores positivos mi e mj
 O momento mi tem seu valor reduzido, ao passo que o momento mj
tem seu valor aumentado.
Fonte: Machado (2006) 
Laje maciça
5. Cálculo das solicitações
a) Lajes armadas em duas direção (cruz)
 Uniformização de momento
 Como pode ser observado nas equações acima, a correção 
de momentos positivos só é feita para o momento que sofre 
acréscimo (mj)
 Caso mbi seja maior que mbj, os índices i e j devem ser invertidos 
nas equações anteriores.
Exercício – Cálculo de solicitação
 Determinar os momentos fletores de cálculo atuantes no painel 
de lajes abaixo indicado. Considerar:
 Estado limite último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 
(𝛾𝑔 = 1,4 𝑒 𝛾𝑞 = 1,4)
 Caga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m²
 Carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m²
Laje maciça
6. Armadura de flexão
a) Armadura principal e armadura secundária
 Lajes armadas em duas direções => todas as armaduras de flexão são 
consideradas como principal
 Lajes armadas em uma direção => a 
armadura posicionada na direção 
do menor vão é a principal. Na 
direção do maior vão deve-se, 
obrigatoriamente, colocar uma 
armadura de distribuição –
armadura secundária.
Fonte: Machado (2006) 
Laje maciça
6. Armadura de flexão
a) Armadura principal e armadura secundária
 Armadura => determinada para cada metro de laje (𝑏𝑤 = 1𝑚).
 Altura útil => é conveniente adotar-se a altura útil da armadura 
mais afastada da borda tracionada. 
Fonte: Machado (2006) 
 Armadura de flexão
 Prescrições gerais
 Para as armaduras principais de flexão, o diâmetro máximo das 
barras não deve ultrapassar o valor de h/8 da laje e o 
espaçamento (s) entre as barras deve atender ao seguinte:
 Recomenda-se utilizar como bitola mínima
 Armadura positiva => = 4,2 𝑚𝑚
 Armadura negativa => = 6,3 mm => para evitar que essa se 
amasse muito (pelo peso dos funcionários) antes da concretagem, 
o que reduz a altura útil da laje
Laje maciça
 Nas lajes armadas em uma direção, o valor e o espaçamento 
das armaduras secundárias, ou de distribuição, deve atender: 
Laje maciça
Laje maciça
6. Armadura de flexão
Taxas de armadura mínima de flexão
 A Tabela abaixo apresenta, de acordo com a NBR 6118 as seguintes 
taxas de armaduras mínimas que deverão ser respeitadas
 As => armadura tracionada
20% 𝐴𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
Laje maciça
 𝜌𝑚𝑖𝑛 é função do tipo de concreto (fck), da armadura (positiva 
ou negativa), do tipo de elemento estrutural
 𝜌𝑠 => taxa de armadura numa determinada seção
Laje maciça
 Definição das barras e espaçamentos
 A Tabela abaixo apresenta a área da seção da armadura por 
metro de laje (s=espaçamento entre ferros)
Tabela 6. Área da seção dos ferros por metro de laje
Laje maciça
 Dimensionamento à flexão
 As ações (forças) geram solicitações (esforços) nas estruturas.
 A partir das ações de valor característico(F = Fk) definem-se os seus 
valores de cálculo (𝐹𝑑 = 𝛾𝑓𝐹𝑘) que, através de teorias de cálculo 
estrutural, permitem determinar as solicitações em valor de cálculo (Sd)
𝐹 = 𝐹𝑘 → 𝐹𝑑 = 𝛾𝑓𝐹𝑘 → 𝑆𝑑
 Em estruturas de comportamento linear, pode-se primeiro determinar as 
solicitações em valor característico, correspondentes às ações em valor 
característico, que multiplicadas por 𝛾𝑓 definem os seus valores de 
cálculo
𝐹 = 𝐹𝑘 → 𝑆𝑘 → 𝑆𝑑 = 𝛾𝑓𝑆𝑘
 No caso da flexão simples, tem-se: 𝐹𝑑 → 𝑀𝑑
 E assim pode-se usar: 𝑀𝑑 = 𝛾𝑓𝑀𝑘
 que equivale a dizer que o momento de cálculo é o momento 
característico majorado pelo coeficiente de majoração das ações.
