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Introdução à Mecânica dos Fluidos

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FATEC-JAHU 
 
 
MECFLU 
 
prof. ManeLucas 
 
email: manueljlucas@gmail.com 
 
Fatec – Jahu 
1S2013 
Definição de Mecânica dos Fluidos 
1. A mecânica dos fluidos é o ramo da mecânica que estuda o comportamento físico dos fluidos e suas 
propriedades. 
 
2. É a parte da física que estuda os efeitos das forças em fluidos 
 
3. Física, por sua vez, é a ciência que estuda a natureza e seus fenômenos em seus aspectos mais gerais. Analisa 
suas relações e propriedades, além de descrever e explicar a maior parte de suas consequências. 
 
4. A física busca a compreensão científica dos comportamentos naturais e gerais do mundo em que vivemos, 
desde as partículas elementares até o universo como um todo. Amparando-se em metodologias científicas e 
na lógica e tendo a matemática como linguagem natural, esta ciência descreve a natureza através de modelos 
científicos. 
 
5. Os aspectos teóricos e práticos da mecânica dos fluidos são de fundamental importância para a solução de 
diversos problemas encontrados habitualmente na engenharia, sendo suas principais aplicações destinadas 
ao estudo de escoamentos de líquidos e gases, máquinas hidráulicas, aplicações de pneumática e hidráulica 
(industrial ou não), sistemas de ventilação e ar condicionado, além de diversas aplicações na área de 
aerodinâmica voltada para a indústria naval e aeroespacial. 
 
6. Dessa forma, pode-se perceber que a mecânica dos fluidos está diretamente relacionada a muitos processos 
industriais presentes na engenharia e sua compreensão representa um dos pontos fundamentais para a 
solução de problemas geralmente encontrados nos processos industriais. 
Por que estudar Mecânica dos Fluidos? 
O projeto de todos os meios de transporte requer a aplicação dos 
princípios de Mecânica dos Fluidos. Exemplos: 
 
• Projetos das asas e do corpo de aviões para vôos subsônicos e supersônicos 
• Aerobarcos 
• Pistas inclinadas e verticais para decolagem 
• Cascos de barcos e navios 
• Projetos de submarinos e automóveis 
• Projeto de carros e barcos de corrida (aerodinâmica) 
• Sistemas de propulsão para vôos espaciais; 
• Sistemas de propulsão para fogos de artifício e sinalizadores 
• Projeto de todos os tipos de máquinas de fluxo, incluindo bombas, separadores, 
compressores e turbinas; 
• Sistemas de lubrificação de máquinas e veículos; 
• Sistemas de aquecimento e refrigeração para veículos,residências particulares e 
grandes edifícios comerciais, etc.. 
Por que estudar Mecânica dos Fluidos? 
• Dois exemplos: 
 
• O sistema de circulação do sangue no corpo humano é 
essencialmente um sistema de transporte de fluido e, 
como consequência, o projeto de corações e pulmões 
artificiais são baseados nos princípios da Mecânica dos 
Fluidos; 
 
• O posicionamento da vela de um barco para obter maior 
rendimento com o vento e a forma e superfície da bola de 
golfe para um melhor desempenho são ditados pelos 
mesmos princípios. 
Por que estudar Mecânica dos Fluidos? 
• O desastre da ponte do tipo pênsil sobre o estreito de 
Tacoma em 1940 evidencia as possíveis conseqüências que 
ocorrem quando os princípios básicos da Mecânica dos 
Fluidos são negligenciados; 
• Essa ponte, apenas 4 meses depois de ter sido aberta ao 
tráfego, foi destruída durante um vendaval; 
• Inicialmente, sob a ação do vento (70 km/h), o vão central 
pôs-se a vibrar no sentido vertical, passando depois a 
vibrar torcionalmente, com as torções ocorrendo em 
sentido oposto nas duas metades do vão. Uma hora 
depois, o vão central se despedaçava. 
• ..\Videos\Ponte de Tacoma.wmv 
Diferença entre Fluidos e Sólidos 
• Fluidos são moles e deformáveis..... 
• Sólidos são duros e muito pouco deformáveis 
• Em linguagem científica: A diferença fundamental 
entre sólidos e fluidos está relacionada com sua 
estrutura molecular. 
• Nos sólidos as moléculas sofrem forte força de atração 
entre si, o que as mantém próximas umas das outras e 
lhes garante um formato próprio. 
• Isto não ocorre com os fluidos, cujas moléculas 
apresentam um certo grau de liberdade de movimento, 
e isto garante que os mesmos apresentem pequenas 
forças de atração e não apresentam formato próprio. 
 
Fluidos X Sólidos 
• A principal distinção entre em sólido e um 
fluido diz respeito ao comportamento que 
apresentam em face às forças externas. 
• Os fluidos não resistem a esforços tangenciais 
por menores que estes sejam, o que implica 
que se deformam continuamente. 
F 
Fluidos X Sólidos 
• Se uma força de compressão fosse usada para 
distinguir um sólido de um fluido, este último 
seria inicialmente comprimido e, a partir de um 
determinado ponto, ele se comportaria 
exatamente como se fosse um sólido, isto é, 
seria incompressível. 
Fluidos X Sólidos 
• Já os sólidos, 
ao serem 
solicitados por 
esforços, 
podem resistir, 
deformar-se e 
ou até mesmo 
cisalhar. 
 
Fluidos X Sólidos 
• Os sólidos resistem às forças de cisalhamento 
até o seu limite elástico ser alcançado (este 
valor é denominado tensão crítica de 
cisalhamento), a partir da qual 
experimentam uma deformação irreversível, 
enquanto que os fluidos são imediatamente 
deformados irreversivelmente, mesmo para 
pequenos valores da tensão de cisalhamento. 
 
O Estudo da Mecânica dos Fluidos 
• O estudo da mecânica dos fluidos é dividido 
basicamente em dois ramos: a estática dos fluidos e a 
dinâmica dos fluidos. 
• A estática dos fluidos (hidrostática) trata das 
propriedades e leis físicas que regem o 
comportamento dos fluidos livre da ação de forças 
externas quando o fluido se encontra em repouso ou 
então com deslocamento em velocidade constante. 
• Já a dinâmica dos fluidos (hidrodinâmica) é 
responsável pelo estudo e comportamento dos fluidos 
em regime de movimento acelerado no qual se faz 
presente a ação de forças externas responsáveis pelo 
transporte de massa. 
Classificação dos Fluidos 
• Os fluidos podem ser classificados como: Fluidos Newtonianos ou Fluido 
Não Newtonianos. 
• Esta classificação está associada à caracterização da tensão cisalhante, 
como linear ou não-linear, no que diz respeito à dependência desta 
tensão com relação à deformação e à sua derivada. 
• Em um fluido newtoniano a tensão cisalhante é diretamente 
proporcional à taxa de deformação e cada componente dessa tensão é 
proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal a essa 
componente. A essa constante de proporcionalidade dá-se o nome de 
viscosidade. 
• Um fluido não-newtoniano é um fluido cuja viscosidade varia 
proporcionalmente à energia cinética que se imprime a esse mesmo 
fluido, respondendo de forma quase instantânea. 
• A viscosidade é a grandeza que caracteriza o atrito entre as moléculas 
de um fluido. Por exemplo, você já percebeu a diferença quando se 
despeja uma lata de óleo em um tanque ou no chão e outra igual cheia 
de água. Diz-se que o óleo é mais viscoso que a água, pois "flui" com 
maior dificuldade que a água. 
Divisão dos Fluidos 
• Os fluidos também podem ser divididos em líquidos e gases. 
• Os líquidos formam uma superfície livre, isto é, quando em repouso 
apresentam uma superfície estacionária não determinada pelo recipiente 
que contém o líquido. 
• Os gases apresentam a propriedade de se expandirem livremente quando 
não confinados (ou contidos) por um recipiente, não formando portanto 
uma superfície livre. 
• A superfície livre característica dos líquidos é uma propriedade da 
presença de tensão interna e atração/repulsão entre as moléculas do 
fluido, bem como da relação entre as tensões internas do líquido com o 
fluido ou sólido que o limita. 
• Um fluido que apresenta resistência à redução de volume próprio é 
denominado fluido incompressível,enquanto o fluido que responde com 
uma redução de seu volume próprio ao ser submetido a ação de uma 
força é denominado fluido compressível. 
• Uma das principais diferenças entre os gases e os líquidos é a propriedade 
que têm os primeiros de serem facilmente compressíveis. 
Propriedades gerais dos fluidos 
1. A superfície livre de um líquido em equilíbrio 
é plana e horizontal. 
 
Propriedades gerais dos fluidos 
2. A força exercida por um líquido sobre uma superfície 
qualquer é sempre perpendicular (normal) a essa 
superfície. Isto pode ser constatado quando furamos um 
vaso que contém líquidos e observamos que este se 
projeta (derrama, escoa) perpendicularmente à parede do 
vaso. 
 
