aula 03

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Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
UFSM-CTISM
Teoria da comunicação
Série Exponencial de Fourier
Aula-03
Professor:
Andrei Piccinini Legg
Santa Maria, 2012
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Formula de Euler
Formula de Euler:
Leonhard Euler estabeleceu uma profunda relação entre as
funções trigonométricas e a função exponencial complexa.
Para qualquer numero real x a formula de Euler é dada por:
ejx = cos x + j · senx . (1)
Então as funções trigonométricas podem ser escritas como:
cos x = Re{ejx} =
ejx + e−jx
2 (2)
senx = Im{ejx} = e
jx − e−jx
2j . (3)
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Série Exponencial de Fourier
Pode-se mostrar que o conjunto de exponenciais:
ejnωot , ∀ n = 0,±1,±2, ... (4)
é ortogonal para qualquer intervalo de duração To = 2pi/ωo.
Ou seja,
∫
To
ejmωot(ejnωot)∗dt =
∫
To
ej(m−n)ωotdt =
{
0 m 6= n
To m = n
(5)
A partir das equações 4 e 5, pode-se afirmar que um sinal
g(t) pode ser representado em um intervalo To segundos
pela soma de exponenciais complexas.
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Série Exponencial de Fourier
Portanto o sinal g(t) é dado por:
g(t) =
∞∑
n=−∞
Dnejnωot (6)
em que
Dn =
1
To
∫
To
g(t)e−jnωotdt (7)
A série exponencial de Fourier é equivalente a série
trigonométrica de Fourier.
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Série Exponencial de Fourier
Portanto o sinal g(t) é dado por:
g(t) =
∞∑
n=−∞
Dnejnωot (6)
em que
Dn =
1
To
∫
To
g(t)e−jnωotdt (7)
Os coeficientes da série trigonometrica de Fourier
podem ser obtidos a partir dos da série exponencial
utilizando a Formula de Euler.
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Relação entre a série Exponencial e a Série
Trigonométrica de Fourier
Agora, mostraremos a relação entre a série trigonométrica
de Fourier e a série exponencial de Fourier. Considerando
a fórmula de Euler temos que
Cncos(nωot + θn) =
Cn
2
[
ej(nωot+θo) + e−j(nωot+θo)
]
=
(Cn
2 e
jθo
)
ejnωot +
(Cn
2 e
−jθo
)
e−jnωot
= Dnejnωot + D−ne−jnωot (8)
em que
Dn =
1
2Cne
jθn
D−n =
1
2Cne
−jθn (9)
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Relação entre a série Exponencial e a Série
Trigonométrica de Fourier
A forma compacta da série trigonométrica de Fourier de um
sinal periódico, g(t), é dada por
g(t) = Co +
∞∑
n=1
Cncos(nωot + θn) (10)
Utilizando-se a Eq. 8, 9 e a equação mencionada
anteriormente, e considerando Co = Do, obtemos a forma
compacta da série exponencial de Fourier:
g(t) = Do +
∞∑
n=1
Dnejnωot + D−ne−jnωot
= Do +
∞∑
n=−∞ (n 6=0)
Dnejnωot (11)
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Vantagens da Série Exponencial de Fourier
A representação da série é mais compacta;
Em análises matemáticas é muito mais simples
(rápido) se trabalhar com exponenciais do que se
trabalhar com senos e cossenos.
Por essas razões trabalharemos com a representação
exponencial daqui para frente!
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Vantagens da Série Exponencial de Fourier
A representação da série é mais compacta;
Em análises matemáticas é muito mais simples
(rápido) se trabalhar com exponenciais do que se
trabalhar com senos e cossenos.
Por essas razões trabalharemos com a representação
exponencial daqui para frente!
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Vantagens da Série Exponencial de Fourier
A representação da série é mais compacta;
Em análises matemáticas é muito mais simples
(rápido) se trabalhar com exponenciais do que se
trabalhar com senos e cossenos.
Por essas razões trabalharemos com a representação
exponencial daqui para frente!
Série de
Fourier
Formula de Euler
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Relação entre a série
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Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Exemplo 1
Encontre a série exponencial de Fourier para o sinal da
figura abaixo abaixo.
g(t) = Do +
∞∑
n=1
Dnejnωot + D−ne−jnωot
= Do +
∞∑
n=−∞ (n 6=0)
Dnejnωot
Dn =
1
To
∫
To
g(t)e−jnωotdt
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