Laje maciça
 Resistências do concreto e da armadura
 São determinadas através de teorias apropriadas, a partir dos 
dados da seção transversal e das características mecânicas 
dos materiais
 No caso da flexão simples, tem-se como dados:
 𝑓𝑐𝑘 → 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜
 𝑓𝑦𝑘 → 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎
 Dimensões da seção transversal (concreto e armadura)
 Através das hipóteses admitidas e da teoria apropriada, 
determina-se o momento resistente último da seção
𝑀𝑑,𝑢𝑙𝑡 = 𝑀𝑑𝑢 𝑜𝑢 𝑀𝑢
Definições
 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
- Resistência de cálculo do aço à tração 
 𝛾𝑠 - Coeficiente de segurança do aço
 𝛾𝑐 - Coeficiente de segurança do concreto
 𝜀𝑦𝑑 - Deformação do aço para a tensão de 𝑓𝑦𝑑
 𝜀𝑠 - Deformação do aço correspondente a uma tensão 
de tração qualquer 𝜎𝑠
 𝜀𝑐 - Deformação do concreto (fibra mais comprimida) 
correspondente a uma tensão de compressão qualquer 
𝜎𝑐
 𝐴𝑠 - armadura tracionada
 𝐴𝑠’- armadura comprimida
 𝑥 - posição da linha neutra
Comportamento de uma viga 
solicitada à flexão simples
 Considere uma viga de concreto armado biapoiada, 
submetida a duas forças concentradas P crescentes e de igual 
intensidade. 
 A armadura é composta por armadura longitudinal, resistente 
às tensões de tração provenientes da flexão, e armadura 
transversal, dimensionada para resistir aos esforços cortantes, 
composta por estribos verticais no lado esquerdo da viga e 
estribos e barras dobradas no lado direito da viga.
 A (a) mostra as trajetórias das tensões principais de tração e de 
compressão da viga ainda no estádio I. 
 Observe que no trecho de flexão pura as trajetórias das tensões 
de compressão e de tração são paralelas ao eixo longitudinal da 
viga. 
 Nos demais trechos as trajetórias das tensões são inclinadas 
devido à influência dos esforços cortantes.
Comportamento de uma viga 
solicitada à flexão simples
 Enquanto a resistência à tração do concreto é superior às tensões 
principais de tração, não surgem fissuras na viga.
 As primeiras fissuras de flexão só surgem na região de máximos 
momentos fletores, no instante que as tensões de tração atuantes 
igualam e superam a resistência do concreto à tração na flexão 
(Figura b). 
 Para este nível de carregamento a viga apresenta trechos 
fissurados, no estádio II, e trechos não fissurados, no estádio I.
 A direção das fissuras é perpendicular às tensões principais de 
tração, ou seja, a inclinação das fissuras depende das tensões. Por 
esta razão, na região de flexão pura, as fissuras são verticais.
Comportamento de uma viga 
solicitada à flexão simples
 A Figura c mostra os diagramas de deformações e de tensões nas 
seções a e b da viga, nos estádios I e II, respectivamente.
 No estádio I a máxima tensão de compressão (σc) ainda pode ser 
avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo não valendo 
para o estádio II.
Comportamento de uma viga 
solicitada à flexão simples
Comportamento de uma viga 
solicitada à flexão simples
 Com o carregamento num patamar superior começam a surgir 
fissuras inclinadas nas proximidades dos apoios, por influência das 
forças cortantes atuando em conjunto com os momentos fletores.
 Essas fissuras inclinadas são chamadas de fissuras de cisalhamento 
(Figura d), que não é um termo adequado porque tensões de 
cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva de força cortante. 
Sugerimos fissura de “flexão com cortante”
 Com carga elevada, a viga, em quase toda a sua extensão, 
apresenta-se no estádio II. Apenas nas proximidades dos apoios a 
viga permanece no estádio I.
 COMPARAÇÃO DOS DOMÍNIOS 2, 3 E 4
 As deformações nos materiais componentes das vigas de Concreto 
Armado submetidas à flexão simples encontram-se nos domínios de 
deformações 2, 3 ou 4, conforme definidos na NBR 6118 (item 17.2.2).