Propriedades gerais dos fluidos 
3. Líquidos de diferentes densidades, 
quando em equilíbrio, obedecem a uma 
propriedade chamada imiscibilidade. 
• É o que se observa, por exemplo, 
entre o óleo de cozinha e a água que, 
quando colocados em um mesmo 
recipiente, não se misturam, 
apresentando uma superfície de 
separação plana e horizontal. O óleo, 
por ser menos denso do que a água, 
se sobrepõe a ela. 
Propriedades gerais dos fluidos 
4. Um corpo mergulhado em um líquido fica 
sujeito a uma pressão que aumenta à medida em 
que é maior a profundidade que o corpo alcança. 
Ou seja, ocorre uma variação de pressão, em 
função da profundidade. 
Unidades de Medida 
• No dia-a-dia frequentemente expressamos quantidades 
ou grandezas em termos de outras unidades que nos 
servem de padrão. Um bom exemplo é quando vamos à 
padaria e compramos 2 litros de leite ou 400g de queijo. 
Na Física é de extrema importância a utilização correta 
das unidades de medida. 
• Existe mais de uma unidade para a mesma grandeza, por 
exemplo, 1metro é o mesmo que 100 centímetros ou 
0,001 quilômetro. Em alguns países é mais comum a 
utilização de graus Fahrenheit (°F) ao invés de graus 
Celsius (°C) como no Brasil. Isso ocorre porque, como não 
existia um padrão para as unidades, cada pesquisador ou 
profissional utilizava o padrão que considerava melhor. 
Sistema Internacional de Unidades 
• Como diferentes pesquisadores utilizavam unidades de medida 
diferentes, existia um grande problema nas comunicações 
internacionais. 
• Como poderia haver um acordo quando não se falava a mesma 
língua? 
• Para resolver este problema, a Conferência Geral de Pesos e 
Medidas (CGPM) criou o Sistema Internacional de Unidades (SI) 
que tem como objetivo uniformizar as medições. 
• Na 14ª CGPM (1971) foi acordado que no Sistema Internacional 
existiria apenas uma unidade para cada grandeza. 
• No Sistema Internacional de Unidades (também conhecido 
como SI ou Sistema Métrico) existem sete unidades básicas que 
podem ser utilizadas para derivar todas as outras. 
Unidades básicas do SI 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica ampere A 
Temperatura kelvin K 
Quantidade de matéria mol (mole) mol 
Intensidade luminosa candela c 
O significado das unidades de medida 
• Unidade de comprimento - O metro, que foi criado em 
1791 durante a Revolução Francesa, inicialmente significava 
um décimo de milionésimo da distância do polo norte ao 
equador. 
• Posteriormente o metro foi definido como sendo a 
distância entre duas linhas finas marcadas próximo aos 
extremos de uma placa de platina irradiada. 
• Em 1960 o metro passou a ser definido como sendo 
1.670.763,73 comprimentos da onda da raia alaranjada da 
lâmpada de vapor de criptônio 86. 
• Em 1983, por ocasião da 17ª Conferência Geral sobre Pesos 
e Medidas, o metro foi relacionado com a velocidade da luz 
no vácuo e redefinido como sendo o comprimento da 
trajetória percorrida pela luz no vácuo durante 
1/299.792548 de um segundo. 
O significado das unidades de medida 
• Unidade de tempo - O segundo. No estudos dos fenômenos físicos 
geralmente é relevante saber o intervalo de duração do fenômeno 
para assim compará-lo com a duração de um outro fenômeno que 
define a unidade padrão de tempo. 
• Existem várias unidades padrão para o tempo e geralmente elas 
estão baseadas em fenômenos que se repetem. Por exemplo, a 
rotação da terra (que é um fenômeno periódico) define a duração de 
1 dia na terra. 
• Inicialmente o segundo era definido como sendo a fração 1/86.400 
do dia solar médio. Atualmente o segundo é definido como o tempo 
gasto para que se ocorram 9.192631.770 oscilações de luz (de um 
comprimento específico) emitidas por um átomo de césio-133. 
O significado das unidades de medida 
• Unidade de Massa - No Sistema 
Internacional de Unidades a unidade 
padrão para a massa é o Kg (diz-se 
quilograma) que é definido como sendo a 
massa de um cilindro de platina irradiada 
mantido a 0ºC na sede da Agência 
Internacional de Pesos e Medidas em Paris 
Unidades Derivadas do SI 
• As unidades derivadas do SI são definidas de forma que sejam coerentes 
com as unidades básicas, ou seja, são definidas por expressões algébricas 
sob a forma de produtos de potências das unidades básicas do SI e/ou 
suplementares, com um fator numérico igual a 1. 
• Várias unidades derivadas no SI são expressas diretamente a partir das 
unidades básicas e suplementares, enquanto que outras recebem uma 
denominação especial (Nome) e um símbolo particular. 
• Se uma dada unidade derivada no SI puder ser expressa de várias formas 
equivalentes utilizando, quer nomes de unidades básicas/suplementares, 
quer nomes especiais de outras unidades derivadas SI, admite-se o 
emprego preferencial de certas combinações ou de certos nomes especiais, 
com a finalidade de facilitar a distinção entre grandezas que tenham as 
mesmas dimensões. 
• Por exemplo, o 'hertz' é preferível em lugar do 'segundo elevado à potência 
menos um'; para o momento de uma força, o 'newton.metro' tem 
preferência sobre o joule. 
Tabela de Unidades Derivadas 
Resumo das Principais Unidades 
Derivadas usadas em MecFlu 
• Unidade de velocidade - Um metro por segundo 
(m/s ou m. s-1) é a velocidade de um corpo que, 
com movimento uniforme, percorre o 
comprimento de um metro em 1 segundo. 
• Unidade de aceleração - Um metro por segundo 
quadrado (m/s2 ou m. s-2) é a aceleração de um 
corpo, animado de movimento uniformemente 
variado, cuja velocidade varia, a cada segundo, de 
1 m/s. 
Unidades Derivadas com Nomes e 
Símbolos Especiais 
Significado das Unidades Derivadas 
usadas em MecFlu 
• Unidade de intensidade de força - Um newton (N) é a intensidade 
de uma força que, aplicada a um corpo que tem uma massa de 1 
quilograma, lhe comunica uma aceleração de 1 metro por segundo 
quadrado. 
• Unidade de pressão - Um pascal (Pa) é a pressão uniforme que, 
exercida sobre uma superfície plana de área 1 metro quadrado, 
aplica perpendicularmente a esta superfície uma força total de 
intensidade 1 newton. 
• Unidade de Energia, trabalho, Quantidade de calor - Um joule (J) é 
o trabalho realizado por uma força de intensidade 1 newton, cujo 
ponto de aplicação se desloca de 1 metro na direção da força. 
• Unidade de potência, fluxo radiante - Um watt (W) é a potência que 
dá lugar a uma produção de Energia igual a 1 joule por segundo. 
Unidades Derivadas que possuem 
nomes especiais no SI 
• Viscosidade dinâmica 
• Nome: pascal segundo 
• Símbolo: Pa s 
• Expressão em unidades básicas do SI: m-1kg s-1 
 
• Unidade de viscosidade dinâmica - Um pascal segundo (Pa s) 
é a viscosidade dinâmica de um fluido homogêneo no qual o 
movimento retilíneo e uniforme de uma superfície plana de 1 
metro quadrado, dá origem a uma força resistente de 
intensidade 1 newton, quando há uma diferença de 
velocidade de 1 metro por segundo entre dois planos 
paralelos separados por 1 metro de distância. 
Tabela de conversão de unidades 
Tabela de Conversão de Unidades 
Exercício 
• Suponha que vc adquiriu um veículo de origem 
chinesa cujo indicador de consumo de combustível é 
representado pela unidade (litros / 100 km rodados). 
Agora suponha que numa viagem de 300 kms vc 
consumiu 24 litros de combustível. Isso posto 
responda: 
• Qual a média de combustível no marcador original? 
• Qual a média de combustível na referência brasileira 
(km/litro) ? 
• Quantos litros de combustível esse veículo consumirá 
para percorrer 1300 km? 
 
Próxima Aula 
 
• Propriedades dos Fluídos: 
• Massa Específica (densidade). 
• Peso Específico. 
• Peso Específico Relativo (Densidade relativa). 
• Exercícios sobre o assunto 
Propriedades dos Fluidos 
• Algumas propriedades são fundamentais para a 
análise de um fluido e representam a base para o 
estudo da mecânica dos fluidos. 
• Essas propriedades são específicas para cada tipo 
de substância avaliada e são muito importantes 
para uma correta avaliação dos problemas 
comumente encontrados na indústria. 
• Dentre essas propriedades, as mais importantes 
são: a massa específica (densidade), o peso 
específico e o peso específico relativo. 
MASSA ESPECÍFICA 
• Representa a relação entre a massa de uma determinada substância e 
o volume ocupado por ela. 
• A massa específica, ou densidade absoluta (conhecida pela letra grega 
Rho), pode ser quantificada através da aplicação da seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
• onde ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e V o 
volume por ela ocupado. 
• No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em 
kg e o volume em m³, assim, a unidade de massa específica é kg/m³. 
• Outras unidades usuais para massa específica são o g/cm3 e o kg/litro 
V
m
volume
massa

MASSA ESPECÍFICA 
• Exemplo: Suponha que a figura a seguir represente 
um bloco homogêneo de ferro, com dimensões 2m x 
1m x 1m e cuja massa (m) é conhecida e igual a 
15.200 kg. 
 
 
 
• Volume: V = 2m x 1m x 1m = 2m3 
• Como:  = m/V 
•  = 15.200 kg / 2m3 
•  = 7.600 kg / m3 
2 m 
1 m 
1 m 
Substância g / cm3 Kg / m3 
Água 1,0 1.000 
Gelo 0,92 920 
Álcool 0,79 790 
Ferro 7,8 7.800 
Chumbo 11,2 11.200 
Mercúrio 13,6 13.600 
Massa Específica de alguma substâncias 
MASSA ESPECÍFICA 
• Exercício 1: Qual o volume, em litros, 
ocupado por 30 toneladas de água, 30 
toneladas de álcool, 30 toneladas de ferro e 
30 toneladas de chumbo? 
 
• Resposta: água: 30.000 litros 
• álcool: 37.974 litros 
• ferro: 3.846 litros 
• chumbo: 2.678 litros 
MASSA ESPECÍFICA 
• Exercício 2: Admita que a massa específica da 
gasolina é  = 0,66 g/cm3. Em um tanque com 
capacidade para 10.000 litros (10 metros 
cúbicos), qual a massa de gasolina 
correspondente? 
 
• Resposta: 6.660 kg. 
MASSA ESPECÍFICA 
• Exercício 3: Um reservatório cilíndrico possui 
diâmetro de base igual a 2m e altura de 4m. 
Sabendo-se que o mesmo está totalmente 
preenchido com gasolina premiun ( = 0,72 
g/cm3, determine a massa de gasolina 
presente no reservatório. 
MASSA ESPECÍFICA 
• Exercício 4: Admita que a massa específica do 
isopor vale 200 kg/m3 e a do chumbo 11.400 
kg/m3. Qual é o volume necessário de isopor e 
chumbo, para se obter 1 kg de cada 
substância. 
MASSA ESPECÍFICA 
• Exercício 5: Suponha que são misturados 
volumes iguais de dois líquidos com massas 
específicas de 0,50 g/cm3 e 0,90 g/cm3. 
Determine a massa específica da mistura. 
 
• Exercício: 
• O heptano e o octano são duas substâncias 
que entram na composição da gasolina. Suas 
massas específicas valem, respectivamente, 
0,68 g/cm3 e 0,70 g/cm3. Qual é a densidade 
da gasolina obtida quando se misturam 65 
cm3 de heptano e 35 cm3 de octano? 
MASSA ESPECÍFICA 
• Resolução: 
• Para resolver o problema, devemos aplicar a 
relação: 
 
 
• Sabemos o volume de gasolina: 
• Vg = VH + V0 = 65 + 35 = 100 cm
3, porém, não 
conhecemos a massa de gasolina. 
 
V
m
volume
massa

MASSA ESPECÍFICA 
• Para calcular a densidade da gasolina resultante, 
é necessário conhecer as massas de heptano e 
octano. 
 
