204950316-MATEMATICA-FINANCEIRA-PARA-CONCURSOS

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Matemática Financeira 
Para Concursos 
Professor Igor Melo 
 
Teoria + 100 Questões de Concursos Anteriores COMENTADAS 
 
2013 
Igor Melo 
Matemática Financeira para Concursos 
13/01/2013 
Prof. Igor Melo – Matemática Financeira Para Concursos 
Contato: igor.iam@hotmail.com 
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Sumário 
 
 
1. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS ........................................................ 3 
2. TAXAS DE JUROS: NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTES, PROPORCIONAIS, REAL E APARENTE ......... 36 
3. PLANOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ......................... 50 
4. CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E 
INVESTIMENTO .................................................................................................................................... 72 
5. FLUXO DE CAIXA: DIAGRAMAS DE FLUXOS DE CAIXA, EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME 
SIMPLES E EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS ............................................................................ 78 
6. SÉRIES DE PAGAMENTOS (ANUIDADES OU RENDAS CERTAS)......................................................... 103 
7. AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO E TAXAS DE RETORNO .................................... 121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Juros simples e compostos: 
capitalização e descontos 
 
Conceito de Juros 
 
 No momento em que um capital é emprestado durante algum tempo, a 
pessoa que emprestou, recebe como pagamento pelo empréstimo, uma 
quantia que denominamos de juros. 
 Chamamos de Montante o Capital acrescido dos juros: 
 
 
 
Obs.: Essa fórmula serve tanto para juros simples quanto composto. 
Taxa de Juros 
 
 Antes de falarmos sobre juros simples, vamos adiantar um pouco o 
segundo capítulo da nossa apostila que fala sobre Taxa de Juros. 
 A taxa de juros é a porcentagem que será cobrada num determinado 
período. 
 A taxa de juros deve, portanto, estar sempre associada a um período de 
tempo e na maioria das vezes as taxas estarão escritas de formas abreviadas: 
 
 
 
 
 
 
 
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Juros Simples 
 
 Juros simples são os juros que sempre são aplicados sobre o CAPITAL 
INICIAL, isto é, independente de quantos períodos tenham se passado, os 
juros se calculam sobre o capital aplicado inicialmente. Sobre os juros gerados 
a cada período não incidirão novos juros. 
 
Onde: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Carlos emprestou R$1.500,00 ao seu irmão Roberto. Querendo 
ajudar seu irmão e também não querendo ser prejudicado cobrou uma 
taxa de 2% ao mês a juros simples. Qual a quantia paga a Carlos, sabendo 
que Roberto pagou em uma só vez após quatro meses? 
Solução: 
 Capital Inicial: R$1.500,00  C = 1500 
 Taxa de Juros: 2% a.m.  i = 0,02 (Nos cálculos você deve usar a 
forma decimal da taxa) 
 Número de Períodos: 4  n = 4 
 
Os Juros que serão pagos são: 
 
 
 
Ao somarmos os juros ao Capital Inicial temos o montante: 
 
 
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Roberto pagou o Montante de R$1.620,00. 
 
Obs.: Podemos ainda incluir outra fórmula em Juros Simples: 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 Essa fórmula será demonstrada na questão abaixo. 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
1. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria 
Interna) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 
80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que 
faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de 
a) 68.085,10 
b) 66.000,00 
c) 65.000,00 
d) 64.555,12 
e) 63.656,98 
Solução: 
CESGRANRIO quando fala em RESGATE quer dizer MONTANTE 
 Montante = R$80.000.00 
 i = 3,5% = 0,035 
 n = 5 (5 meses) 
 C = ?(É o que queremos saber, o valor da aplicação é o capital inicial 
investido) 
 
Sabemos que, 
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 – 
Assim, 
 – 
 
 
 (Observe que essa fórmula serve para qualquer cálculo de Juros Simples) 
 
Substituindo os valores dados temos, 
 
Item correto: Item A 
 
2. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás - Técnico de Contabilidade - 
Distribuidora) Um investidor fez uma aplicação a 2% (juros simples) ao mês por 
um período de 12 meses e obteve um rendimento de R$ 6.000,00. O capital 
que proporcionou esse resultado, em reais, foi 
a) 30.000,00 
b) 28.500,00 
c) 27.250,00 
d) 25.000,00 
e) 24.100,00 
Solução: 
Quando falamos em REDIMENTO significa JUROS!!! Lembre-se sempre. 
 J = R$6.000,00 
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 i = 2% a.m. = 0,02 
 n =12(12 meses) 
 C = ?(É o que queremos saber, o valor da aplicação é o capital inicial 
investido) 
 
Substituindo os valores temos, 
 
 
Resolvendo esta equação simples temos que C = R$25.000,00 
Item correto: Item D 
 
3. (CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Administração) Um 
investidor realizou uma aplicação de R$ 25.000,00 pelo prazo de 6 meses e, ao 
final da aplicação, obteve um lucro de R$ 1.500,00. Para que isso ocorresse, a 
taxa de juros simples mensal usada na aplicação foi 
 a) 1,00% 
 b) 1,25% 
 c) 1,33% 
 d) 1,50% 
 e) 1,66% 
Solução: 
 C = R$25.000,00 
 i = ?(É o que queremos saber) 
 n = 6 
 J = R$1.500,00 
 
 
 
 
Item correto: Item A 
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Taxa de Juros Proporcionais 
 
 Mais uma vez vamos adiantar um assunto da segunda aula do curso 
para que possamos resolver outro tipo de questão também cobrado. 
 Duas taxas são ditas proporcionais quando seus valores são 
proporcionais aos seus respectivos prazos. 
 
Exemplo: 
 As taxas de 36% ao ano e de 3% ao mês são proporcionais. Isso pode 
ser comprovado verificando uma regra de três direta:A igualdade obtida confirma que 36% estão para 12 meses assim como 
os 3% estão para 1 mês, ou seja, as taxas são proporcionais. 
 
Taxas de Juros Equivalentes 
 
 Dizemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a capitais 
iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais. 
 
Exemplo: 
 1. A aplicação de uma dada quantia ``C`` por certo tempo ``T`` à taxa de 
juros simples de 2% a.m. nos daria um total de juros ``J`` igual àquele que 
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obteríamos se aplicássemos a mesma quantia ``C``, durante o mesmo tempo 
``T``, mas à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Então dizemos que a 
taxa de juros simples de 2% a.m. é equivalente à taxa de juros simples de 6% 
a.t. 
 Perceba que 2% a.m. e 6% a.t. são também proporcionais, pois no 
regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais e vice-
versa. 
 No caso de Juros Simples, achar a taxa equivalente é mais simples que 
no Regime de Juros Compostos, pois basta achar a taxa proporcional. Mais a 
frente mostraremos como achar Taxas Equivalentes no regime de Juros 
Compostos. 
 Obs.: A vantagem de se achar a taxa equivalente é que muitas vezes as 
questões nos dão prazos em unidades diferentes da que se encontra na taxa. 
Por exemplo, quando a questão dá que o período de aplicação é de 120 dias e 
que a taxa é de 9% a.m. Vamos exemplificar com questões. 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
4. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Contábil) 
Considerando o mês de 30 dias, qual o montante, em reais, correspondente a 
uma aplicação de R$ 125.000,00 por 225 dias, a uma taxa de juros simples de 
4,5 % ao mês? 
 a) 134.375,00 
 b) 142.187,50 
 c) 166.815,75 
 d) 167.187,50 
 e) 171.876,50 
Solução: 
 Há duas formas de se resolver essa questão. Na primeira forma 
transformaríamos o período de 225 dias em meses, bastando dividir 225 por 30 
e obteríamos o novo período de 7,5 meses e a partir deste ponto resolveríamos 
a questão como estávamos resolvendo as outras, mas utilizaremos nessa 
questão a segunda forma que é achando a taxa equivalente: 
 C = R$125.000,00 
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 n = 225 dias 
 i = 4,5% a.m 
 
Acharemos inicialmente a taxa equivalente (ie) em dias, 
 (%) prazos (dias) 
 4,5% 30(1 mês) 
ie 1 
 
resolvendo a regra de três temos, 
 
 
 
 
 
Agora podemos utilizar as já conhecidas fórmulas, 
 
 
 
Lembrando que, 
 
 
 
 
Poderíamos também utilizar a outra fórmula: 
 
 
 
Item correto: Item D 
 
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 5. (CESGRANRIO - 2009 - BNDES - Profissional Básico - Ciências Contábeis) 
Um investidor aplicou, no Banco Atlântico, R$ 10.000,00, por um período de 17 
dias, a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês. No dia do resgate, a 
rentabilidade obtida pelo investidor, em reais, foi 
 a) 60,00 
 b) 64,20 
 c) 65,60 
 d) 66,00 
 e) 68,00 
Solução: 
 
 C = R$10.000,00 
 n = 17 (17 dias) 
 i = 1,2% a.m. (temos que transformar essa taxa em dias) 
 J = ? (É justamente a rentabilidade que a questão pede). 
 