Comportamento de uma viga 
solicitada à flexão simples
Domínio 2
 A deformação de alongamento (εsd) na armadura tracionada (As) 
é fixa e igual a 10 ‰, e a deformação de encurtamento (εcd) na 
fibra mais comprimida de concreto varia entre zero e εcu, 
considerando que, para os concretos do Grupo I de resistência (fck
≤ 50 MPa), εcu assume o valor de 3,5 ‰.
𝑥23
Domínio 2
 Sob a deformação de 10 ‰ a tensão na armadura corresponde 
à máxima permitida no aço (fyd), como se pode verificar no 
diagrama σ x ε do aço mostrado na Figura 6. 
 No domínio 2, portanto, a armadura tracionada é econômica, 
isto é, a máxima tensão possível no aço pode ser implementada 
nessa armadura.
Domínio 2
 O estado limite último é caracterizado pelo escoamento do 
aço (εsd = 10 ‰). A linha neutra corta a seção. O concreto é 
pouco solicitado e a armadura está em escoamento.
 A altura da zona comprimida obedece à condição:
 𝑥 ≤ 𝑥23 =
0,0035 𝑑
0,0035+0,010
= 0,259 𝑑
 Na questão relativa à segurança, no caso de vir a ocorrer a 
ruptura, ou seja, o colapso da viga, será com “aviso prévio”, 
porque como a armadura continuará escoando além dos 10 
‰, a fissuração na viga será intensa e ocorrerá antes de uma 
possível ruptura por esmagamento do concreto na região 
comprimida.
 A intensa fissuração será visível e funcionará como um aviso
aos usuários de que a viga apresenta um problema sério, 
alertando-os, de modo que sejam tomadas medidas visando a 
evacuação do local, antes que a ruptura venha a ocorrer.
Domínio 3
 A deformação de encurtamento na fibra mais comprimida 
corresponde ao valor último (εcu), de 3,5 ‰ para os concretos do 
Grupo I de resistência (fck ≤ 50 MPa).
 A deformação de alongamento na armadura tracionada varia 
entre εyd (início de escoamento do aço) e 10 ‰, o que significa 
que a armadura escoa um certo valor.
 A tensão na armadura é 
a máxima permitida, 
igual à fyd , pois 
qualquer que seja a 
deformação entre εyd e 
10 ‰ (zona útil), a 
tensão será fyd . Isso 
implica que a armadura 
também é econômica 
no domínio 3.
𝑥34
Domínio 3
 Neste domínio, portanto, tanto o concreto comprimido quanto o 
aço tracionado são aproveitados ao máximo, diferentemente do 
domínio 2, onde o concreto tem deformações de encurtamento 
menores que a máxima.
 A ruptura no domínio 3 é também chamada com “aviso prévio”, 
pois a armadura, ao escoar, acarretará fissuras visíveis na viga, 
antes que o concreto alcance a ruptura por esmagamento.
 A linha neutra corta a seção.
 A altura da zona comprimida obedece à condição:
 𝑥23 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥34 = 0,0035
𝑑
0,0035+𝜀𝑦𝑑
= 0,628 𝑑 (Aço CA–50)
Domínio 4
 A deformação de encurtamento na fibra mais comprimida está com 
o valor máximo de εcu , e a armadura tracionada não está escoando, 
pois sua deformação é menor que a de início de escoamento (εyd). 
 A tensão na armadura é menor que a máxima permitida (fyd) => 
armadura antieconômica, pois não aproveita a máxima capacidade 
resistente do aço => armadura “folgada” e a seção é chamada 
superarmada na flexão simples (NBR6118, 17.2.2).
/
 As vigas não podem ser 
projetadas à flexão 
simples no domínio 4 => a 
ruptura, se ocorrer, será 
do tipo “frágil”, ou “sem 
aviso prévio”
 O concreto rompe 
(esmaga) por 
compressão (εcd > εcu), 
sem escoamento do 
aço.