 
• Da expressão acima obtemos: 
• MH = 0,68 x 65 = 44,2 g 
• M0 = 0,70 x 35 = 24,5 g 
• A massa da gasolina, portanto, será: 69,7 g 
• Logo, a densidade da gasolina será: 0,687 g/cm3 
V
m
volume
massa

MASSA ESPECÍFICA 
MASSA ESPECÍFICA X DENSIDADE 
• Embora sejam definidas de forma análoga, existe uma diferença conceitual entre 
os termos densidade e massa específica. 
• A massa específica é característica de um material homogêneo e isotrópico e não 
de um objeto (corpo) que, por sua vez, é caracterizado pelo termo densidade. 
• Um objeto oco pode ter densidade muito diferente da massa específica do 
material que o compõe, a exemplo dos navios. Embora a massa específica do aço 
seja maior do que a massa específica da água, a densidade de um navio - 
assumido uma estrutura "fechada", é reconhecidamente menor do que a da 
água. 
• Quando se fala de massa específica estamos nos referindo à substância que 
compõe um corpo. Quando falamos da densidade de um corpo, estamos nos 
referindo ao corpo como um todo, considerando seu formato, partes ocas e 
outras características. 
• Para líquidos e gases as expressões densidade e massa específica - dadas as 
propriedades físicas destes estados - acabam sendo utilizadas como sinônimos. 
Variação da densidade com a temperatura 
• Você já deve ter observado que uma substância qualquer, quando 
aquecida, se dilata, isto é, seu volume se torna maior quando 
comparado com a situação inicial. 
• Como exemplo pode ser citado o que acontece com o 
termômetro, utilizado para medir temperaturas. O mercúrio, 
quando aquecido, aumenta de volume, subindo na escala. 
• Apesar desse aumento de volume, a massa da substância 
permanece a mesma (lembre-se de que a massa é uma grandeza 
constante). 
• Vimos que a densidade absoluta é a relação entre massa e 
volume. Mantendo a massa constante e fazendo o volume variar, 
estamos, automaticamente, provocando uma variação na 
densidade da substância. A conclusão, portanto, é que a 
densidade absoluta varia com a temperatura. 
Variação da densidade com a temperatura 
• Vamos supor uma experiência com os seguintes dados sobre o álcool metílico: 
1. Para 30°C, m = 790 g, V = 1.000 cm3 
2. Quando aquecido a 50°C, ocorre um acréscimo de 12 cm3 no volume 
• Deseja-se saber qual a densidade absoluta do álcool na temperatura de 30°C e 
50°C. 
 
RESPOSTA: 
μ 30°C = m/V μ 30°C = 790/1.000 μ 30°C = 0,7900 g/cm3 
 
Na temperatura de 50°C, o volume aumentou 12 cm3, portanto: 
V = 1.000 + 12 V = 1.012 cm3 
A massa não varia com a temperatura, daí: 
μ 50°C = m/V μ 50°C = 790/1.012 μ 50°C = 0,7806 g/cm3 
 
Variação: 0,7900 – 0,7806 = 0,0094 g/cm3 
Variação da densidade com a temperatura 
• Neste caso a variação foi pequena, pois o aumento de volume também foi 
pequeno, já que a temperatura elevou-se poucos graus, de 30°C para 50°C. 
• Para maiores variaçõesde temperatura, maiores serão as variações de volume e, 
consequentemente, os valores de densidade começam a diferir sensivelmente. 
• Em se tratando de líquidos e sólidos, a dilatação tem pouco efeito sobre a 
alteração no volume, para variações de temperatura elevadas. Em relação a gases, 
contudo, a situação se modifica bastante pois é facilmente constatável que os 
mesmos apresentam grande dilatação volumétrica térmica. 
• Exemplo prático: Um bloco de alumínio possui, a 0°C, um volume de 100 cm3. A 
densidade do alumínio, a esta temperatura, é 2,7 g/cm3 . Quando variamos a 
temperatura do bloco de 500°C, o volume aumenta de 3%. Calcular a densidade 
do alumínio na temperatura de 500°C. 
• μ 0ºC = m/V0ºC → m = μ 0ºC . V0ºC Portanto: m = 2,7 x 100 → m = 270 g 
• Variando a temperatura de 500°C, o volume cresceu 3% e passou a ser 103 cm3. 
Então: μ 500°C = 270/ 103 μ 500ºC = 2,6 g/cm
3 
Densidade Relativa - δ 
(ou simplesmente Densidade) 
 
A Densidade Relativa (δ), ou simplesmente densidade, é definida 
como a relação entre a massa específica de uma substância e a de 
outra tomada como referência. 
 
δ =  / o 
 
• Em geral usa-se a água (para líquidos) e o ar (quando se tratar 
de gases) como substâncias de referência. 
• No Sistema internacional: ρ0 H2O = 1.000kg/m
3 e 
 ρ0 ar = 1,29 kg/m3 
• A densidade é uma grandeza adimensional e, portanto, o seu 
valor é o mesmo para qualquer sistema de unidades. 
PESO ESPECÍFICO 
• É a relação entre o peso de um fluido e o volume ocupado pelo mesmo. Seu valor pode 
ser obtido pela aplicação da equação: 
 
 
 
 
• Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton) 
como sendo igual ao produto da massa X a aceleração da gravidade (G = m x g) e a 
relação m/V corresponde à densidade  do líquido em questão, a equação pode ser 
reescrita do seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 
• onde, γ (lê-se gama) é o peso específico do fluido, G é o peso do fluido e g 
representa a aceleração da gravidade. Em unidades do (SI), o peso é dado em N, a 
aceleração da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³. 
 
 
 
V
G
volume
peso

g
V
gm


 
V
G
PESO ESPECÍFICO 
• Exemplo: 
• Calcular o peso específico de um cano metálico de 6 
kg e volume tubular de 0,0004 metros cúbicos. 
• Peso G = 6 kg x 9,8 m/s2 = 58,8 N 
•  = G / V 
•  = 58,8 / 0,0004 
•  = 147.000 N/m3 
VOLUME ESPECÍFICO 
• Volume Específico - Vs - É definido como 
sendo o inverso do peso específico. Ou seja: 
 
 
• Em unidades do SI, a unidade do volume 
específico é dada e, m3/N 
Vs= 1/γ = V/G 
PESO ESPECÍFICO RELATIVO 
• Representa a relação entre o peso específico do 
fluido em estudo e o peso específico da água. 
• γ = γ / γH2O 
 
• Em condições de atmosfera padrão o peso 
específico da água é 10.000 N/m³. Como o peso 
específico relativo é a relação entre dois pesos 
específicos, o mesmo é um número 
adimensional, ou seja não contempla unidades. 
TABELA DE PROPRIEDADES DE ALGUNS FLUIDOS 
Lista de exercícios 
1) Sabendo-se que 1.500 kg de massa de uma 
determinada substância ocupa um volume de 
2 m³, determine a massa específica, o peso 
específico e o peso específico relativo dessa 
substância. (750 kg/m3, 7500 N/m3, 0,75) 
2) Se 7 m3 de um óleo tem massa de 6.300 kg, 
calcule sua massa específica, o peso, o peso 
específico e volume específico no sistema (SI). 
 
Dados: γH2O = 10.000N/m³, g = 10m/s². 
Lista de exercícios 
3) A massa específica de uma determinada substância é igual 
a 740 kg/m³, determine o volume ocupado por uma massa 
de 500 kg dessa substância. (0,675 m3 
= 675 litros) 
4) Sabendo-se que 400 kg de um líquido ocupa um 
reservatório com volume de 1.500 litros, determine sua 
massa específica, seu peso específico e o peso específico 
relativo. 
 
5) Determine a massa de mercúrio presente em uma garrafa 
de 2 litros. (Ver propriedades do mercúrio na Tabela). 
 
Dados: γH2O = 10.000 N/m³, g = 10m/s², 1.000 litros = 1m³ 
 
Lista de exercícios 
6) Um reservatório cúbico com 2 m de aresta 
está completamente cheio de óleo lubrificante 
(ver propriedades na Tabela). Determine a 
massa de óleo quando apenas ¾ do tanque 
estiver ocupado. 
7) Sabendo-se que o peso específico relativo de 
um determinado óleo é igual a 0,8, determine 
seu peso específico em N/m³. 
PRÓXIMA AULA 
 
• Estática dos Fluidos. 
• Definição de Pressão Estática. 
• Unidades de Pressão. 
• Conversão de Unidades de Pressão. 
ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
• A estática dos fluidos é a ramo da mecânica 
dos fluidos que estuda o comportamento de 
um fluido em uma condição de equilíbrio 
estático. 
• Para quantificar e resolver problemas 
relacionados à pressão estática e escalas de 
pressão é necessário primeiramente entender 
alguns Conceitos básicos de pressão. 
Conceitos básicos de pressão 
• O conceito de pressão foi introduzido a partir da 
análise da ação de uma força sobre uma superfície. 
• Quando você pisa sobre um solo fofo como, por 
exemplo, a areia de uma praia, seus pés deixam marcas 
no chão. Nesse caso, diz-se que seu corpo exerceu uma 
pressão sobre o chão e que essa pressão deixou nele 
marcas. Se o solo fosse duro, as marcas não ficariam 
tão visíveis, mas ainda assim o chão estaria recebendo 
a mesma pressão de seus pés. 
• De uma maneira genérica pode-se afirmar que 
Pressão é o resultado da ação de uma força sobre uma 
superfície. 
 