 
 
 
 
Resolvendo a regra de três temos, 
 
 
 
 
 
 
Agora podemos utilizar as já conhecidas fórmulas, 
 
 
 
Item correto: Item E 
 
 
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Juros Compostos 
 
 Os juros de cada período são calculados sobre o MONTANTE do 
período anterior, isto é, o CAPITAL INICIAL mais os JUROS ACUMULADOS 
até então. 
Exemplo: 
 Vamos acompanhar os montantes, mês a mês, de uma aplicação de 
R$1.000,00 à taxa de 10% a.m. por um período de 4 meses no regime de juros 
compostos: 
Período Juros no fim do período Montante 
1º mês 10% de R$1.000,00 = R$100,00 R$1.100,00 
2º mês 10% de R$1.100,00 = R$110,00 R$1.210,00 
3º mês 10% de R$1.210,00 = R$121,00 R$1.331,00 
4º mês 10% de R$1.331,00 = R$133,10 R$1.464,10 
 
Observe que: 
 Os juros e o montante, no fim do 1º mês, são iguais aos que seriam 
produzidos no regime de juros simples; 
 Cada novo montante é obtido calculando-se um aumento de 10% sobre 
o montante anterior, o que resulta em aumentos sucessivos a uma 
taxa fixa de 10%. 
 
Montante no Regime de Juros Compostos 
 
 Como vimos acima, no regime de juros compostos, o montante ao fim de 
um determinado período resulta de um cálculo de aumentos sucessivos. Então, 
sejam: 
 C = Capital Inicial aplicado 
 M = Montante da aplicação ao fim de n períodos 
 i = forma unitária da taxa de juros da aplicação 
 n = número de períodos 
 
 Poderemos expressar o montante (M) em função dos outros três 
elementos do seguinte modo: 
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Ou seja, 
 
(fórmula fundamental) 
 
 Perceba que nem sempre é fácil calcular a fórmula acima, sobretudo 
quando n é mais elevado, para calcular esse tipo de problema normalmente a 
prova possui uma tabela financeira ou alguns resultados já prontos no 
enunciado da questão. Foi assim que a CESGRANRIO fez na prova de 2008 
da CAIXA. 
 
Tabela de juros compostos F = (1 + i)
n
 
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,1 1,12 1,15 1,18 
2 1,02 1,04 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 1,21 1,254 1,323 1,392 
3 1,03 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,26 1,295 1,331 1,405 1,521 1,643 
4 1,041 1,082 1,126 1,17 1,216 1,262 1,311 1,36 1,412 1,464 1,574 1,749 1,939 
5 1,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,539 1,611 1,762 2,011 2,288 
6 1,062 1,126 1,194 1,265 1,34 1,419 1,501 1,587 1,677 1,772 1,974 2,313 2,7 
7 1,072 1,149 1,23 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,828 1,949 2,211 2,66 3,185 
8 1,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,993 2,144 2,476 3,059 3,759 
9 1,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172 2,358 2,773 3,518 4,435 
10 1,105 1,219 1,344 1,48 1,629 1,791 1,967 2,159 2,367 2,594 3,106 4,046 5,234 
11 1,116 1,243 1,384 1,539 1,71 1,898 2,105 2,332 2,58 2,853 3,479 4,652 6,176 
12 1,127 1,268 1,426 1,601 1,796 2,012 2,252 2,518 2,813 3,138 3,896 5,35 7,288 
13 1,138 1,294 1,469 1,665 1,886 2,133 2,41 2,72 3,066 3,452 4,363 6,153 8,599 
14 1,149 1,319 1,513 1,732 1,98 2,261 2,579 2,937 3,342 3,797 4,887 7,076 10,147 
15 1,161 1,346 1,558 1,801 2,079 2,397 2,759 3,172 3,642 4,177 5,474 8,137 11,974 
16 1,173 1,373 1,605 1,8732,183 2,54 2,952 3,426 3,97 4,595 6,13 9,358 14,129 
17 1,184 1,4 1,653 1,948 2,292 2,693 3,159 3,7 4,328 5,054 6,866 10,761 16,672 
18 1,196 1,428 1,702 2,026 2,407 2,854 3,38 3,996 4,717 5,56 7,69 12,375 19,673 
 
Exemplo: 
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 Um comerciante consegue um empréstimo de R$60.000,00 que deverão 
ser pagos, ao fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 2% ao mês. 
Quanto o comerciante deverá pagar ao fim do prazo combinado? 
Solução: 
Sendo, 
 C = 60.000 
 i = 2% = 0,02 
 n = 12 
Substituindo estes elementos na fórmula do montante, teremos: 
 
 
 
 A tabela de juros compostos dada acima mostra que o Fator F = (1 + 
0,02)12 – quando i = 2% e n =12 – equivale a F = 1,268, assim temos: 
 
 
Assim, concluímos que o comerciante pagará a quantia de R$76.080,00. 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
6. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria 
Interna) Uma loja de eletrodomésticos está realizando uma promoção em que 
na compra de qualquer artigo até R$ 1.000,00, o pagamento será em uma 
única prestação, 6 meses depois. Um consumidor adquiriu mercadorias no 
valor de R$ 800,00, sendo informado de que a prestação a ser paga, dentro de 
6 meses, seria de R$ 1.000,00. 
 
A taxa mensal de juros composta cobrada pela loja está situada entre 
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a) 6% e 7% 
b) 5% e 6% 
c) 4% e 5% 
d) 3% e 4% 
e) 2% e 3% 
 
Solução: 
Temos que, 
 C = capital = 800,00 (valor inicial) 
 M = montante = 1.000,00 (valor final) 
 n = período = 6 meses (período para o pagamento) 
 
Utilizando a fórmula de Juros Compostos temos, 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
Perceba que, 
 
 
 
 
 
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 Concluímos então que a taxa mensal de juros composta cobrada pela 
loja está situada entre 3% e 4%. 
Item Correto: Item D. 
 
7. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Contador Júnior) Um jovem executivo 
recebeu R$ 10.000,00 de bonificação por um trabalho bem-sucedido. Decidiu 
aplicar a quantia em um fundo de investimentos, pelo prazo de 4 meses, a uma 
taxa composta de 3% ao mês. O valor total que o jovem poderá resgatar, em 
reais, após esse prazo, é de 
 a) 11.260,00 
 b) 11.552,90 
 c) 12.152,29 
 d) 12.525,19 
 e) 12.952,25 
Solução: 
Temos que, 
 C = R$10.000,00 
 i = 3% a.m. = 0,03 
 n = 4 meses 
 
Utilizando a fórmula de Juros Compostos temos, 
 
 
 
Utilizando a tabela de juros compostos dada acima percebemos que, 
 
Assim, 
 
 
Item Correto: Item A. 
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Capitalização 
 
 Capitalização nada mais é do que tudo isto que já vimos até agora. 
 Quando acrescemos os Juros a um Capital inicial estamos capitalizando, 
o que varia é a forma que este capital aumenta. Então agora veremos de forma 
mais detalhada os Regimes de Capitalização. 
 
Regimes de Capitalização 
 
 O resultado do cálculo dos juros de uma operação financeira dependerá, 
entre outros fatores, do modo como decidiremos que deve ocorrer a variação 
destes juros em relação ao prazo da operação. 
 Denomina-se regime de capitalização ao modo escolhido para a 
variação dos juros em relação ao prazo das operações consideradas. 
 Existem basicamente três regimes de capitalização: 
 Capitalização Simples. 
 Capitalização Composta. 
 Capitalização contínua (Não veremos esta, pois não é cobrada em 
concursos). 
 