Conclusão
 Como conclusão pode-se afirmar: as vigas devem ser projetadas à 
flexão simples nos domínios 2 ou 3, e não podem ser projetadas no 
domínio 4.
 A NBR 6118 (item 14.6.4.3) apresenta limites para a posição da linha 
neutra que visam dotar as vigas e lajes de ductilidade, afirmando 
que quanto menor for a relação x/d (x = posição da linha neutra, d 
= altura útil da viga), maior será a ductilidade.
 Os limites são: x/d ≤ 0,45 para concretos com fck ≤ 50 MPa e x/d ≤
0,35 para concretos com fck > 50 MPa.
 Considerando os concretos do Grupo I de resistência (εcu = 3,5 ‰) e 
o aço mais comum (CA-50), no limite entre os domínios 3 e 4 a 
relação x/d para a linha neutra é 0,63d e a deformação no aço é a 
deformação de início de escoamento (εyd) de 2,07 ‰
Dimensionamento à flexão
 Seção retangular com armadura simples
 Posição da linha neutra (altura do zona comprimida X):
0,4 𝑥2 − 𝑑 𝑥 +
𝑀𝑑
0,68 . 𝑏. 𝑓𝑐𝑑
= 0
 Solução da equação polinomial de 2º grau
 𝑥 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 Com o valor de x tem-se o domínio de deformação 
correspondente, podendo ocorrer as seguintes situações:
Domínio 2 => 𝑥 ≤ 𝑥23 = 0,259 𝑑
Domínio 3 => 𝑥23 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥34 =
0,0035 𝑑
0,0035+𝜀𝑦𝑑
𝑜𝑢 𝑥34 = 0,628 𝑑 , para εyd
de 2,07 ‰
Domínio 4 => 𝑥 ≥ 𝑥34; neste caso, a seção é superarmada e 
deve ser evitada.
 Quando ocorrer o domínio 4, pode ser utilizada um das 
alternativas indicados a seguir:
 Aumentando-se a altura h
 Adotando-se armadura dupla
 Observação: o aumento da resistência do concreto (𝑓𝑐𝑘), também 
permitiria fugir do domínio 4.
 Para a situação adequada de peça subarmada ou 
normalmente armada, a equação a seguir determina a 
armadura de tração (As)
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 (𝑑 − 0,4 𝑥)
Dimensionamento à flexão
Detalhamento das armaduras
 Armadura positiva
 Posição => são sempre colocadas na face inferior das 
lajes
 Armadura principal (aquela que é paralela ao menor 
vão) => sempre fica por debaixo da armadura 
secundária ou de distribuição.
 Barras não alternadas => a armadura deve ser 
estendida, a favor da segurança, até os apoios, 
penetrando no mínimo 10 (diâmetro da barra) ou 6 
cm no apoio.
 Para garantir o comportamento de chapa, deve ser 
ancorada nas vigas
 Barras alternadas => alguma economia pode ser 
conseguida utilizando barras alternadas, que podem 
ter seu comprimento reduzido de 0,2 Lx (menor lado).
Armadura positiva
Barras não alternadas
Armadura positiva
Barras alternadas
Armadura negativa
 Posição => colocadas na face superior das lajes, 
sobre o apoio comum a duas lajes vizinhas.
 Também poderão ser distribuídas segundo dois 
critérios à escolha do calculista: não alternada ou 
alternada.
Detalhamento das armaduras
Armadura negativa
Barras não alternadas
𝐿
𝑥
1
𝐿𝑦1
𝐿
𝑦
2
𝐿𝑥2
0,2 𝐿𝑥1 + 55∅ 0,2 𝐿𝑥2 + 55∅
Armadura negativa
Barras alternadas
0,2 𝐿𝑥2 + 55∅
2
0,2 𝐿𝑥1 + 55∅
𝐿𝑦1 𝐿𝑥2
𝐿
𝑥
1
Notação gráfica
Pilar
 Quantos pilares terá a instalação?
 Qual a posição dos pilares?
 Que tipo de material será utilizado na 
confecção dos pilares?
 Qual a altura dos pilares?
Viga
 Que tipo de material será utilizado na 
confecção das vigas? 
 Qual a posição das vigas na construção?
 Quais serão as dimensões das vigas?