A pressão exercida por um liquido 
• Considere um recipiente cheio de água, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
• Nele foram feitos vários orifícios de mesmo tamanho, mas localizados em alturas 
diferentes. Vc perceberá facilmente que, quanto mais baixo estiver o orifício, mais forte 
será o jato de água. 
• É por esse motivo que as pessoas não podem mergulhar muito fundo na água do mar 
sem os devidos equipamentos de proteção. A forte pressão das profundezas certamente 
as esmagaria. 
• É por este motivo também, que os submarinos só podem mergulhar no mar até certa 
profundidade. Depois de certo ponto, eles correm o risco de ser esmagados pela forte 
pressão da água. 
• Uma curiosa e importante propriedade da pressão exercida por um líquido é que um 
corpo mergulhado em seu interior recebe pressão do mesmo de todos os lados. 
• Se a pressão viesse só de cima para baixo, um peixe, por exemplo, seria empurrado para 
baixo o tempo todo e não conseguiria se equilibrar nem ficar parado em algum ponto no 
meio da água 
 
Conceitos básicos de pressão 
• Quando você exerce, com a palma da mão, uma força sobre uma 
superfície (uma parede, por exemplo), dizemos que você está exercendo 
uma pressão sobre a parede. A figura a seguir representa a força F 
aplicada em um determinado ponto da superfície, onde a componente 
normal (Fx) da força atua realizando pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Observe, porém que, na realidade, a força aplicada pela mão distribui-se 
sobre uma área, exercendo a pressão. 
Fx 
Fy 
F 
Conceitos básicos de pressão 
• Define-se a pressão de uma força sobre 
uma superfície como sendo a razão entre a 
força normal aplicada a essa superfície e a 
área da mesma. 
• Então: p = F/A, onde: 
• p = pressão, F representa uma força normal 
à superfície e A = área da superfície. 
Unidade de Pressão no SI 
• Como a força aplicada é dada em Newtons [N] e a área em metro ao quadrado 
[m²], o resultado dimensional será o quociente entre essas duas unidades. 
• Portanto, a unidade básica de pressão no sistema internacional de unidades (SI) 
é N/m² (Newton por metro ao quadrado). 
• A unidadeN/m² é usualmente chamada de Pascal (Pa), uma homenagem ao 
físico, matemático, filósofo moralista e teólogo francês Blaise Pascal (1623-
1662), autor dos estudos que esclareceram os conceitos de pressão e vácuo e 
ampliaram o trabalho anterior de Evangelista Torricelli. 
• É muito comum na indústria se utilizar a unidade Pa e seus múltiplos kPa (quilo 
pascal) e MPa (mega pascal). 
• Desse modo, as seguintes relações são aplicáveis: 
• 1N/m² = 1 Pa 
• 1kPa = 1.000 Pa = 10³ Pa 
• 1MPa = 1.000.000 Pa = 106 Pa 
Frases (pensamentos) de Pascal 
• “O coração tem razões que a própria razão desconhece". 
• “A justiça sem a força é impotente, a força sem justiça é tirana”. 
• “A maior fraqueza do homem é poder tão pouco sobre aqueles que ama”. 
• “A razão manda em nós muito mais imperiosamente do que um senhor; é que, desobedecendo a um, é-se infeliz, 
desobedecendo a outro, é-se tolo”. 
• “Uma vez que não podemos ser universais e saber tudo quanto se pode saber acerca de tudo, é preciso saber-se um 
pouco de tudo, pois é muito melhor saber-se alguma coisa de tudo do que saber-se tudo apenas de uma coisa”. 
• “Deixe-se um rei sozinho, sem nenhuma satisfação dos sentidos, sem nenhuma preocupação do espírito, sem 
companhia, a pensar apenas em si mesmo; e ver-se-á que um rei sem divertimentos é um homem muito desgraçado”. 
• “Numa grande alma, tudo é grande”. 
• “Não sendo possível fazer-se com que aquilo que é justo seja forte, faz-se com que o que é forte seja justo”. 
• “A natureza detesta o vazio”. 
• “Eloquência positiva é aquele que persuade com doçura, não com violência, ou seja, como um rei, não como um 
tirano”. 
• “Há duas espécies de homens: uns, justos, que se consideram pecadores, e os pecadores , que se consideram justos”. 
• “Nem a contradição é sinal de falsidade, nem a falta de contradição é sinal de verdade”. 
• “É uma doença natural no homem acreditar que é dono da verdade”. 
• “A maior parte dos problemas do homem decorre de sua incapacidade de ficar calado”. 
• “Ninguém é tão ignorante que não tenha algo a ensinar, nem tão sábio que não tenha algo a aprender”. 
• “Quanto mais inteligente um homem é, mais originalidade encontra nos outros. Os medíocres acham toda a gente 
igual”. 
• “A virtude de uma pessoa mede-se não por ações excepcionais, mas pelos hábitos cotidianos”. 
• "A falsa humildade é puro orgulho“. 
Outras Unidades de Pressão 
• Na prática, são utilizadas nos mostradores dos manômetros 
muitas outras unidades para a especificação da pressão. 
• As mais comuns são: atm, mmHg, kgf/cm², bar, psi e mca, 
cujas especificações são apresentadas a seguir: 
 
• atm (atmosfera) 
• mmHg (milímetro de mercúrio) 
• kgf/cm² (quilograma força por centímetro ao quadrado) 
• bar (nomenclatura usual para pressão barométrica) 
• psi (libra por polegada ao quadrado) 
• mca (metro de coluna d’água) 
Tabela de Conversão de Unidades de 
Pressão 
• Dentre as unidades definidas de pressão, tem-se um 
destaque maior para a atm (atmosfera) que representa 
teoricamente a pressão necessária para se elevar em 760 
mm uma coluna de mercúrio. 
• A partir dessa definição, usa-se a seguinte tabela para a 
conversão entre unidades de pressão pode ser utilizada: 
 
• 1atm = 760mmHg 
• 1atm = 760mmHg = 101.230Pa 
• 1atm = 760mmHg = 101.230Pa = 1,0330 kgf/cm² 
• 1atm = 760mmHg = 101.230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01bar 
• 1atm = 760mmHg = 101.230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01bar = 14,7psi 
• 1atm = 760mmHg = 101.230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01bar = 14,7psi = 10,33mca 
Pressão Atmosférica e Barômetro de Torricelli 
• Sabe-se que o ar atmosférico exerce uma pressão sobre tudo que existe na superfície 
da Terra. A medida dessa pressão foi realizada por um discípulo de Galileu chamado 
Evangelista Torricelli, em 1643. 
• Para executar a medição, Torricelli tomou um tubo longo de vidro, fechado em uma 
das pontas e encheu-o até a borda com mercúrio. Depois tampou a ponta aberta e, 
invertendo o tubo, mergulhou essa ponta em uma bacia com mercúrio. 
• Soltando a ponta aberta notou que a coluna de mercúrio descia até um determinado 
nível e estacionava quando alcançava uma altura de cerca de 760 milímetros. 
• Acima do mercúrio, dentro do tubo, Torricelli logo constatou que havia vácuo e que o 
peso do mercúrio dentro do tubo estava em equilíbrio estático com a força que a 
pressão do ar exercia sobre a superfície livre de mercúrio na bacia. 
• Definiu assim que a pressão atmosférica local era capaz de elevar uma coluna de 
mercúrio em 760mm, definindo desse modo a pressão atmosférica padrão. 
• O mercúrio foi utilizado na experiência devido à sua elevada densidade. Se o líquido 
fosse água, a coluna deveria ter mais de 10 metros de altura para haver equilíbrio, 
pois a água é cerca de 14 vezes mais leve que o mercúrio. 
• Torricelli repetiu a experiência em diferentes cotas e percebeu que a altura da coluna 
variava de cota para cota. 
• Tais variações permitiram concluir que a pressão atmosférica podia variar e suas 
flutuações eram medidas pela variação na altura da coluna de mercúrio. 
• Torricelli não apenas demonstrou a existência da pressão do ar, mas inventou o 
aparelho capaz de realizar sua medida. 
• ....... comprova a existência da pressão atmosférica, ou seja, a coluna de mercúrio 
equilibra-se por ação da pressão que a atmosfera exerce sobre a superfície livre de 
mercúrio na cuba e esta pressão é numericamente igual ao peso de uma coluna de 
mercúrio de 760 mm de altura. 
• Variações em torno deste valor serão obtidas de acordo com o local em que se 
realize a experiência. 
• Ao nível do mar, obtém-se 760 mmHg. 
• Em lugares mais altos, como a pressão atmosférica é menor, a altura da coluna 
líquida de mercúrio também será menor. 
• No alto do monte “Everest”, por exemplo, a experiência acusaria uma pressão 
atmosférica da ordem de 300 mmHg. 
• A experiência também pode ser realizada com outros líquidos que não o mercúrio. 
• A altura da coluna é inversamente proporcional à densidade do líquido empregado. 
• Isto significa que quanto menor a densidade do líquido, maior a altura da coluna. 
• No caso da água, atingiria o valor de 10,3 m. 
A experiência de Torricelli.... 
Exercícios 
1) Uma placa circular com diâmetro igual a 0,5m possui 
um peso de 200 N. Determine em Pa a pressão exercida 
por essa placa quando a mesma estiver apoiada sobre 
o solo. 
(Resp.: 1.052,6 Pa) 
2) Determine o peso em N de uma placa retangular de área 
igual a 2m² de forma a produzir uma pressão de 5.000 Pa. 
(Resp.: 10.000 N) 
3) Que pressão uma caixa d'água de área de base 1,2m X 
0.5 m, altura de 1 m e peso de 1.000 N exerce sobre o 
solo? 
• a) Quando estiver vazia (Resp.: 1.666 Pa) 
• b) Quando estiver cheia com água (Resp.: 11.666 Pa) 
• Dados: γH2O = 10.000N/m³, g = 10m/s². 
 
Exercícios 
4) Converta as unidades de pressão para o sistema indicado. 
(utilize os fatores de conversão apresentados na tabela). 
• a) converter 20psi em Pa. 
• b) converter 3000mmHg em Pa. 
• c) converter 200kPa em kgf/cm². 
• d) converter 30kgf/cm² em psi. 
• e) converter 5bar em Pa. 
• f) converter 25mca em kgf/cm². 
• g) converter 500mmHg em bar. 
• h) converter 10psi em mmHg. 
• i) converter 80000Pa em mca. 
• j) converter 18mca em mmHg. 
Próxima Aula 
 
 Teorema de Stevin. 
 Princípio de Pascal. 
Princípio de Arquimedes 
Pressão hidrostática 
• Chama-se pressão hidrostática à pressão existente 
em um ponto qualquer desse líquido, decorrente 
da ação exclusiva do peso do líquido. 
• Matematicamente, essa pressão pode ser obtida 
através da seguinte expressão: 
 
• P = ρ.g.h, onde: 
• ρ = densidade do líquido 
• g = aceleração da gravidade, e 
• h = altura da coluna do líquido sobre o pontoestudado 
Teorema de Stevin 
• Simon Stevin foi um físico e matemático belga que 
concentrou suas pesquisas nos campos da geometria 
vetorial e, mais especificamente, da estática e 
hidrostática, no final do século 16. 
• O teorema de Stevin (ou Lei de Stevin), também 
conhecido por teorema fundamental da hidrostática, 
permite determinar a pressão atuante em qualquer 
ponto de uma coluna de líquido. 
• Entre outras coisas, Stevin demonstrou, 
experimentalmente, que a pressão exercida por um 
fluido depende exclusivamente da sua altura. 
Teorema de Stevin 
• Considere os dois pontos A e B na figura que segue: 
 
 
 
 
 
 
• A pressão hidrostática em cada um desses pontos é 
calculada da seguinte forma: 
• PA = ρ.g.hA e PB = ρ.g.hB 
• Portanto: PB - PA = ρ.g.hB - ρ.g.hA = ρ.g.(hB - hA) 
• Logo: PB = PA + ρ.g.h 
Teorema de Stevin 
• Como o peso específico corresponde ao produto 
da densidade multiplicada pela aceleração da 
gravidade (γ = ρ.g), obtém-se que 
• ∆P = γ⋅h que corresponde ao enunciado do 
teorema de Stevin: 
“A diferença de pressão entre dois 
pontos de um fluido em repouso é 
igual ao produto do peso específico 
do fluido pela diferença de cota 
entre os dois pontos avaliados”. 
 
