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Teoria da 
Comunicação
Prof. Andrei Piccinini Legg
Aula 08
Introdução
 Sabemos que a informação pode ser transmitida 
através da modificação das características de uma 
sinusóide, chamada portadora do sinal de 
informação.
 Se a amplitude dessa sinusóide for alterada de acordo 
com as variações de amplitude do sinal de interesse, e 
se essa portadora mantiver sua frequência constante, 
então temos uma modulação em amplitude.
 Podemos também transmitir a informação do sinal 
m(t) através da alteração da frequência (ou fase) da 
sinusóide portadora.
Introdução
 Na modulação em frequência, alteramos a frequência 
da portadora em função do sinal m(t).
 A frequência da portadora irá variar a cada instante 
de tempo. Por isso, torna-se importante definirmos o 
conceito de frequência instantânea.
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Seja
em que
θωθ += tt c)(
))(cos()( tAt θϕ =
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Em um pequeno intervalo de tempo ∆t podemos dizer 
que ωct é a derivada de θt . 
 Logo,
0)( θωθ += tt c
)cos()( 0θωϕ += tAt c 21 ttt ≤≤
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Em um pequeno intervalo de tempo ∆t podemos dizer 
que ωct é a derivada de θt . 
 Logo,
 Neste exemplo, verifica-se que a frequência de ϕ(t), 
neste pequeno intervalo de tempo, é uma constante e 
vale ωc.
 Podemos estender essa análise para qualquer valor 
intervalo de tempo. 
0)( θωθ += tt c
)cos()( 0θωϕ += tAt c 21 ttt ≤≤
Modulação Angular ou Exponencial
 Se generalizarmos a idéia, mostrada anteriormente, 
para qualquer intervalo de tempo, teremos a definição 
de frequência instantânea (ωi), que é obtida a partir 
da derivada de θ(t).
 Logo,
 e
dt
d
i
θ
ω =
ααωθ dt
t
i )()( ∫
∞−
=
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Com essa definição podemos ver como transmitir m(t) 
através da variação de θ(t). 
 Essa técnica é chamada de modulação em ângulo, ou 
modulação exponencial.
 Para esse tipo de modulação, temos duas bem 
conhecidas:
 Modulação em fase (PM)
 Modulação em frequência (FM)
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Na modulação em fase θ(t) varia linearmente com 
m(t)
 Sendo ωc a frequência da portadora, kp uma 
constante e θ0 a fase da portadora, que pode ser 
igualada a zero sem perdas de generalidade, então
Assim,
 e
)()( 0 tmktt pc ++= θωθ
)()( tmktt pc += ωθ
)](cos[)( tmktAt pcPM += ωϕ
Modulação em Ângulo ou Exponencial
E a frequência instantânea de um sinal PM é dado por
 Portanto, na modulação em fase a frequência 
instantânea varia linearmente com a derivada do 
sinal modulante, m(t).
)](cos[)( tmktAt pcPM += ωϕ
[ ] )()( ' tmktmkt
dt
d
pcpci +=+= ωωω
Modulação em Ângulo ou Exponencial
Na modulação PM temos
Se fizermos 
A frequência instantânea varia linearmente com o 
sinal modulante, m(t), e temos portanto a modulação 
em frequência (FM).
)(tmk fci += ωω
)(' tmk pci += ωω
)(t
dt
d
i θω =
[ ]
ααωθ
ααωθ
dmktt
dmkt
t
fc
t
fc
∫
∫
∞−
∞−
+=
+=
)()(
)()(
Modulação em Ângulo ou Exponencial
Logo, a modulação em frequência é dada por 
)(tmk fci += ωω
)(t
dt
d
i θω =
[ ]
ααωθ
ααωθ
dmktt
dmkt
t
fc
t
fc
∫
∫
∞−
∞−
+=
+=
)()(
)()(



+= ∫
∞−
ααωϕ
t
fcFM dmktAt )(cos)(
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Podemos observar que os sinais PM e FM são 
bastante similares. Na realidade, não conseguimos 
distingui-los no domínio do tempo.