Capitalização Simples 
 
 Os juros de qualquer período constante são sempre calculados sobre o 
CAPITAL INICIAL, isto é, o capital que foi aplicado inicialmente. Nada mais é 
do que os Juros Simples já vistos anteriormente. 
 Ou seja, devemos capitalizar os títulos, conforme a fórmula abaixo: 
 
 
N = A (1 + i.n) 
 
Onde: 
 
 N = valor nominal, ou seja, o valor futuro; 
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 A = valor atual; 
 i = taxa; 
 n = número de períodos que foram capitalizados. 
 
 
 
 Perceba que essa fórmula é a mesma utilizada em juros simples 
demonstrada na primeira questão deste capítulo: 
 
 
 Onde M é o montante, ou seja, o valor futuro a ser encontrado e C é o 
capital inicial, ou seja, o valor Atual. Nós apenas mudamos as letras que 
representam, mas é a mesma fórmula. 
 
 
Capitalização Composta 
 
 Os juros de cada período são calculados sobre o MONTANTE do 
período anterior, isto é, o CAPITAL INICIAL mais os JUROS ACUMULADOS 
até então. Nada mais do que os Juros Compostos também já vistos. 
 Ou seja, devemos capitalizar os títulos, conforme a fórmula abaixo: 
 
 
Onde: 
 N = valor nominal, ou seja, o valor futuro; 
 A = valor atual; 
 i = taxa; 
 n = número de períodos que foram capitalizados. 
 
 
Obs.: Cabe aqui, abrir uma observação importante sobre Capitalização 
Composta (Juros Compostos). Falaremos sobre a Convenção Linear e 
Exponencial. 
 
 
 
 
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 Convenção Linear e Convenção Exponencial 
 
 A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte 
inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. Esta convenção é, 
em essência, uma mistura de regime composto e linear, adotando fórmulas de 
juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples 
na parte fracionária. 
 A técnica consiste em calcular o montante em duas etapas: 
1ª etapa - Calcular o montante composto para o maior número possível de 
períodos inteiros; 
2ª etapa - Acrescentar ao resultado da 1ª etapa os juros simples proporcionais 
à parte fracionária restante do tempo de aplicação calculada sobre o montante 
obtido na 1ª etapa do cálculo. 
 Já a convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização 
para todo o período. Ou seja, utiliza capitalização composta tanto para a parte 
inteira como para a fracionária. 
 Esta convenção é mais generalizadamente usada na prática, sendo 
considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos 
e taxas equivalentes para os períodos não inteiros. (ASSAF NETO, 2001) 
Obs.: Essas convenções só se aplicam no caso de Juros compostos, pois no 
caso de Juros Simples quando o número de períodos não é inteiro podemos 
calcular sem nenhum problema. 
 
Exemplo: 
1) (HAZZAN, 2007) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros 
compostos, durante três meses e meio, a taxa de 8% a.m. 
a) Qual o montante pela convenção exponencial?b) Qual o montante pela convenção linear? 
 
Solução: 
 
 
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 20 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
1º Passo: Calcular a parte inteira: 
 
 
 
 
2ºPasso: Calcular a parte não inteira: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
8.(FCC - 2006 - SEFAZ-PB - Auditor Fiscal de Tributos Estaduais - Prova 1) 
Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros 
compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do 
período, adotando a convenção linear, foi igual a 
 a) R$ 22.755,00 
 b) R$ 23.780,00 
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 21 
 c) R$ 24.805,00 
 d) R$ 24.932,05 
 e) R$ 25.500,00 
 
9. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle 
Júnior) Um investimento rende juros mensais de taxa 2%, com capitalização 
mensal. Ao final de 3 meses, o percentual de juros, em relação ao capital 
inicial, é mais próximo de 
a) 6,00% 
b) 6,08% 
c) 6,12% 
d) 6,18% 
e) 6,24% 
 
Solução: 
 Quando a questão fala em capitalização mensal quer dizer que são 
cobrados juros compostos mensalmente. 
Sabemos que nos Juros Compostos o Montante é calculado da seguinte forma: 
 
 
 
A questão nos deu que i = 2% = 0,02 e n = 3, assim temos: 
 
 
 
 
Temos ainda que, 
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 22 
 – 
 – 
 
Ou seja, 
Os juros equivalem a aproximadamente 6,12% do Capital Inicial Aplicado. 
Item Correto: Item C. 
 
Descontos 
 
 Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é 
negociada antes da data do seu vencimento. 
 O Documento que atesta a dívida é denominado genericamente por 
título de crédito. 
 Valor Nominal, ou valor de face, é o valor do título de crédito, ou seja, 
aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do 
título. 
 Valor Líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes 
de sua data de vencimento. É sempre menor que o valor nominal, pois o 
título sofreu um desconto. 
 
RESUMINDO: 
Valor Líquido------------------------- + Desconto --------------------Valor Nominal 
(Antes do Vencimento) (Prazo de Antecipação) (Vencimento) 
 
Desconto Simples 
 
 O Desconto Simples é o processo de determinação do valor atual de um 
título mediante utilização do sistema de juros simples. 
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 23 
 Dentro do Desconto Simples e também do Composto existem dois 
subtipos. São dois: 
1º) Desconto ´´por dentro``, ou desconto racional, é aquele onde a referência 
para o cálculo porcentual do desconto é o valor líquido. 
 
Desconto por dentro ou 
 racional  100% é o valor líquido ou valor atual (A) 
 
 
Nesse caso, o nosso esquema será 
 
Valor Líquido----------------------- + Desconto --------------------------Valor Nominal 
100% + d% (100 + d)% 
 Perceba que o d% não é a taxa unitária. Por exemplo, se um título for 
descontado a juros simples durante 2 meses a uma taxa de 5% a.m. então: 
 
 
 
 Onde, 
 I = taxa porcentual, ou seja, não a taxa unitária (ex.:5% a.m. e não 0,05); 
 n = número de períodos que foram capitalizados. 
 
 Lembrando que a taxa unitária é achada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 Agora, podemos demonstrar a fórmula do desconto racional a juros 
simples com uma regra de três simples. Lembrando do esquema acima 
sabemos que 100% está para o valor líquido (A), assim como (100+d)% está 
para o valor futuro(N): 
100%  A 
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 24 
(100+d)%  N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 A é o valor líquido, que também pode ser chamado de valor atual. É o 
título já com o desconto; 
 N é o valor nominal, que também pode ser chamada de valor futuro. É o 
valor original do título sem ser descontado; 
 d é a taxa porcentual que será descontada do título. ; 
 i é taxa unitária; 
 n = número de períodos que foram capitalizados. 
 
2º) Desconto ´´por fora``, ou desconto comercial, é aquele onde a referência 
para o cálculo porcentual do desconto é o valor nominal. 
 
Desconto por fora ou comercial  100% é o valor nominal 
 
Nesse caso, o nosso esquema será 
 
Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal 
(100 – d)% + d% 100% 
 
Para resolver um problema de desconto simples, tudo que temos a fazer é: 
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 25 
1º Identificar qual o tipo do desconto no problema, ou seja, se é comercial ou 
racional; 
2º Procurar preencher o “esquema’’ correspondente de acordo com dados do 
problema; 
3º Calcular o valor de que precisarmos, no esquema, usando regra de três. 
 
Dica para saber quando é por fora ou por 
dentro: 
Pense numa garrafa: 
O que há dentro dela? O líquido! 
(por dentro: 100% é o líquido) 
O que há fora dela? O nome! 
(por fora: 100% é o nominal) 
 
 
Exemplo: 
1. Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 
dias (2 meses) antes do vencimento e à taxa de 12% ao mês, resultou em um 
valor descontado de R$608,00. 
 
Solução: 
A expressão ´´descontado comercialmente`` indica que o desconto é 
comercial, ou por fora. Logo, o 100% é o valor nominal, o nosso esquema 
será 
Valor Líquido------------------------- + Desconto ------------------------Valor Nominal 
(100 – 24)% + 24% (60 dias = 2 meses) 100% 
 R$608,00 N 
 
Fazendo a regra de três temos, 
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 26 
 
100% N 
 76% R$608,00 
 
 
 
Então o valor nominal foi de R$800,00. 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
10 .(Auditor Fiscal do Tesouro Nacional - 1996) Uma pessoa possui um 
financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos 
pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é deR$1.400,00. As 
condições contratuais preveem que o pagamento deste financiamento será 
efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento 
do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda 
parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao 
final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado 
é: 
a)R$816,55 b) R$900,00 c) R$945,00 d) R$970,00 e) R$995,00 
 
11. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria 
Interna) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ 
12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições: 
 
 
 
Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na 
conta corrente da empresa, em reais, foi de 
a) 11.660,00 
b) 11.460,00 
c) 11.400,00 
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 27 
d) 11.200,00 
e) 11.145,00 
Solução: 
Obs.: Perceba que a questão não informou se o desconto é comercial ou 
racional. Não houve a necessidade, pois o desconto utilizado pelos bancos 
é sempre o comercial. 
Obs.2: Duplicatas são títulos de crédito que uma empresa irá receber um 
pagamento em uma determinada data (vencimento) de outra empresa ou 
pessoa física por um serviço prestado ou produto vendido. Muitas vezes as 
empresas detentoras dessas duplicatas procuram os bancos para que estes 
adiantem a duplicata em troca de um desconto. Então o valor da duplicata 
descontada é creditado na conta da empresa antecipadamente. 
 
Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal 
(100 – 5)% + 5% (2 meses) 100% 
 VL R$12.000,00 
 100% R$12.000,0 
(100 - 5)% VL 
 
Resolvendo a regra de três obtemos o seguinte: 
 
 
 
 
O valor creditado na conta da empresa é de R$11.400,00. 
 
Item Correto: Item C 
 
12. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle 
Júnior) Uma empresa desconta um título de valor nominal R$ 20.000,00 e 
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 28 
vencimento em 28 de dezembro em um banco que adota o desconto comercial 
simples de taxa 4,5% ao mês. Se a antecipação ocorre no dia 10 do mesmo 
mês, o valor creditado na conta da empresa é igual a 
a) R$ 19.100,00 
b) R$ 19.280,00 
c) R$ 19.460,00 
d) R$ 19.540,00 
e) R$ 19.620,00 
Solução: 
Temos que, 
 Valor Nominal: R$20.000,00 
 Tempo de Antecipação: 18 dias (do dia 10 ao dia 28 de dezembro) 
 Taxa: 4,5% ao mês 
Acharemos inicialmente a taxa equivalente (ie) em dias, 
 (%) prazos (dias) 
 4,5% 30(1 mês) 
ie 1 
resolvendo a regra de três temos, 
 
 
 
 
 
Montando a tabela do desconto comercial simples, 
 
Valor Líquido------------------------ + Desconto -------------------------Valor Nominal 
(100 - 18.0,15)% + 18.0,15% (18 dias) 100% 
 VL R$20.000,00 
 
 100% R$20.000,0 
 
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 29 
(100 – 18.0,15)% VL 
Resolvendo a regra de três obtemos o seguinte: 
 – 
 
o valor creditado na conta da empresa é igual a R$19.460,00 
Item Correto: Item C 
 
Obs.: Não encontrei questões da CESGRANRIO que envolvesse DESCONTO 
SIMPLES RACIONAL, então adicionei aqui questões sobre esse tema que 
poderiam ser muito bem da CESGRANRIO. 
13. Um título com valor nominal de R$3.200,00 foi resgatado dois meses antes 
do seu vencimento, com um desconto racional simples à taxa de 30%a.m. De 
quanto foi o valor pago pelo título? 
a) R$2.000,00 
b) R$1.920,00 
c) R$1.280,00 
d) R$1.200,00 
e) R$1.180,00 
Solução: 
Temos, 
 Valor Nominal: R$3.200,00 
 Tempo de Antecipação: 2 meses 
 i = 30% a.m. 
 
Valor Líquido------------------------ + Desconto ------------------------Valor Nominal 
 100% + 60%(2 meses) (100 + 60)% 
 VL R$3.200,00 
Resolvendo a regra de três temos, 
 
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 30 
 
 
O valor pago pelo título foi R$2.000,00 
Item Correto: ITEM A 
 
14. Qual o prazo de antecipação de um título que, descontado racionalmente, à 
taxa de juros de 4% a.m., produziu um desconto de R$300,00 se o seu valor 
nominal era de R$1.800,00? 
a) 4 meses e 5 dias 
b) 5 meses 
c) 5 meses e 10 dias 
d) 5 meses e 15 dias 
e) 5 meses e 20 dias 
Solução: 
Temos, 
 Valor Nominal: R$1.800,00 
 Desconto Concedido: R$300,00 
 Valor Líquido: R$1.800,00 – R$300,00 = R$1.500,00 
 i = 4% a.m. 
Valor Líquido------------------------ + Desconto ------------------------Valor Nominal 
 100% + n . 4%(n meses) (100 + n.4)% 
R$1.500,00 R$300,00 R$1.800,00 
Resolvendo a regra de três temos, 
 
 
 
O prazo de antecipação do título foi de 5 meses 
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 31 
Item Correto: ITEM B 
 
Desconto Composto 
 
 O Desconto Composto é o processo de determinação do valor atual de 
um título mediante utilização do sistema de juros compostos. Ele também se 
divide em mais dois tipos: O Desconto Racional Composto e o Desconto 
Comercial Composto. 
 
1º) Desconto Racional Composto 
 
 Denomina-se desconto racional composto à taxa i, com n períodos de 
antecipação, à diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) do título: 
 
 Sabemos também que 
 
onde D é o desconto concedido. 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
16. (CESGRANRIO - 2008 - BNDES - Técnico de Arquivo) Uma nota 
promissória cujo valor de face é R$ 12.100,00 foi saldada dois meses antes do 
seu vencimento. A taxa de desconto racional composto utilizada foi de 10% ao 
mês. Imediatamente após receber o pagamento, o credor da nota promissória 
aplicou todo o dinheiro recebido à taxa de juros compostos de 44% ao bimestre 
com capitalização mensal. Dois meses após a aplicação, o montante obtido 
pelo credor, em reais, corresponde a 
 a) 13.800,00 
 b) 13.939,20 
 c) 14.400,00 
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 32 
 d) 14.407,71 
 e) 14.884,00 
Solução: 
Temos que, 
 N = R$12.100,00 (O valor de Face é o valor Nominal) 
 n = 2 (2 meses) 
 i = 10% a.m. 
 
Utilizando a fórmula de DESCONTO RACIONAL COMPOSTO temos 
 
 
 
 
O valor descontado foi de R$10.000,00. Vamos calcular qual o montante após 
os dois meses de aplicação, sabendo que: 
 
 C = A = R$10.000,00 (pois o valor da aplicação inicial é justamento o 
valor descontado) 
 n = 2 (2 meses) 
 i = 22%a.m. (44% ao bimestre com capitalização mensal – 44% é uma 
taxa nominal, e 22% é a taxa efetiva correspondente – na aula 2 
ensinaremos sobre essas duas taxas. Por enquanto basta que você 
saiba que 22% a.m. é a taxa efetiva) 
 
Utilizando a fórmula de Capitalização Composta (Juros Compostos): 
 
 
 
Logo o valor do Montante obtido foi de R$14.884,00. 
Item Correto: Item E 
 
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 33 
2º) Desconto Comercial Composto 
 Podemos dizer que um título de Valor Nominal N descontado pelo 
critério do desconto comercial composto, com n períodos antes do seu 
vencimento e a uma taxa igual a i por período apresentará um valor atual (ou 
líquido) A igual a: 
 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
17. (CESGRANRIO - 2008 - ANP - Analista Administrativo - Contabilidade) A 
Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicata no 
valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de desconto 
composto de 2,5% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o ano 
comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo Banco na conta corrente 
da empresa, em reais, foi 
 a) 28 888,08. 
 b) 28.808,88. 
 c) 27.062,61. 
 d) 26.062,12. 
 e) 26.026,21. 
Solução: 
Temos que 
 N (valor nominal) = 28.800 
 i (taxa) = 2,5% ao mês 
 n (tempo de antecipação) = 120 dias ou 4 meses 
Como foi descontado em um banco o desconto é comercial e foi dado que os 
juros são compostos, logo 
 
 – 
 
O Valor Líquido é R$26.026,21. ITEM CORRETO: ITEM E. 
 
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 34 
18. (CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Contabilidade) A 
Empresa Deltamática Ltda. descontou no banco um título no valor de R$ 
18.000,00, com prazo de vencimento de 3 meses, a uma taxa de desconto 
composto de 2% ao mês. O valor líquido liberado pelo banco, em reais, foi de 
 a) 16.861,40 
 b) 16.941,45 
 c) 16.941,77 
 d) 17.123,56 
 e) 17.899,99 
Solução: 
Temos que 
 N (valor nominal) = 18.000 
 i (taxa) = 2% ao mês 
 n (tempo de antecipação) = 3 meses 
Como foi descontado em um banco o desconto é comercial e foi dado que os 
juros são compostos, logo 
 
 – 
 
O Valor Líquido é R$16.941,45. ITEM CORRETO: ITEM B. 
 