Pressão Absoluta 
• Utilizando o teorema de Stevin, pode-se 
constatar que, para um líquido em equilíbrio cuja 
superfície está sob ação da pressão atmosférica, 
a pressão absoluta (P) sofrida por um ponto 
submerso qualquer do líquido afastado de uma 
cota (altura) h da superfície será: 
 
P = Patm + Phidrost = Patm + ρ.g.h 
EXERCÍCIO 
• 1) Um reservatório aberto em sua superfície 
possui 8 m de profundidade e contém água. 
Determine a pressão hidrostática no fundo do 
mesmo. 
• Dados: γH2O = 10.000 N/m³, g = 10 m/s². 
• Resposta: 
• P = ρ⋅g⋅h 
• P = γ⋅h 
• P =10.000⋅8 
• P = 80.000 Pa 
O Princípio de Pascal 
• O Princípio de Pascal representa uma das mais significativas 
contribuições práticas no campo da mecânica dos fluidos no que tange 
a problemas que envolvem a transmissão e a ampliação de forças 
através da pressão aplicada a um fluido. 
• Pascal descobriu que, ao se aplicar uma pressão em um ponto qualquer 
de um líquido em equilíbrio, essa pressão se transmite a todos os 
demais pontos do líquido, bem como às paredes do recipiente que o 
contém (“quando um ponto de um líquido em equilíbrio sofre uma variação de 
pressão, todos os outros pontos também sofrem a mesma variação””. 
• Essa propriedade dos líquidos, expressa pela lei de Pascal, é utilizada 
em diversos dispositivos, tanto para amplificar forças como para 
transmiti-las de um ponto a outro. 
• Um exemplo disso é a prensa hidráulica e os freios hidráulicos dos 
automóveis. 
Elevador Hidráulico 
• Os elevadores para veículos automotores, 
utilizados em postos de serviço e oficinas, 
baseiam-se nos princípios da prensa 
hidráulica. Ela é constituída de dois cilindros 
de seções diferentes sendo que em cada um 
desliza um pistão. 
• Um tubo comunica ambos os cilindros desde 
a base. 
• A prensa hidráulica permite equilibrar uma 
força muito grande a partir da aplicação de 
uma força pequena. 
• Isso é possível porque as pressões sobre as 
duas superfícies são iguais (Pressão = Força / 
Área). 
• Assim, a grande força resistente (F2) que age 
na superfície maior é equilibrada por uma 
pequena força motora (F1) aplicada sobre a 
superfície menor (F2/A2 = F1/A1) como pode 
se observar na figura ao lado. 
EXERCÍCIOS 
1. Na figura apresentada a seguir, os êmbolos A e B possuem 
áreas de 80 cm² e 20 cm² respectivamente. Despreze os pesos 
dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio estático. 
Sabendo-se que a massa do corpo colocado em A é igual a 100 
kg, determine a massa do corpo colocado em B. (RESP.: 25 kg) 
EXERCÍCIOS 
2. Qual a pressão, em kgf/cm2, no fundo de um reservatório que contém água, com 
3m de profundidade? (Resp.: 0,306 kgf/cm2) 
3. Faça o mesmo cálculo para um reservatório que contém gasolina (peso 
específico relativo = 0,72). (Resp.: 0,220 kgf/cm2) 
4. O nível de água contida em uma caixa d’água aberta à atmosfera se encontra 
10m acima do nível de uma torneira. Determine a pressão de saída da água na 
torneira. 
5. As áreas dos pistões do dispositivo hidráulico mostrado na figura mantêm a 
relação 50:2. Verifica-se que um peso P colocado sobre o pistão maior é 
equilibrado por uma força de 30 N no pistão menor, sem que o nível de fluido nas 
duas colunas se altere. Aplicando o principio de Pascal determine o valor do peso P. 
EXERCÍCIOS 
• 6. Na prensa hidráulica mostrada na figura, os 
diâmetros dos tubos 1 e 2 são, respectivamente, 4 
cm e 20 cm. Sendo o peso do carro igual a 10.000 N, 
determine: 
• a) a força que deve ser aplicada no tubo 1 para 
equilibrar o carro. (Resp.: 400 N) 
• b) o deslocamento do nível de óleo no tubo 1, 
quando o carro sobe 20 cm. (Resp.: 500 cm) 
Definição de Empuxo 
Quando se mergulha um corpo em um líquido, seu peso 
aparente diminui, chegando às vezes a parecer 
totalmente anulado (quando o corpo flutua). 
Esse fato se deve à existência de uma força vertical, de 
baixo para cima, exercida no corpo pelo líquido, a qual 
recebe o nome de empuxo. 
O empuxo se deve à diferença das pressões exercidas 
pelo fluido nas superfícies inferior e superior do corpo. 
Sendo as forças aplicadas pelo fluido na parte inferior 
maiores que as exercidas na parte superior, a resultante 
dessas forças fornece uma força vertical de baixo para 
cima, que é o empuxo. 
Princípio de Arquimedes 
• A teoria para obtenção (calculo) da força de 
empuxo está diretamente relacionada ao 
Princípio de Arquimedes que diz: 
• “Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num 
fluido em equilíbrio, dentro de um campo 
gravitacional, fica sujeito à ação de uma força 
vertical, com sentido ascendente, aplicada pelo 
fluido”. 
• Esta força é denominada empuxo (E), cuja 
intensidade é igual ao peso do líquido deslocado 
pelo corpo. 
Demonstração do Princípio de 
Arquimedes 
• O Princípio de Arquimedes permite calcular a força que um fluido 
(líquido ou gás) exerce sobre um sólido nele mergulhado. 
• Para entender o Princípio de Arquimedes, imagine a seguinte situação: 
um copo totalmente cheio d’água e uma esfera de chumbo. 
 
 
 
 
 
 
• Se colocarmos a esfera na superfície da água, ela vai afundar e provocar 
o extravasamento de uma certa quantidade de água. 
• A força que a água exerce sobre a esfera terá direção vertical, sentido 
para cima e módulo igual ao do peso da água que foi deslocada como 
mostra a figura. 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
• Um exemplo clássico da aplicação do Princípio de Arquimedes são os movimentos 
de um submarino. 
• Quando o mesmo estiver flutuando na superfície, o seu peso terá a mesma 
intensidade do empuxo recebido. 
• Para que o submarino afunde, deve-se aumentar o seu peso, o que se consegue 
armazenando água em reservatórios adequados em seu interior. 
• Controlando a quantidade de água em seus reservatórios, é possível ajustar o peso 
do submarino para o valor desejado. A figura a seguir mostra as duas situações 
acima citadas. 
FLUTUAÇÃO DO SUBMARINO 
• Para que o 
submarino volte a 
flutuar, a água deve 
ser expulsa de seus 
reservatórios para 
reduzir o peso do 
submarino e fazer 
com que o empuxo 
se torne maior que o 
peso. 
Formulação matemática do empuxo 
• O Princípio de Arquimedes diz que o empuxo é igual ao peso do 
líquido deslocado. Portanto, pode-se escrever que: 
• E = WL E = mL . g 
• Na equação apresentada, E representa o empuxo e mL a massa do 
líquido deslocado. 
• Essa mesma equação pode ser reescrita utilizando-se consideraçõesde massa específica, pois, como visto anteriormente: 
• ρ = m / V e, portanto, mL = ρL . VL 
• Assim: 
• E = ρL . VL . g 
• Nesta equação, ρL representa a massa específica do líquido e VL o 
volume de líquido deslocado. Pela análise realizada é possível 
perceber que o empuxo será tanto maior quanto maior for o volume 
de líquido deslocado e quanto maior for a densidade deste líquido. 
Considerações sobre o empuxo 
• Três importantes considerações podem ser feitas com 
relação ao empuxo: 
• a) se ρL < ρc, tem-se E < P e, neste caso, o corpo 
afundará no líquido. 
• b) se ρL = ρc , tem-se E = P e, neste caso, o corpo ficará 
em equilíbrio quando estiver totalmente mergulhado 
no líquido. 
• c) se ρL < ρc , tem-se E > P e, neste caso, o corpo 
permanecerá boiando na superfície do líquido. 
• Dessa forma, é possível determinar se um sólido 
flutuará ou afundará em um líquido, simplesmente 
conhecendo o valor de sua massa específica. 
Exercício 
• 1) Um objeto com massa de 10 kg e volume de 0,002 
m³ está totalmente imerso dentro de um reservatório 
de água (ρH2O = 1.000 kg/m³), determine: 
• a) Qual é o valor do peso do objeto? (utilize g = 
10m/s²) 
• b) Qual é a intensidade da força de empuxo que a 
água exerce sobre o objeto? 
• c) Qual o valor do peso aparente do objeto quando 
imerso na água? 
Exercício - Resolução 
• a) Peso do Corpo: Pc = m . g 
• Logo: Pc = 10 . 10 = 100 N 
 
• b) Empuxo: E = ρL . VL . g 
• Logo: E = 1.000 ⋅ 0,002 . 10 = 20 N 
 
• C) Peso Aparente: PA = Pc – E 
• Logo: PA = 100 - 20 = 80 N 
 
Exercícios propostos 
• 1) Um bloco cúbico de madeira com peso específico γ = 
6.500N/m³, com 20 cm de aresta, flutua na água (ρH2O = 
1.000 kg/m³). Determine a altura do cubo que 
permanece dentro da água. 
• 2) Um bloco pesa 50 N no ar e 40 N na água. Determine 
a massa específica do material do bloco. Dados: ρH2O = 
1.000kg/m³ e g = 10m/s². 
• 3) Um corpo com volume de 2,0m³ e massa 3.000 kg 
encontra-se totalmente imerso na água, cuja massa 
específica é (ρH2O = 1.000 kg/m³). Determine a força de 
empuxo sobre o corpo. 
PRÓXIMA AULA 
• Cinemática dos Fluidos. 
• Definição de Vazão Volumétrica. 
• Vazão em Massa e Vazão em Peso. 
Cinemática dos Fluidos 
• É o ramo da mecânica dos fluidos que estuda o 
comportamento de um fluido em uma condição dinâmica 
(ESCOAMENTO). 
• Cinemática dos fluídos é a mesma coisa que dinâmica dos 
fluidos? 
• Enquanto a cinemática se preocupa em estudar e 
descrever geometricamente um movimento, sem se 
importar com sua causa, a Dinâmica faz justamente o que 
a cinemática deixa de lado, investigando e analisando as 
causas do movimento . 
• Em resumo, são duas grandezas complementares, sendo 
uma preocupada com a consequência (posição, 
deslocamento, espaço percorrido, velocidade, aceleração, 
trajetória e estabilidade dos corpos) e a outra com a causa 
(forças e suas relações). 
Métodos utilizados para estudar 
a cinemática dos fluidos 
• Método de Euler 
 
