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Transformada de Fourier condição de existência

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Teoria da 
Comunicação
Prof. Andrei Piccinini Legg
Aula 04
Análise e Transmissão de Sinais
 Mostrou-se que através da série de Fourier é possível se representar 
qualquer sinal periódico ou qualquer sinal de duração To. Mostrou-se 
também que através da série de Fourier é possível se determinar o espectro 
de amplitude e fase de qualquer sinal periódico que respeite a condição de 
existência de Dirichlet. 
 Agora vamos estender essa análise espectral para a classe dos sinais não 
periódicos.
 Aplicando-se o conceito de Limite, pode-se mostrar que um sinal 
não periódico pode ser expresso por uma soma (integral) 
contínua de exponenciais eternas ejωot.
Considere o sinal mostrado na figura abaixo
Para se representar esse sinal através de uma soma de exponenciais 
eternas, vamos criar (a partir de g(t)) um novo sinal gTo(t).
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Assuma To grande o suficiente para que não haja superposição 
de sinais.
 Sabe-se que um sinal periódico, gTo(t), pode ser representado por 
uma série exponencial de Fourier.
 Se fizermos To→∞, o sinal original, g(t), só se repetirá após um 
intervalo de tempo tendendo a infinito. 
 Logo, 
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Assim, a série de Fourier que representa gTo(t) também 
representa g(t) quando To→∞. A série exponencial de Fourier para 
gTo(t) é dada por
em que
e
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Observe que integrar gTo(t) sobre o intervalo (- To/2, To/2) é o 
mesmo que integrar g(t) sobre o intervalo (-∞, ∞). Portanto, a 
Equação (3.2a) pode ser expressa por
Se definirmos uma nova variável G(ω), que é uma função 
contínua em ω 
De (3.3) e (3.2c) obtém-se
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Antes de continuarmos nossa análise, vamos refletir um pouco 
sobre o quê a Equação (3.4) está nos dizendo.
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Observe a figura abaixo
Aumente o valor de To. O que acontece com o espectro de 
amplitude? Ou seja, o que ocorre com os coeficiente Dn em relação 
a ω?
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Explicação: Conforme o valor de To aumenta, o valor da 
amplitude de Dn diminui proporcionalmente a 1/To e o espectro se 
torna mais denso na mesma proporção do aumento de To. Ou seja, 
se To dobra de valor, a amplitude de Dn cai pela metade e o 
número de componentes na frequência dobra. 
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
A análise anterior pode ser entendida para To→∞. O resultado 
disso é um espectro extremamente denso com componentes 
espectrais espaçadas entre si por um valor infinitesimal (≈0) e cada 
uma dessas componentes com amplitudes de valor infinitesimal 
(≈0).
Obs.: Quando To→∞, têm-se “nada de alguma coisa em tudo, 
mas ainda se tem alguma coisa”. 
Retomando nossa análise, substituindo-se a Equação (3.4) em 
(3.1), obtém-se
Conforme To→∞, ω
ο
 torna-se infinitesimal (ω
ο
→0). Já que 
ω
ο
→0, então vamos passar a chamar ω
ο
 de ∆ω. Para essa nova 
notação a Eq. (3.2b) torna-se
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
e a Eq. (3.5)
 
pode ser reescrita como
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
A Equação (3.6a) mostra que gTo(t) pode ser expressa como uma 
soma de exponenciais eternas com frequências 
 (série de Fourier)
No limite
 To→∞. ∆ω →0 
e, consequentemente
 gTo(t)→ g(t)
Portanto,
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
O lado direito da Equação (3.6b) pode ser visto como a área sob a 
função G(ω) ejωt, conforme mostra a figura abaixo
A série de Fourier torna-se uma integral de Fourier no limite de 
To→∞. Portanto,
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
A integral do lado direito da Equação (3.7) é chamada de 
Integral de Fourier.
Representação de um Sinal Não Periódico 
através da Transformada de Fourier
Na análise de sinais temos as seguintes denominações:
 G(ω) é chamada de transformada direta de Fourier;
 g(t) é chamada de transformada inversa de Fourier;
Transformada Direta e Inversa de Fourier
Recapitulando:
 G(ω) é chamada de transformada direta de Fourier;
 g(t) é chamada de transformada inversa de Fourier;
Transformada Direta e Inversa de Fourier
Podemos escrever G(ω) da seguinte forma
 |G(ω)| é a amplitude (magnitude) de G(ω);
 θg(ω) é fase de G(ω);
Propriedades de G(ω)
Propriedade de Simetria (Complexo Conjugado)
De (3.8 a), 
tem-se que
Como g(t) é um sinal real, conclui-se que G(ω) e G(-ω) são 
complexos conjugados, isto é
Propriedades de G(ω)
Condições de Existência da Transformada 
de Fourier
A existência da transformada de Fourier é assegurada para 
qualquer g(t) que satisfaça as condições de Dirichlet.
 A primeira delas é
Prova (Exercício para casa)
Dica: basta lembrar que | e-jωt|=1. 
 A segunda é
Condições de Existência da Transformada 
de Fourier
“A existência física de um sinal é uma condição suficiente para 
assegurar a existência de sua transformada de Fourier”
Condições de Existência da Transformada 
de Fourier
 A transformada de Fourier é linear
Se 
então
Prova: Exercício para casa.
Dica: Comece a prova a partir da Equação (3.8a).
Exercício: Encontre a transformada de Fourier 
de e-atu(t).
Solução
Solução
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