19. (CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário) Um título de valor nominal R$ 
24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa 
composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial 
composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D - d, em 
reais, vale 
 a) 399,00 
 b) 398,00 
 c) 397,00 
 d) 396,00 
 e) 395,00 
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 35 
Solução: 
Temos que, 
 N = R$24.200,00 
 n = 2 meses 
 i = 10% a.m. 
Vamos achar o valor Líquido e o desconto (d) no caso de desconto racional(ou 
por dentro): 
 
 
 
 
 
 
 
E o desconto é 
 – – 
 
Agora vamos achar o valor líquido no Desconto Comercial Composto: 
 
 – 
 
E o desconto é 
 – 
 – 
 
A questão pede D – d, logo 
 – – 
 – 
Item Correto: ITEM B. 
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 36 
2. Taxas de juros: nominal, efetiva, 
equivalentes, proporcionais, real e 
aparente 
 
Taxas Efetivas e Taxas Nominais 
 
Taxa Efetiva 
 
 Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com a 
unidade de tempo do período de capitalização dizemos que a taxa é efetiva. 
 
 
Exemplo: 
 
Taxa de 2% ao mês com capitalização mensal 
 
 
Taxa Nominal 
 
 É aquela cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo 
do período de capitalização. 
 
 
Exemplo: 
 
Juros de 72% ao ano, capitalizados mensalmente. 
 
 
Conversão da Taxa Nominal em Taxa Efetiva. 
 
 A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor 
da taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização. Isto pode ser 
feito com uma regra de três simples e direta. Por exemplo, no caso anterior 
teríamos: 
 
 72%  12 meses 
X  1 mês 
 
Resolvendo teríamos, 
 
12 . x = 1 . 72 
 
x = 72/12 
 
x = 6%a.m(taxa efetiva) 
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 37 
 
 
 
Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes 
 
Taxa de Juros Proporcionais 
 Duas taxas são ditas proporcionais quando seus valores são 
proporcionais aos seus respectivos prazos. 
Exemplo: 
 As taxas de 36% ao ano e de 3% ao mês são proporcionais. Isso pode 
ser comprovado verificando uma regra de três direta: 
 
 (%) prazos (em meses) 
36 12 
3 1 
36%x1 = 3%x12 
36% = 36% 
 A igualdade obtida confirma que 36% estão para 12 meses assim como 
os 3% estão para 1 mês, ou seja, as taxas são proporcionais. 
 
Taxas de Juros Equivalentes 
 Dizemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a capitais 
iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais e conseqüentemente 
o mesmo montante. 
Exemplo1: 
 1. A aplicação de uma dada quantia qualquer, por certo período, à taxa 
de juros simples de 2% ao mês nos daria um total de juros igual àquele que 
obteríamos se aplicássemos a mesma quantia, durante o mesmo tempo, mas à 
taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Então dizemos que a taxa de juros 
simples de 2% a.m. é equivalente à taxa de juros simples de 6% a.t. 
 
 
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 38 
 
 Perceba que 2% a.m. e 6% a.t. são também proporcionais, pois no 
regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais e vice-
versa. 
 No caso de Juros Simples, achar a taxa equivalente é mais simples que 
no Regime de Juros Compostos, pois basta achar a taxa proporcional. Mais àfrente mostraremos como achar Taxas Equivalentes no regime de Juros 
Compostos. 
 Obs.: A vantagem de se achar a taxa equivalente é que muitas vezes as 
questões nos dão prazos em unidades diferentes da que se encontra na taxa. 
Por exemplo, quando a questão dá que o período de aplicação é de 120 dias e 
que a taxa é de 9% a.m. 
 
Exemplo2: 
 
 Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalente à taxa composta 
de 20% a.m.? 
 
Solução: 
 
 Pretendemos determinar uma taxa trimestral (t) equivalente a uma taxa 
mensal(m) dada (m = 0.20). 
 
 Como 1 trimestre equivale a 3 meses, teremos 1 e 3 como expoentes: 
 
M = C . (1 + i)n 
(fórmula fundamental dos juros compostos) 
 Como o Montante das duas taxas tem que ser iguais, podemos dizer que 
C. (1 + t)1 = C . (1 + m)3 
(1 + t)1 = (1 + m)3 
 
(1 + t) = 1,203 = 1,728 
 
t = 1,728 - 1 = 0,728 
 
t = 72,8% a. t. 
 
 
 
 
 
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 39 
 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
1. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria 
Interna) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é 
a) 19,58% 
b) 19,65% 
c) 19,95% 
d) 20,00% 
e) 21,55% 
Solução: 
Sendo: 
 a = taxa anual 
 t = taxa trimestral = 5% = 0,05 
Para acharmos a taxa anual equivalente a taxa composta trimestral devemos 
igualar os seguintes termos: 
(1 + a)1 = (1 + t)4 
 
Colocamos o expoente 4 (quatro) porque em um ano há 4 trimestres. Assim, 
(1 + a)1 = (1 + 0,05)4 
 
1 + a = 1,054 = 1,2155 
 
a = 1,2155 – 1 = 0,2155 
 
a = 21,55% 
 
ITEM CORRETO: ITEM E 
 
2. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria 
Interna) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao 
ano, capitalizada mensalmente, monta a 
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 40 
 
a) 12,68% 
b) 12,75% 
c) 12,78% 
d) 12,96% 
e) 13,03% 
Solução: 
Quando temos uma taxa nominal de X% ao ano com capitalização mensal, 
obtemos a taxa efetiva dividindo X% por 12. 
 
iefetiva a.m. = (inominal a.a.) / 12 
iefetiva a.m. = 0,12 / 12 
iefetiva a.m. = 0,01 ou 1% a.m. 
 
Agora que temos a taxa efetiva mensal, podemos encontrar a taxa efetiva 
anual equivalente(ia). A taxa anual é a taxa efetiva mensal capitalizada 12 
vezes, ou seja, são taxas equivalentes: 
 
(1 + ia) = (1 +im)
12 
(1 + ia) = (1 + 0,01)
12 
(1 + ia) = (1,01)
12 
 
Ele nos informou que (1,01)11 = 1,1157; sabemos que 
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 41 
 
(1,01)12 = (1,01)11. (1,01)
1 
então: 
(1 + ia) = (1,01)
11 . (1,01)1 
(1 + ia) = 1,1157 . 1,01 
(1 + ia) = 1,126857 
ia = 1,126857 – 1 
ia = 0,126857 ou 12,68% 
 
 
Taxa Over 
 
Denominamos taxa over a taxa nominal igual a 30 vezes a taxa efetiva diária 
de uma operação financeira cuja remuneração ocorra somente para os dias 
úteis do período da operação, sendo comum indicá-la somente como um 
percentual. 
 
 
Exemplo: 
 
 Uma operação financeira com prazo de 31 dias corridos tem uma taxa 
over de 15%. Qual é a taxa efetiva desta operação se, neste período, houver 
apenas 22 dias úteis? 
 
Solução: 
 
A taxa efetiva diária é: 
15% / 30 = 0,5% 
 
 A taxa efetiva correspondente à taxa over considera apenas os dias 
úteis. Desta forma, a taxa efetiva da operação será a taxa de 22 dias 
equivalente à taxa diária encontrada. Chamando de i a taxa efetiva da 
operação, temos: 
 
 
(1 + i) = (1 + 0,005)22 
 
(1 + i) = 1,11597 
 
i = 0,11597 = 11,597% 
 
 
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 42 
 
 
Taxa Real e Taxa aparente 
 
 
 Consideremos que um banco tenha oferecido uma determinada 
aplicação pagando uma taxa efetiva de 10% a.a.. Se no mesmo período for 
registrada uma inflação da ordem de 6%a.a., então diremos que a taxa de 
10%a.a. oferecida pelo banco não foi a taxa real de remuneração do 
investimento mas uma taxa aparente, pois os preços, no mesmo período, 
tiveram um aumento de 6%. 
 Se compararmos o que ocorreria com dois investimentos de R$100,00, o 
primeiro sendo remunerado à taxa de 10% a.a. e o segundo recebendo apenas 
a correção monetária devida à inflação de 6% a.a., teremos: 
 
 Montante da aplicação a juros de 10%: 
M = C . (1 + i)n 
M = 100 . (1 + 0,10)1 
 
M = 100 . 1,10 = 110,00 
 
 Montante da aplicação sujeita apenas à taxa de correção monetária de 
6%: 
M = C . (1 + i)n 
M = 100 . (1 + 0,06)1 
 
M = 100 . 1,06 = 106,00 
 
 Se o investidor recebesse, ao fim do investimento exatamente R$106,00 
não teria havido ganho nenhum, pois o único acréscimo recebido teria sido o 
da correção monetária. Como o investidor recebeu R$110,00, o seu ganho real 
foi de R$4,00 em relação a R$106,00 que é o valor atualizado dos R$100,00 de 
um ano atrás. Assim temos: 
 
 
 
 
Obs.: Observe que, ao contrário do que possa parecer a princípio, a taxa 
aparente iA não é igual à soma da taxa de inflação ii com a taxa iR. 
 