e 
 
• Método de Lagrange 
Quem foi Euler 
• Leonhard Euler nasceu em 15 de Abril de 1707 em Basel, na Suíça, e morreu em 18 de 
Setembro de 1783 em São Petersburgo, na Rússia. 
• Johann Bernoulli desde cedo descobriu o grande potencial de Euler para a matemática 
durante as aulas privadas que lhe dava a pedido do pai de Euler, um teólogo e pastor 
protestante. 
• Entrou na universidade em 1720, com 14 anos de idade, recebendo seu primeiro mestrado 
aos dezessete anos. 
• Protegido pelos Bernoulli, que o recomendaram aos reis da Russia e da Alemanha, Euler é 
considerado o maior matemático do século dezoito. Teve 886 trabalhos publicados, a 
maioria deles no final de sua vida, quando já estava completamente cego. 
• Teve contribuições em várias áreas da ciência, incluindo dinâmica dos fluidos, teoria das 
órbitas lunares (estudo das marés) e mecânica, bem como em todas as áreas da matemática 
existentes naquela época. 
• Em 1735, perdeu a visão de um de seus olhos e, logo após seu retorno à Rússia, a visão em 
seu outro olho começou a deteriorar. 
• Euler sempre teve uma memória excepcional e era capaz de fazer enormes cálculos de 
cabeça, logo ele se preparou para sua futura cegueira aprendendo a escrever fórmulas em 
uma tábua e ditar matemática a seus filhos ou secretária. 
• Ele foi cego pelos últimos 17 anos de sua vida e durante este tempo sua produtividade 
somente aumentou. 
Quem foi Lagrange 
• Joseph-Louis Lagrange nasceu a 25 de Janeiro de 1736 em Turim, na Itália, e faleceu a 10 de 
Abril de 1813 em Paris, França. Desde muito cedo que despertou interesse pela matemática. 
• De 1.755 até 1.766 foi professor de geometria na Escola Real de Artilharia, em Turim, onde 
ajudou a fundar a Real Academia das Ciências, em 1.757. 
• Em 1764, a Academia de Paris atribuiu-lhe um prémio pelas suas investigações sobre a Lua. 
• Em 1766, Lagrange sucedeu Euler como diretor da Matemática na Academia da Ciência de 
Berlim. 
• Em 1787, deixou Berlim e tornou-se membro da Academia da Ciência de Paris, onde 
permaneceu o resto da sua carreira. 
• Em 1788, publicou "Mécanique Analytique", que continha todo o trabalho e investigações 
feitas no campo da mecânica desde Newton (1643 – 1727) e que se tornou notável pelo uso 
que fazia da teoria das equações diferenciais. Com esta obra, Lagrange conseguiu transformar 
a mecânica num ramo da análise matemática. 
• Na última década do século XVII, Lagrange lecionou na École Polytechnique, escola que ele 
ajudou a fundar, trabalhou em sistemas métricos e investigou a base decimal. 
• Foi nomeado por Napoleão para a Legião de Honra e depois, em 1808, Conde do Império. 
• Esteve bastante ligado à evolução da Análise e foi considerado o maior matemático europeu 
de sua época. 
• A ele devemos a notação utilizada até hoje y’ e f’(x) 
Método de Euler 
• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma 
seção ou volume de controle no espaço e considerar todas 
as partículas que passem por este local. 
• O movimento do fluido é descrito pela especificação 
completa das suas propriedades (pressão, densidade, 
velocidade) em função das coordenadas espaciais e 
temporais. 
• Ou seja, obtém-se informações do escoamento em função 
do que acontece em pontos fixos do espaço. 
• É o método preferencialmente utilizado para estudar o 
movimento dos fluidos devido à sua praticidade. 
 
Método de Lagrange 
• Descreve o movimento de cada partícula 
acompanhando-a ao longo de toda sua trajetória real; 
• Envolve seguir as partículas fluidas e determinar como 
as propriedades da partícula variam em função do 
tempo. 
• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas; 
• Para a engenharia normalmente não interessa o 
comportamento individual da partícula e sim o 
comportamento do conjunto de partículas no 
processo de escoamento. 
 
O que é escoamento?? 
• É a mudança de forma de um fluído que foi 
submetido à ação de um esforço tangencial. 
 
• FLUIDEZ: corresponde à capacidade de escoar. 
É uma característica inerente aos fluidos 
Definições importantes 
• Trajetória 
• Linha de Corrente (Linha de fluxo) 
• Tubo de corrente 
• Linha de emissão (filetes) 
 
Trajetória 
• Linha traçada por uma dada partícula 
ao longo de seu escoamento 
 
X y 
z 
Partícula no instante t1 
Partícula no instante t2 
Partícula no instante t3 
Linha de Corrente 
• Linha que tangencia os vetores velocidade de 
diversas partículas, umas após as outras 
• Duas linhas de corrente não podem se 
interceptar (o ponto teria duas velocidades) 
 
X 
y 
z 
Partícula 1 
no instante t 
Partícula 2 
no instante t 
Partícula 3no instante t v1 
v2 
v3 
Tubo de Corrente (tubo de fluxo) 
• No interior de um fluido 
em escoamento existem 
infinitas linhas de 
corrente definidas por 
suas partículas fluidas 
• A superfície constituída 
pelas linhas de corrente 
formada no interior do 
fluido é denominada de 
tubo de corrente ou veia 
líquida 
 
Linha de Emissão (filete) 
• Linha definida pela 
sucessão de partículas 
que tenham passado 
pelo mesmo ponto; 
 
• A fumaça em forma de 
pluma que se desprende 
de uma chaminé permite 
visualizar de forma 
grosseira uma linha de 
emissão; 
Ponto de 
Referência 
• Classificação Geométrica; 
• Classificação quanto à variação no tempo; 
• Classificação quanto ao movimento de rotação; 
• Classificação quanto à trajetória (direção e 
variação). 
 
Classificação do Escoamento 
Quanto à geometria: 
 
• Escoamento Tridimensional 
As grandezas que regem o escoamento variam nas três 
dimensões. 
• Escoamento Bidimensional 
As grandezas do escoamento variam em duas 
dimensões ou são tridimensionais com alguma simetria. 
• Escoamento Unidimensional 
São aqueles que se verificam em função das linhas de 
corrente (uma dimensão). 
Classificação do Escoamento 
Quanto à variação no tempo: 
 
– Permanente 
 As propriedades médias estatísticas das 
partículas fluidas contidas em um volume 
de controle permanecem constantes. 
 
– Não Permanente 
 Quando as propriedades do fluido mudam 
com o decorrer do escoamento. 
Classificação do Escoamento 
Escoamento Permanente e Não Permanente 
Dependência com o Tempo 
Não Permanente Permanente 
0
t



0
t



• Quanto à Variação da trajetória: 
 
– Uniforme: 
 Todos os pontos de uma mesma trajetória 
possuem a mesma velocidade. 
 
– Variado: 
 Os pontos de uma mesma trajetória não 
possuem a mesma velocidade. 
Classificação do Escoamento 
• Quanto ao movimento de rotação (atrito): 
 
– Rotacional: A maioria das partículas 
desloca-se animada de velocidade angular 
em torno de seu centro de massa; 
 
– Irrotacional: As partículas se movimentam 
sem exibir movimento de rotação 
 
 Na maioria das aplicações em engenharia 
despreza-se a característica rotacional dos 
escoamentos. 
Classificação do Escoamento 
• Quanto à compressibilidade: 
 
– Compressível: as propriedades do fluido 
variam conforme a posição da partícula; 
 
– Incompressível: as propriedades não 
mudam com a posição. 
Classificação do Escoamento 
• Quanto à direção da trajetória: 
 
– Escoamento Laminar: 
 As partículas descrevem trajetórias paralelas. O 
fluido flui em camadas ou lâminas. (Re < 2000) 
 
– Escoamento turbulento: 
 As trajetórias são caóticas. O escoamento das 
partículas de fluido é tridimensional. As 
componentes da velocidade apresentam flutuações 
ao redor de uma média (Re > 2400). 
 
– Escoamento de transição: 
 Representa a passagem do escoamento laminar 
para o turbulento ou vice-versa 
 
 
Classificação do Escoamento 
Classificação do Escoamento 
Laminar flow vs turbulent flow (smooth vs 
corrugated tubes).wmv 
Laminar 
Turbulento 
Escoamento Laminar ou Turbulento? 
• Condutos Forçados: 
 São aqueles onde o fluido apresenta contato 
total com suas paredes internas. 
A figura mostra um dos exemplos mais comuns de 
conduto forçado, que é o de seção transversal 
circular. 
 
Classificação básica dos condutos 
• Condutos Livres 
 
 São aqueles onde o fluido apresenta um contato 
apenas parcial com suas paredes internas. Neste 
tipo de conduto observa-se sempre uma 
superfície livre, onde o fluido está em contato 
com o ar atmosférico. 
 Os condutos livres são geralmente denominados 
de canais, os quais podem ser abertos ou 
fechados. 
Classificação básica dos condutos 
• Condutos Livres 
 
 
Classificação básica dos condutos 
Como entender a Cinemática? 
• A cinemática dos fluidos estuda 
o COMPORTAMENTO 
(movimento) dos fluidos em 
termos dos deslocamentos, 
velocidades e acelerações, sem 
levar em conta as forças que o 
produzem; 
• Para entender esse 
comportamento é necessário 
primeiramente entender os 
conceitos de: 
• Vazão Volumétrica; 
• Vazão em Massa; e 
• Vazão em Peso 
 
Vazão Volumétrica 
• Na hidráulica e na mecânica dos fluidos define-se vazão 
como sendo a relação obtida quando se divide um 
volume por uma unidade de tempo. 
• A vazão pode ser determinada a partir do escoamento 
de um fluido através de determinada seção transversal 
de um conduto livre (canal, rio ou tubulação aberta) ou 
de um conduto forçado (tubulação com pressão 
positiva ou negativa). 
• Isto significa que a vazão representa a rapidez com a 
qual um volume escoa. 
• As unidades de medida adotadas são geralmente o 
m³/s, o m³/h, o l/h e/ou o l/s. 
Calculo da Vazão Volumétrica 
• A forma mais simples para se calcular a vazão 
volumétrica é apresentada a seguir: 
• 𝑸𝒗 = 
𝑽
𝒕
 
Onde: 
• 𝑸𝒗 representa a vazão volumétrica, 𝑽 é o 
volume e 𝒕 o intervalo de tempo necessário 
para encher determinado reservatório. 
Calculo da Vazão Volumétrica 
método experimental 
• Um exemplo clássico para a medição de vazão é a realização do cálculo a partir 
do enchimento completo de um reservatório através da água que escoa por 
uma torneira aberta como mostra a figura. 
 
 
 
 
• 𝑸𝒗 = 
𝑽
𝒕
 
 
 
 
 
• Considere que ao mesmo tempo em que a torneira é aberta um cronômetro é 
acionado. 
• Supondo que o cronômetro foi desligado assim que o balde ficou 
completamente cheio marcando um tempo t, uma vez conhecido o volume V 
do balde e o tempo t para seu completo enchimento, a equação é facilmente 
aplicável resultando na vazão volumétrica desejada. 
Relação entre a Área e a Velocidade 
• Outra forma para determinar matematicamente a 
vazão volumétrica é através do produto entre a 
área da seção transversal do conduto e a 
velocidade do escoamento neste conduto como 
pode ser observado na figura a seguir. 
Relação entre a Área e a Velocidade 
• Pela análise da figura, é possível observar que o volume do cilindro tracejado é dado por: 
 𝑽 = d . A 
• Substituindo essa equação na equação de vazão volumétrica 𝑸𝒗 = 
𝑽
𝒕
 pode-se escrever 
• 𝑸𝒗 = 
𝒅 . 𝑨
𝒕
 
 
• A partir dos conceitos básicos de cinemática aplicados à física, sabe-se que a relação d/t 
corresponde a uma velocidade, neste caso denominada velocidade do escoamento. 
• Portanto, a vazão volumétrica pode ser escrita da seguinte forma: 
• 𝑸𝒗 = 𝒗 . 𝑨 
• Onde 𝑸𝒗 representa a vazão volumétrica, 𝒗 é a velocidade do escoamento e 𝑨 é a área da 
seção transversal da tubulação. 
Vazão em Massa e em Peso 
• De modo análogo à definição da vazão 
volumétrica é possível definir as vazões em 
massa e em peso de um fluido. 
• Essas vazões possuem importância 
fundamental quando se deseja realizar 
medições em função da massa e do peso de 
uma substância. 
Vazão em Massa 
• A vazão em massa é caracterizada pela massa do fluido que escoa 
em um determinado intervalo de tempo. 
• Dessa forma tem-se que: Qm = 
𝒎
𝒕
 onde m representa a massa do fluido. 
• Como 
• Tem-se que: 
• E, portanto: Qm = 
𝝆.𝑽
𝒕
 
• Ou Qm = ρ . 𝑸𝒗 
 
• Portanto, para se obter a vazão em massa basta multiplicar a vazão 
em volume pela massa específica do fluido em estudo, o que 
também pode ser expresso em função da velocidade do 
escoamento e da área da seção do seguinte modo: Qm = ρ. 𝒗. 𝑨 
 
• As unidadesusuais para a vazão em massa são o kg/s ou o kg/h. 
 
V
m
volume
massa

Vazão em Peso 
• A vazão em peso se caracteriza pelo peso do fluido que escoa 
em um determinado intervalo de tempo. 
• Assim, tem-se que: Qw = 
𝑾
𝒕
 
Como W = m . g e m = ρ⋅V obtém-se que Qw = 
𝝆.𝑽.𝒈
𝒕
 
e Qw = 
.𝑽
𝒕
 Qw =  . 𝑸𝒗 
 
• Portanto, para se obter a vazão em massa basta multiplicar a 
vazão em volume pelo peso específico do fluido em estudo, o 
que também pode ser expresso em função da velocidade do 
escoamento e da área da seção do seguinte modo: Qw = . 𝑽.A 
 
• As unidades usuais para a vazão em massa são o N/s ou o N/h. 
EXERCÍCIO 1 
• Calcular o tempo que levará para encher um 
tambor de 214 litros, sabendo-se que a 
velocidade de escoamento do líquido é de 0,3 
m/s e o diâmetro do tubo conectado ao 
tambor é igual a 30 mm. 
EXERCÍCIO 1 - Resolução 
Cálculo da vazão volumétrica: 
• 𝑸𝒗 = 𝒗 . 𝑨 𝑸𝒗 = 𝒗 . 
π . 𝒅𝟐
𝟒
 
• 𝑸𝒗 = 𝟎, 𝟑 . 
π .(𝟎,𝟎𝟑)𝟐
𝟒
 𝑸𝒗 = 0,00021 m
3/s = 0,21 l/s 
Cálculo do tempo: 
• 𝑸𝒗 = 
𝑽
𝒕
 t = 
𝑽
𝑸𝒗
 
• t = 
𝟐𝟏𝟒
𝟎,𝟐𝟏
 t = 1014,22 s = 16,9 min 
EXERCÍCIO 2 
• Calcular o diâmetro de uma tubulação 
sabendo-se que pela mesma escoa água a uma 
velocidade de 6 m/s. A tubulação está 
conectada a um tanque com volume de 12.000 
litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos 
para enchê-lo totalmente. 
EXERCÍCIO 2 - Resolução 
 Cálculo do tempo em segundos: 
• 1h=3.600s 
• 5min=300s 
• t = 3.600 + 300 + 49 = 3.949 s 
 
 Cálculo da vazão volumétrica: 
• 𝑸𝒗 = 
𝑽
𝒕
 = 
𝟏𝟐
𝟑.𝟗𝟒𝟗
 𝑸𝒗 = 0,00303 m
3/s 
 
 Cálculo do diâmetro: 
• 𝑸𝒗 = 𝒗 . 𝑨 𝑸𝒗 = 𝒗 . 
π . 𝒅𝟐
𝟒
 
• d = 
𝟒 . 𝑸𝒗
π .𝒗
 d = 
𝟒 . 𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟎𝟑
π .𝟔
 
 
• d = 0,0254 m = 25,4 mm 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTOS 
1) Uma mangueira é conectada em um tanque 
com capacidade de 10.000 litros. O tempo gasto 
para encher totalmente o tanque é de 500 
minutos. Calcule a vazão volumétrica máxima da 
mangueira. 
2) Calcular a vazão volumétrica de um fluido que 
escoa por uma tubulação com uma velocidade 
média de 1,4 m/s, sabendo-se que o diâmetro 
interno da seção da tubulação é igual a 5 cm. 
EXERCÍCIO PROPOSTOS 
3) Calcular o volume de um reservatório, sabendo-se que a 
vazão de escoamento de um líquido é igual a 5 l/s. Para 
encher o reservatório totalmente são necessárias 2 horas. 
 
4) No entamboramento de um determinado produto são 
utilizados tambores de 214 litros. Para encher um tambor 
levam-se 20 min. Calcule: 
a) A vazão volumétrica da tubulação utilizada para encher 
os tambores. 
b) O diâmetro da tubulação, em milímetros, sabendo-se 
que a velocidade de escoamento é de 5 m/s. 
c) A produção após 24 horas, desconsiderando-se o tempo 
de deslocamento dos tambores. 
EXERCÍCIO PROPOSTOS 
5) Um determinado líquido é descarregado de um tanque 
cúbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de diâmetro. A 
vazão no tubo é 10 l/s, determinar: 
a) a velocidade do fluído no tubo. 
b) o tempo que o nível do líquido levará para descer 20 cm. 
 
6) Calcule a vazão em massa de um produto que escoa por uma 
tubulação de 0,3m de diâmetro, sendo que a velocidade de 
escoamento é igual a 1,0m/s. 
• Dados: massa específica do produto = 1.200 kg/m³ 
 
7) Baseado no exercício anterior, calcule o tempo necessário 
para carregar um tanque com 500 toneladas do produto. 
EXERCÍCIO PROPOSTOS 
8) A vazão volumétrica de um determinado fluído é igual a 
10 l/s. Determine a vazão mássica desse fluído, sabendo-se 
que a massa específica do fluído é 800 kg/m3. 
 
9) Um tambor de 214 litros é preenchido com óleo de peso 
específico relativo 0,8, sabendo-se que para que isso 
ocorra são necessários 15 min. Calcule: 
a) A vazão em peso da tubulação utilizada para encher o 
tambor. 
b) O peso de cada tambor cheio, sendo que somente o 
tambor vazio pesa 100 N 
c) Quantos tambores um caminhão pode carregar, 
sabendo-se que o peso máximo que ele suporta é 15 
toneladas. 
EXERCÍCIO PROPOSTOS 
10) Os reservatórios I e II da figura abaixo são cúbicos. Eles 
são cheios pelas tubulações, respectivamente em 100 s e 
500 s. Determinar a velocidade da água na seção A 
indicada, sabendo-se que o diâmetro da tubulação é 1m. 
Próxima aula 
• Escoamento Laminar e Turbulento 
• Cálculo do Número de Reynolds 
• Equação da Continuidade para Regime 
Permanente. 
Escoamento laminar 
• Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo 
de trajetórias bem definidas, apresentando lâminas (daí o nome 
laminar) ou camadas cada uma delas preservando sua 
característica no meio. 
• No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido 
de amortecer a tendência de surgimento da turbulência. 
• Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em 
fluídos que apresentem grande viscosidade. 
Escoamento Turbulento 
• Ocorre quando as partículas de um fluido não se movem ao longo de trajetórias 
bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias irregulares e com 
movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento 
entre regiões de massa líquida. 
• A velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto 
do fluido e, consequentemente, as partículas do fluido descrevem trajetórias que 
variam de instante a instante. 
• Este escoamento é muito comum na água, cuja viscosidade é relativamente baixa e 
se estabelece em velocidades relativamente altas. 
Caracterização da Turbulência 
 A turbulência é uma característica do escoamento, não 
do fluido. 
 A turbulência é rotacional e tridimensional. 
 A turbulência é um fenômeno altamente dissipativo. 
 A turbulência é um fenômeno contínuo. 
 A turbulência é um fenômeno e, atualmente, estudar 
suas causas e consequências é imprescindível. 
 A turbulência acontece em altos números de Reynolds 
e tem um largo espectro de energia. 
VISCOSIDADE 
 
• A viscosidade µ representa a resistência do líquido ao escoamento e, como a 
maioria das propriedades dos líquidos, é causada pelas forças de atração 
intermoleculares; 
• A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto é, das forças de coesão 
entre moléculas relativamente juntas. 
• Desta maneira, nos LÍQUIDOS a viscosidade é inversamente proporcional à 
temperatura e diretamente proporcional à pressão. Nos GASES ela é diretamente 
proporcional à temperatura e à pressão. 
• Com o aumento da temperatura, aumenta a energia cinética média das 
moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo que as moléculas passam 
umas junto das outras, menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e 
menor é a viscosidade. 
• A unidade de viscosidade no Sistema Internacional de Unidades é o pascal-
segundo (Pa·s), que corresponde a 1 N·s/m² ou 1 kg/(m·s). 
• No sistema CGS a unidade de viscosidade é o “poise” (1 poise = 0,1 Pa.S) mas é 
mais utilizado o seu submúltiplo: o centipoise (cp) devido ao fato da água 
apresentar uma viscosidade de 1,0020 cp a 20 °C 
• 1 poise = 100 centipoise = 1 g/(cm·s) = 0,1 Pa·s. 
• 1 centipoise = 1 mPa·s. 
VISCOSIDADE 
• O inverso de µ é chamado de fluidez (φ). 
• É frequente expressar a viscosidade em termos da 
chamada viscosidade cinemática, µcin, que resulta do 
quociente da viscosidade dinâmica (ou absoluta) pela 
densidade, ρ; 
• A unidade da viscosidade cinemática no SI é o (m²/s). 
No Sistema CGS é o stokes (abreviado S ou St), cujonome é uma homenagem dos franceses George 
Gabriel Stokes. Às vezes se expressa em termos 
de centistokes (cS o cSt). 
• 1 stokes = 100 centistokes = 1 cm²/s = 0,0001 m²/s. 
• 1cSt = 10-6 m2.s-1). 
 