Sendo: 
 iA taxa aparente 
 iR taxa real 
 ii taxa da inflação 
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 43 
 
 Precisamos então perceber o seguinte fato no exemplo anterior: 
 
 
 M = C . (1 + iR)
n (O ´´C`` neste caso é o valor ajustado com a inflação) 
 
 110 = 106 . (1 + iR)
n 
 
 Generalizando, lembre-se que 110 = C0 . (1 + iA)
n e 106 = C0 . (1 + ii)
n , 
sendo ´´C0`` o capital inicial sem o reajuste da inflação. Substituindo teríamos: 
 
110 = 106 . (1 + iR)
n 
C0 . (1 + iA)
n = C0 . (1 + ii)
n . (1 + iR)
n 
 (1 + iA)
n = [(1 + ii)
 . (1 + iR)]
n 
 
Cortando o C0 dos dois lados ficamos com 
 
(1 + iA)
 = (1 + ii)
 . (1 + iR)
 
1 + iA = 1 + iR + ii + iR . ii 
iA = iR + ii + iR . ii 
 
 
Com essa fórmula podemos achar facilmente a taxa real. 
 
 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
3. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - Contador Júnior - Auditoria 
Interna) A Empresa Comercial Parton Ltda., obteve um empréstimo no Banco 
Novidade S/A com as seguintes condições: 
 
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 44 
 
 
 
Considerando-se exclusivamente os dados acima, as taxas efetiva e real da 
operação para a Comercial Parton, foram, respectivamente, de 
 
a) 16,67% e 14,65% 
b) 16,33% e 13,65% 
c) 15,35% e 12,15% 
d) 14,75% e 11,41% 
e) 14,25% e 11,35% 
 
Solução: 
 
 Nessa questão a CESGRANRIO pede a taxa efetiva, mas não fala se é 
mensal , trimestral e nenhuma outra. Quando ela não diz, temos que considerar 
que ela quer a taxa como um todo, ou seja, taxa de juros no período fornecido. 
 
 Outra observação importante é identificar quem é o montante e o capital 
inicial envolvido. A CESGRANRIO considera a taxa de abertura de crédito 
como parte do capital inicial, ou seja, o capital inicial seria: 
 
C = R$30.000,00 + R$500,00 
 
C = R$30.500,00 
 
 O Montante realmente é o valor pago no finaldo empréstimo (M = 
R$35.000,00). Então, colocando de outra maneira temos: 
 
 C = R$30.500,00 
 M = R$35.000,00 
 n = 1 trimestre (A questão pede a taxa como um todo, logo n = 1). 
 
M = C . (1 + i)n 
35000 = 30500 . (1 + iefetiva) 
(1 + iefetiva) = 35000 / 30500 
 
(1 + iefetiva) = 1,1475 
 
iefetiva = 0,1475 = 14,75% 
 
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 45 
 Achamos a taxa efetiva solicitada, o que nos remete ao item D, mas 
iremos também encontrar a taxa real. 
 
 A taxa efetiva encontrada na verdade é também a taxa aparente, pois 
houve inflação no período indicado, logo vamos utilizar a seguinte relação para 
encontrar a taxa real: 
 
(1 + iA)
 = (1 + ii)
 . (1 + iR)
 
 
(1 + 0,1475) = (1 + 0,03) . (1 + iR) 
 
1 + iR = 1,1475 / 1,03 
 
iR = 1,1141 – 1 
 
iR = 0,1141 = 11,41% 
 
Logo a taxa real é de 11,41%. 
 
ITEM CORRETO: ITEM D 
 
4. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Auditor Júnior) Uma aplicação financeira 
é realizada em período com inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa 
aparente da aplicação no período foi de 
 
a) 3,02% 
b) 3,10% 
c) 8,10% 
d) 8,24% 
e) 8,32% 
 
Solução: 
 
Temos que 
 
 ii = 2,5% = 0,025 
 iR = 5,6% = 0,056 
 
Utilizando a seguinte relação: 
 
iA = iR + ii + iR . ii 
iA = 0,056 + 0,025 +0,056 . 0,025 
iA = 0,0824 = 8,24% 
ITEM CORRETO: ITEM D 
 
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 46 
 
5. (CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Um investimento 
obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de 
inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi 
 
a) 0,5%. 
b) 5,0%. 
c) 5,5%. 
d) 10,0%. 
e) 10,5%. 
 
 
Solução: 
 
Obs.: variação nominal é sinônimo de Taxa Efetiva 
 
Podemos obter o resultado utilizando a conexão entre as taxas real, efetiva e 
de inflação. 
 
iA = iR + ii + iR . ii 
0,155 = iR + 0,05 + iR . 0,05 
0,155 – 0,05 = iR . (1 + 0,05) 
0,105 = iR . 1,05 
iR = 0,105/1,05 = 0,1 = 10% 
 
ITEM CORRETO: ITEM D 
 
6. ( ESPP - 2012 - BANPARÁ - Técnico Bancário) A taxa efetiva anual 
equivalente a uma taxa nominal de 10% ao ano no período de capitalização 
semestral é: 
 a) 10% 
 b) 5,125% 
 c) 21% 
 d) 12,5% 
 e) 10,25% 
 
 
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 47 
 
7. (FMP-RS - 2011 - TCE-RS - Auditor Público Externo - Administração) A taxa 
efetiva anual equivalente à taxa nominal de 18% ao semestre capitalizados 
mensalmente é 
 a) 15,08%. 
 b) 21,49%. 
 c) 25,66%. 
 d) 19,41%. 
 e) 42,58%. 
 
8. (FGV - 2011 - SEFAZ-RJ - Auditor Fiscal da Receita Estadual - prova 1) Em 
um período de um ano, a taxa aparente de juros foi de 15%, e a taxa de 
inflação, de 5%. Assim, a taxa real foi de 
 a) 9,52%. 
 b) 8,95%. 
 c) 10,00%. 
 d) 7,50%. 
 e) 20,75%. 
 
9. (FCC - 2011 - TRE-RN - Analista Judiciário - Contabilidade) Um investimento 
no valor de R$ 200.000,00 é realizado no início de um determinado ano. No 
final deste ano, o montante referente a este investimento é resgatado 
totalmente, e o seu valor foi de R$ 238.560,00. Se a taxa de inflação no 
período deste investimento foi de 12%, então a taxa aparente e a taxa real 
correspondentes no mesmo período foram iguais a, respectivamente, 
 a) 18,50% e 7,28%. 
 b) 18,50% e 6,50%. 
 c) 19,28% e 7,28%. 
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 48 
 d) 19,28% e 6,78%. 
 e) 19,28% e 6,50%. 
 
10. (CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa) Em um 
regime de juros simples, taxas proporcionais são taxas equivalentes. 
 Certo Errado 
 
11. (CESGRANRIO - 2012 - LIQUIGAS - Profissional Júnior - Administração) 
Taxas equivalentes constituem um conceito que está dire- tamente ligado ao 
regime de juros 
 
 a) compostos 
 b) nominais 
 c) proporcionais 
 d) reais 
 e) simples 
 
12. (CESPE - 2011 - BRB - Escriturário) Acerca de juros e taxas de juros, 
julgue os itens a seguir. 
No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas 
sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois 
ambas produzem o montante de R$ 172,00. 
 Certo Errado 
 
13. (IESES - 2012 - CRF-SC - Contador) 
Assinale a alternativa correta: 
a) A taxa de juros de 9% ao mês capitalizado mensalmente é exemplo de uma 
taxa nominal. 
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 49 
b) Em juros simples as taxas equivalentes e as proporcionais são sempre 
iguais. 
c) Uma aplicação em juros compostos sempre gera um montante maior do que 
em juros simples. 
d) Uma série de pagamentos periódica apresenta diferentes intervalos de 
tempo entre as parcelas a serem pagas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 50 
3. Planos ou Sistemas de Amortização 
de Empréstimos e Financiamentos 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 
 Amortização de uma dívida é o processo de extinção progressiva da 
dívida através de prestações que deverão ser pagas periodicamente. 
 