Visualização de Escoamentos Laminar 
e Turbulento em Dutos Fechados 
LAMINAR 
TURBULENTO 
Fluxo laminar uniforme Fluxo laminar não uniforme Fluxo turbulento 
Número de Reynolds 
• O coeficiente, número ou módulo de Reynolds 
(abreviado como Re) é um número adimensional 
usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do 
regime de escoamento de determinado fluido dentro 
de um tubo ou sobre uma superfície. 
• É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações 
industriais, asas de aviões e perfis de automóveis. 
• O seu nome é uma homenagem a Osborne Reynolds, 
um físico e engenheiro hidráulico irlandês que 
popularizou o conceito em 1883. 
• O seu significado físico é um quociente entre as 
forças de inércia e as forças de viscosidade. 
Importância do Número de Reynolds 
• A importância fundamental do número de Reynolds é a 
possibilidade de se avaliar o tipo de escoamento (a 
estabilidade do fluxo) podendo obter uma indicação se o 
escoamento flui de forma laminar ou turbulenta. 
• O número de Reynolds constitui a base do comportamento 
de sistemas reais pelo uso de modelos reduzidos. 
• Um exemplo comum é o túnel aerodinâmico onde se 
medem forças desta natureza em modelos de asas de 
aviões. 
• Pode-se dizer que dois sistemas são dinamicamente 
semelhantes se o número de Reynolds for o mesmo para 
ambos. 
Número de Reynolds em Tubos 
• Em tubos, o número de Reynolds é obtido através da 
seguinte expressão: 
 
Re = 
𝝆 . 𝒗 . 𝑫
µ
 sendo: 
 
ρ = massa específica do fluido 
µ = viscosidade dinâmica do fluido 
𝒗 = velocidade do escoamento 
D = diâmetro da tubulação 
Através da análise dimensional de diversos 
experimentos em dutos que utilizavam a 
água como fluido, Reynolds classificou os 
escoamentos em três categorias: 
 
Re < 2.000 - escoamento laminar 
2.000 < Re < 2.400 - Escoamento de Transição. 
 Re > 2.400 - Escoamento Turbulento. 
Número de Reynolds em Perfis 
Aerodinâmicos 
• Para aplicações em perfis aerodinâmicos, o número de 
Reynolds pode ser expresso em função da corda média 
aerodinâmica do perfil da seguinte forma: 
 
• Re = 
𝝆 . 𝒗 . c
µ
 sendo: 
 
 ρ = massa específica do ar 
 µ = viscosidade dinâmica do ar 
 𝒗 = velocidade do escoamento 
 C = corda média aerodinâmica do perfil 
Atualmente se considera que: 
 
Re < 2.000 - escoamento laminar 
2.000 < Re < 4.000 - Escoamento de Transição. 
 Re > 4.000 - Escoamento Turbulento. 
Valores Típicos - Viscosidade Dinâmica 
Exercícios 
1) Dada a Viscosidade Dinâmica da água (μ = 1,0030 × 10−3 Ns/m²) 
calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é 
laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com 
diâmetro de 4cm escoa água com uma velocidade de 0,05m/s. 
 
Re = 
𝝆 . 𝒗 . 𝑫
µ
 
 
Re = 
𝟏𝟎𝟎𝟎 . 𝟎,𝟎𝟓 . 𝟎,𝟎𝟒
1,003 . 10−3 
 
 Re = 1.994 Escoamento Laminar 
Exercícios 
2) Determine o número de Reynolds para uma aeronave 
em escala reduzida sabendo-se que a velocidade de 
deslocamento é 𝒗 = 16 m/s para um vôo realizado em 
condições de atmosfera padrão ao nível do mar. 
Considere ρ = 1,225 kg/m³, 𝑪 = 0,35 m e μ = 1,7894x10-5 
kg/ms. 
 
Re = 
𝝆 . 𝒗 . 𝑪
µ
 
 
Re = 
𝟏,𝟐𝟐𝟓 . 𝟏𝟔 . 𝟎,𝟑𝟓
1,789 . 10−5 
 
 Re = 3,833 ⋅10
5 
Exercícios Propostos 
1) Calcular o número de Reynolds e identificar se o 
escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se 
que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa 
água com uma velocidade de 0,2m/s. 
 
2) Um determinado líquido, com ρ =1.200,00 
kg/m³, escoa por uma tubulação de diâmetro 3 cm 
com uma velocidade de 0,1 m/s. Sabendo-se que o 
número de Reynolds é 9.544,35 determine qual a 
viscosidade dinâmica do líquido. 
Exercícios Propostos 
3) Acetona escoa por uma tubulação em regime laminar 
com um número de Reynolds de 1800. Determine a 
máxima velocidade do escoamento permissível em um 
tubo com 2 cm de diâmetro de forma que esse número 
de Reynolds não seja ultrapassado. 
 
4) Benzeno escoa por uma tubulação em regime 
turbulento com um número de Reynolds de 5.000. 
Determine o diâmetro do tubo em mm sabendo-se que 
a velocidade do escoamento é de 0,2m/s. 
 
Obs.: Para a solução dos exercícios ver propriedades nas tabelas das 
slides 55 e 152. 
Equação da Continuidade para Regime 
Permanente 
• Um escoamento se processa em regime 
permanente (ou estacionário) quando se 
observa, ao longo do tempo, um volume de 
controle previamente escolhido e as 
propriedades médias (massa, p, v e t) das 
partículas fluidas contidas nesse volume 
permanecerem constantes. 
Equação da Continuidade para Regime 
Permanente 
• Seja o escoamento de um fluido por um tubo 
de corrente: 
Equação da Continuidade para Regime 
Permanente 
• A equação da continuidade relaciona a vazão em massa na entrada e na saída de um 
sistema e admite que ela é igual em ambas as secções, ou seja: 
• Qm 1 = Qm2 
• Como Qm = ρ. 𝒗. 𝑨 
• Tem-se que ρ1 . 𝒗𝟏. 𝑨𝟏 = ρ2 . 𝒗𝟐 . 𝑨𝟐 
• Para o caso de fluido incompressível, a massa específica é a mesma tanto na entrada 
quanto na saída. 
• Portanto: ρ1 = ρ2 
• E logo: 𝒗𝟏. 𝑨𝟏 = 𝒗𝟐. 𝑨𝟐 = CONSTANTE 
• A equação apresentada mostra que as velocidades são inversamente proporcionais as 
áreas, ou seja, uma redução de área corresponde a um aumento de velocidade e vice-
versa. 
• Para o caso de diversas entradas (e) e saídas (s) de fluido do sistema, a equação da 
continuidade pode ser generalizada por uma somatória de vazões na entrada e outra na 
saída, isto é: 
• ∑ Qm e = ∑ Qm s para quaisquer fluidos. 
Exercício 1 
1) Para a tubulação mostrada na figura abaixo, 
calcule a vazão em massa, em peso e em volume 
e determine a velocidade na seção (2) sabendo-
se que A1 = 10cm² e A2 = 5cm². 
• Dados: ρ = 1.000kg/m³ e v1 = 1m/s. 
Exercício 1 - Solução 
• Aplicando a Equação da Continuidade entre os pontos 
(1) e (2). 
 
• 𝒗𝟏. 𝑨𝟏 = 𝒗𝟐. 𝑨𝟐 
• 1 . 10 = 𝒗𝟐 ⋅ 5 
• 𝒗𝟐 = 10 / 5 
• 𝒗𝟐 = 2 m/s 
Exercício 2 
2) Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão 
de 20 l/s e um outro tubo despeja um líquido de massa 
específica igual a 800kg/m³ com uma vazão de 10 l/s. A 
mistura formada é descarregada por um tubo de área igual a 
30cm². 
Determinar a massa específica da mistura no tubo de 
descarga e calcule também qual é a velocidade de saída. 
Exercício 2 - Solução 
• Aplicando a Equação da Continuidade: 
• Qm1 + Qm2 = Qm3 
• ( ρ1 . 𝒗𝟏 . 𝑨𝟏) + ( ρ2 . 𝒗𝟐 . 𝑨𝟐) = ρ3 . 𝒗𝟑 . 𝑨𝟑 
• Vazão volumétrica: 𝑸𝒗 = 𝒗 . 𝑨 
• Portanto: ( ρ1 .𝑸𝒗𝟏) + ( ρ2 .𝑸𝒗𝟐 ) = ( ρ3 .𝑸𝒗𝟑 ) 
• Vazão volumétrica (entrada): 𝑸𝒗𝟏 = 0,02 m
3 e 𝑸𝒗𝟐
 = 0,01 m3 
• Vazão volumétrica (saída): 𝑸𝒗𝟑 = 0,02 + 0,01 = 0,03 m
3 
• Massa específica da mistura: ( ρ1 .𝑸𝒗𝟏 ) + ( ρ2 .𝑸𝒗𝟐 ) = ( ρ3 .𝑸𝒗𝟑 ) 
 
• Massa específica da mistura: ( 1000 . 0,02 ) + 800 . 0,01 = ( ρ3 . 0,03 ) 
• Massa específica da mistura: ρ3 = (20 + 8) / 0,03 = 933,33 kg/m
3 
 
Exercício 3 
• Uma mangueira de diâmetro 2 cm é usada para 
encher um balde de 20 litros e leva um minuto 
para enchê-lo. 
• A) Qual é a velocidade que a água passa pela 
mangueira 
• B) Um brincalhão aperta a saída da mangueira até 
ela ficar com um diâmetro de 5 mm e acerta a sua 
vizinha com a água. Qual é a velocidade com que a 
água sai da mangueira? 
Exercício

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