 As prestações devem ser suficientes para restituir o capital financiado 
bem como pagar os juros originados pelo financiamento do capital. 
 
 Os diferentes critérios utilizados para a composição dos valores das 
parcelas são chamados de sistemas de amortização. 
 
 Ao estudarmos um sistema de amortização, é útil considerarmos cada 
prestação como sendo o resultado da soma de duas partes componentes 
básicas: juro e cota de amortização. 
 
 
Valor da prestação = (juro) + (cota de amortização) 
 
 
Sistema Francês ou Price 
 
 O valor da prestação R é constante e periódico, podendo ser obtido pela 
fórmula baixo, onde P é o valor financiado (principal): 
 
Sendo: 
 
 R o valor da prestação 
 P o valor financiado 
 i taxa utilizada 
 n número total de parcelas 
 
 
 O juro pago em uma dada prestação é sempre calculado sobre o saldo 
devedor do período imediatamente anterior, sendo menor a cada nova 
prestação. 
 
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 51 
 
 Existe tabela PRICE para achar facilmente a fórmula dada indicada pelo 
símbolo: 
 
 Que na fórmula ficaria da seguinte forma: 
 
 
 
 A tabela é a seguinte: 
 
 
 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
1. (FCC - 2007 - MPU - Analista - Atuarial) Nascimento emprestou junto ao 
Banco Crescente S.A. a quantia de R$ 50.000,00 para comprar sua primeira 
casa. O sistema de amortização pactuado no contrato é o Sistema de 
Amortização Francês (Sistema Price), a uma taxa de juros de 10% a.a., com 
pagamento em 5 parcelas anuais de (em R$) 
 
a) 13.190,00 
b) 15.000,00 
c) 16.105,10 
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 52 
d) 16.589,83 
e) 16.805,05 
 
Solução: 
 
Temos que, 
 
 P = R$50.000,00 
 n = 5 
 i = 10% a. a. 
 
Utilizando a fórmula do sistema francês(price): 
 
 
 
 
R = 50000 . 0,26380 
 
R = 13.190,00 
 
ITEM CORRETO: ITEM A 
 
 
2. (FCC - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Um empréstimo no valor de R$ 
80.000,00 deverá ser pago por meio de 5 prestações mensais, iguais e 
consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da concessão do 
empréstimo. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização 
(Tabela Price) com uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, encontrando-
se R$ 17.468,00 para o valor de cada prestação. Imediatamente após o 
pagamento da primeira prestação, se S representa o percentual do saldo 
devedor com relação ao valor do empréstimo, então 
 
a) 77% < S < 78% 
b) 78% < S < 79% 
c) 79% < S < 80% 
d) 80% < S < 81% 
e) 81% < S < 82% 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
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 53 
 
Temos que, 
 
 P = R$80.000,00 
 n = 5 
 i = 3% a.m. 
 R = R$17.468,00 
 
Após 1 mês da concessão do empréstimo o saldo devedor imediatamente 
antes do pagamento da parcela é de(vamos abreviar Saldo Devedor por SD): 
 
SD = 80000 . (1 + i)1 
 
SD = 80000 . 1,03 
 
SD = 82400 
 
Logo, os juros gerados neste mês foram de: 
 
J = 82400 – 80000 
 
J = R$2.400,00 
 
Assim, como foi pago neste mês a quantia de R$17.468,00 , sendo que 
R$2.400,00, que está dentro dessa parcela, corresponde aos juros, sobrando 
somente 
 
A = 17468 – 2400 
 
A = R$15.048,00 
 
Que corresponde ao valor que abaterá da dívida original, gerando um novo 
saldo devedor: 
 
SD1 = P – A 
 
SD1 = 80000 – 15048 
 
SD1 = R$64.952,00 
 
Fazendo a divisão de SD1 por P achamos a porcentagem do novo saldo 
devedor em relação ao valor do empréstimo original: 
 
64952 / 80000 = 0,8119 = 81,19% 
 
ITEM CORRETO: ITEM E 
 
 
 
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 54 
3. (FCC - 2006 - Banco do Brasil - Escriturário - 001 - DF) Uma pessoa 
assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 
000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um 
mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-
se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, 
para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de 
Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no 
pagamento da segunda prestação é 
 
a) R$ 273,30 
b) R$ 272,70 
c) R$ 270,00 
d) R$ 266,70 
e) R$ 256,60 
 
Solução: 
 
Temos que, 
 
 P = R$15.000,00 
 n = 10 
 i = 24% a.a. (nominal) = 2% a.m. (efetiva) 
 
Pessoal, o fator de recuperação nada mais é do que o fator da tabela price: 
 
Assim, a questão já deu que, 
 
 
Então, utilizando a fórmula Price, temos: 
 
 
 
 
 
R = 15000 . 0,111 
 
R = 1665 
 
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 55 
Acabamos de achar o valor o valor das parcelas, agora precisamos achar o 
saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1ª parcela, para que 
possamos calcular os juros gerados do 1º ao 2º mês. 
 
Lembre-se do seguinte gráfico: 
 
 
E lembre-se também que Jn representa o juros de cada parcela e que An 
representa o valor de amortização da dívida, sendo que Jn + An = R 
 
J1 = P. i 
 
J1 = 15000 . 0,02 
 
J1 = 300 
 
E como Jn + An = R, 
 
A1 = R – J1 
 
A1 = 1665 – 300 
 
A1 = 1365 
 
E como o valor amortizado na primeira parcela foi de R$1.365,00, o no Saldo 
Devedor fica: 
 
SD1 = 15000 – 1365 
 
SD1 = 13635 
 
E o juros que esse saldo vai gerar do 1º ao 2º mês é de: 
 
J2 = 13635 . 0,02 
 
J2 = 272,70 
 
ITEM CORRETO: ITEM B 
 
 
 
 
 
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 56 
Sistema de amortização Constante (SAC) 
 
 
 A cota de amortização é constante em todas as prestações e o juro pago 
em cada uma das prestações corresponde ao total do juro sobre o saldo 
devedor do período anterior. 
 
 Como o saldo devedor decresce a cada período, o valor do juro vai 
ficando menor a cada prestação que, assim, apresentará valores decrescentes. 
 
 
 
 
 Assim, para se calcular a cota constante basta dividir o P por n. 
 
 
 
 
 Para se achar o juros de um certo período basta achar o saldo devedor e 
calcular o juros imediatos a ele. 
 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
4. (CESGRANRIO - 2010 - ELETROBRÁS - Administrador) Um empréstimo de 
R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da 
primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo 
devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de 
 
a) 200,00 e 800,00 
b) 200,00 e 900,00 
c) 300,00 e 700,00 
d) 300,00 e 800,00 
e) 300,00 e 900,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 57 
Solução: 
 
Temos que, 
 
 P = R$1.000,00 
 i = 10% a.a. 
 n = 5 
 
Vamos então achar a cota constante da parcela: 
 
 
A = 1000/5 
 
A = 200 
 
Lembrando do seguinte gráfico, vamos achar J1 
 
 
J1 = P . i 
 
J1 = 1000 . 0,1 
 
J1 = 100 
 
Assim, o valor da primeira parcela será: 
 
R1 = A + J1 
 
R1 = 200 + 100 
 
R1 = 300 
 
E o novo saldo devedor será 
 
SD1 = P – A 
 
SD1 = 1000 – 200 
 
SD1 = 800 
 
ITEM CORRETO: ITEM D 
 
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 58 
5. (CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Considere um 
financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações 
mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a 
taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação 
inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em 
 
a) 100% 
b) 50% 
c) 25% 
d) 10% 
e) 5% 
 
Solução: 
 
 P = R$100.000,00 
 n = 100 
 i = 1% a.m. 
 
Vamos calcular a prestação inicial baseada nos dados acima, 
 
A = 100000 / 100 
 
A = 1000 
 
Achemos agora o juros da 1ª parcela: 
 
J1 = P . i 
 
J1 = 100000 . 0,01 = 1000 
 
Logo a prestação inicial será: 
 
R1 = J1 + A 
 
R1 = 1000 + 1000 
 
R1 = 2000 
 
Agora, vejamos o caso para n = 200 (o dobro): 
 
 
A = 100000 / 200 
 
A = 500 
 
 
 
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 59 
 
E, 
 
J1 = P . i 
 
J1 = 100000 . 0,01 = 1000 
 
Logo a nova prestação inicial será: 
 
R1 = J1 + A 
 
R1 = 1000 + 500 
 
R1 = 1500 
 
Ou seja, uma diminuição de 500, que representa 
 
500/2000 = 0,25 = 25% 
 
Logo, se dobrarmos o número de parcelas, diminuímos em 25%o valor da 
prestação inicial. 
 
 
ITEM CORRETO: ITEM C 
 
 
6. (CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário) Um empréstimo de R$ 200,00 
será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após 
o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização 
Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será 
a) 50,00 
b) 55,00 
c) 60,00 
d) 65,00 
e) 70,00 
 
Solução: 
 
Temos que, 
 
 P = 200,00 
 n = 4 
 i = 10% a.m. 
 
 
 
 
 
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 60 
 
Assim, 
 
 
A = 200 / 4 
 
A = 50,00 
 
O saldo da devedor da 3ª parcela já foi amortizado duas vezes, pois já foi pago 
duas parcelas e como a cada parcela sempre é amortizado o mesmo valor de 
A temos que o saldo devedor após o pagamento de duas parcelas é: 
 
SD3 = 200 – 50 . 2 
 
SD3 = 100 
 
Logo os juros da 3ª parcela é de: 
 
J3 = SD3 . 
 
J3 = 100 . 0,1 
 
J3 = 10 
 
Assim a 3ª parcela será 
 
R3 = A + J3 
 
R3 = 50 + 10 
 
R3 = 60 
 
ITEM CORRETO: ITEM C 
 
 
 
 
Sistema de amortização misto (SAM) 
 
 
 Neste sistema, cada uma das prestações é a média aritmética das 
prestações correspondentes calculadas pelo Sistema Francês e pelo SAC. 
 
 O juro pago em cada prestação corresponde ao total de juro sobre o 
saldo devedor do período anterior. Em consequência, tanto a componente do 
juro quanto a da cota de amortização de uma da parcela serão também as 
médias aritméticas dos valores correspondentes pelos sistema Francês e SAC. 
 
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 61 
 
Exemplo: 
 
1. Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações pelo 
SAM, com juros de 5% a.m. Qual será o valor da 7ª prestação? 
 
Solução: 
 
1º) Cálculo da 7ª prestação no Sistema Francês 
 
 P = 5000 
 i = 5% 
 n = 10 
 
Utilizaremos a tabela price para achar o valor do fator : 
 
 
Logo, 
 
 
R = 5000 . 0,12950 = 647,50 
 
2º) Cálculo da 7ª prestação pelo SAC 
 
Cada prestação é composta de uma cota de amortização (que é constante no 
SAC) mais o juro sobre o saldo devedor do período anterior. 
 
Cota de amortização 
 
 
 
 
 
 
Valor do juro na 7ª parcela: 
 
 Se estamos calculando os juros sobre a 7ª parcela significa que já 
foi paga até a 6ª parcela, ou seja, como a cota de amortização é 
constante então foi amortizado da dívida total 
 
 
6 x A = 6 x 500,00 = 3000,00 
 
 
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 62 
 
Logo o Saldo Devedor é de 
 
5000 – 3000 = 2000 
 
Assim o juros do Saldo devedor do 6º para o 7º mês foi de 
 
J = 2000 x i 
 
J = 2000 x 0,05 
 
J = 100,00 
 
Valor da 7ª prestação pelo SAC: 
 
R7 = A + J7 
 
R7 = 500 + 100 = 600,00 
 
3º) Cálculo da 7ª prestação pelo SAM 
 
É a média aritmética entre as prestações correspondentes pelos sistemas 
Francês e SAC: 
 
 
 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
 
7. (CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Profissional Básico - Engenharia) Um 
banco concedeu a uma empresa de pequeno porte um empréstimo no valor de 
R$ 50.000,00, cujo contrato prevê um pagamento de 5 prestações mensais 
postecipadas pelo sistema de amortização misto (SAM), à taxa de juros de 4% 
ao mês. 
 
 Sabendo-se que pelo sistema francês de amortização (Price) a 
amortização da 1a parcela será de R$ 9.231,36, o valor da 2a prestação que a 
empresa deverá pagar, de acordo com o contrato, será, em reais, de 
 a) 11.231,36 
 b) 11.415,68 
 c) 11.600,00 
 d) 11.615,68 
 e) 12.000,00 
 
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 63 
Sistema Americano de Amortização 
 
 O sistema americano de amortização é aquele no qual o valor das 
prestações , que são periódicas, corresponde apenas aos juros do período, 
exceto na última prestação em que o total financiado é acrescido ao 
pagamento dos juros, amortizando integralmente a dívida. 
 
Sinking Fund 
 
 O tomador do empréstimo pode formar um fundo de reserva (ou sinking 
fund) reservando, periodicamente, certa quantia, de tal modo que, na data do 
pagamento da parcela final do empréstimo, esse fundo de reserva tenha 
acumulado um montante suficiente para amortizar o valor total financiado. 
 
 
Sistema americano com Sinking Fund a Uma e a Duas Taxas 
 
 Quando a taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva é 
igual à taxa do empréstimo, dizemos tratar-se de sistema americano a uma 
taxa. 
 
 
 Quando a taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva é 
diferente, dizemos tratar-se de sistema americano a duas taxas. 
 
Valor da provisão mensal para formação do Sinking Fund: 
 
 
 
Utiliza-se a fórmula acima para se achar o valor que deverá ser provisionado 
para a formação do Sinking Fund, onde: 
 
 P Valor total do empréstimo 
 R Valor da provisão mensal 
 n número de depósitos de provisão 
 i taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva 
 
 
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 64 
E o fator 
 
 
Pode ser calculado utilizando a seguinte tabela: 
 
 
 
 
Exercícios de Concursos Resolvidos 
 
8. (FUNIVERSA - 2010 - SEJUS-DF - Especialista em Assistência Social - 
Ciências Contábeis) Uma dona de casa fez um empréstimo que será pago 
segundo o sistema americano de amortizações. Sabendo que o valor do 
empréstimo foi de R$ 28.926,82, e a taxa cobrada pela instituição financeira foi 
de 3,457% ao mês, o valor do juro mensal a ser pago por essa dona de casa 
será de, aproximadamente, 
 a) R$ 9.000,00. 
 b) R$ 6.000,00. 
 c) R$ 4.000,00. 
 d) R$ 2.000,00. 
 e) R$ 1.000,00. 
 
 
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 65 
9. Um empréstimo no valor de R$200.000,00 deve ser pago pelo sistema 
americano em 24 prestações mensais. Considerando uma taxa de juros 
compostos de 1,2% a.m., o valor da 5ª prestação será igual a: 
 
a) R$1.100,00 
b) R$1.200,00 
c) R$1.400,00 
d) R$2.400,00 
e) R$4.600,00 
 
Solução: 
 
Todas as parcelas do sistema americano são iguais tirando a última, que é 
amortizado o valor integral. Todas as parcelas correspondem apenas ao valor 
dos juros gerados no mês. 
 
Como em todo mês é pago apenas os juros o valor do Saldo Devedor é sempre 
o mesmo, ou seja, o valor integral do empréstimo. Assim, 
 
 n 
 
 n 
 
Repetindo, como toda prestação corresponde ao valor dos juros, o valor da 5ª 
parcela é também R$2.400,00. 
 
ITEM CORRETO: ITEM D 
 
10. (CESGRANRIO - 2010 - ENGENHEIRO(A) DE PRODUÇÃO JÚNIOR - 
PETROBRÁS) Para desenvolver uma tecnologia inovadora na produção de 
biocombustível, determinada companhia obteve empréstimo de R$ 
100.000.000,00 junto a uma instituição financeira internacional. Fixou-se que os 
juros deveriam ser pagos semestralmente, calculados à taxa efetiva de 20% 
a.a., e o principal da dívida contraída seria quitado em uma única parcela, a ser 
amortizada integralmente ao final do prazo acordado.