+= ∫
∞−
ααωϕ
t
fcFM dmktAt )(cos)(
)](cos[)( tmktAt pcPM += ωϕ
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Isso nos sugere que podemos ter uma função 
generalizada a partir da qual os sinais PM e FM 
possam ser gerados. Essa função é chamada de 
modulação Exponencial (EM-exponential modulation) 
e é dada por:



−+= ∫∞
∞−
αααωϕ dthmktAt cEM )()(cos)(
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Se k for uma constante e , então 
se torna
e portanto temos um sinal PM



−+= ∫∞
∞−
αααωϕ dthmktAt cEM )()(cos)(
)()( tth δ=
[ ])(cos)(
)()(cos)(
tkmtAt
dtmktAt
cEM
cEM
+=



+= ∫∞
∞−
ωϕ
αδαωϕ
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Se k for uma constante e , então 
se torna
e portanto temos um sinal FM



−+= ∫∞
∞−
αααωϕ dthmktAt cEM )()(cos)(
)()( tuth =



+=



+=
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
ααωϕ
ααωϕ
dmktAt
dtumktAt
cEM
cEM
)(cos)(
)()(cos)(
Exercício
 Desenhe as formas de onda FM e PM para o sinal 
m(t) representado na figura abaixo. Assuma que 
 
 
 
 
 
 
5102pi=fk pi10=pk MHzfc 100=
Exercício
 Desenhe as formas de onda FM e PM para o sinal 
m(t) representado na figura abaixo. Assuma que 
 
 FM
 PM
 
 
 
5102pi=fk pi10=pk MHzfc 100=
)(tmk fci += ωω
)(' tmk pci += ωω
Solução
 
 
 
 Para a modulação FM temos que:
 
 
 )(2
)(
tm
k
ff
tmk
f
ci
fci
pi
ωω
+=
+=
5102pi=fk MHzfc 100=
)(1010
)(
2
10.210.100
58
5
6
tmf
tmf
i
i
+=
+=
pi
pi
Solução
 
 
 
 Para a modulação FM temos que:
 
 
 
MHzfi 9,991.1010
58
(min) =−=
MHzfi 1,1001.1010
58
(max) =+=
Solução
 
 
 
 Como m(t) é uma função linear em t, então a frequência do 
sinal FM varia linearmente de fi(min) para fi(max) na faixa de 
variação do sinal m(t).
 
 
 
MHzfi 9,991.1010
58
(min) =−= MHzfi 1,1001.1010
58
(max) =+=
Solução
 
 
 
 Para a modulação PM temos que:
 
 
 )(2
)(
'
'
tm
k
ff
tmk
p
ci
pci
pi
ωω
+=
+=
pi10=pk MHzfc 100=
)(510
)(
2
1010.100
'8
'6
tmf
tmf
i
i
+=
+=
pi
pi
Solução
 
 
 
 Para a modulação PM temos que:
 
 
 
)(
2
)(
'
'
tm
k
ff
tmk
p
ci
pci
pi
ωω
+=
+= 5102pi=fk
MHzfc 100=
)(510
)(
2
1010.100
'8
'6
tmf
tmf
i
i
+=
+=
pi
pi
Solução
 
 
 
 Para a modulação PM temos que:
 
 
 
)(510 '8 tmfi +=
 
 
 
 
 
 
Exercício
 Desenhe as formas de onda FM e PM para o sinal 
m(t) representado na figura abaixo. Assuma que 
 
 
 
 
 
 
5102pi=fk 2/pi=pk MHzfc 100=
Exercício
 Desenhe as formas de onda FM e PM para o sinal 
m(t) representado na figura abaixo. Assuma queFM
 PM
 
 
 
5102pi=fk 2/pi=pk MHzfc 100=
)(tmk fci += ωω
)(' tmk pci += ωω
Solução
 
 
 
 Para a modulação FM temos que:
 
 
 
Solução
 
 
 
 Esse tipo de modulação FM é conhecido por FSK 
(frequency-shift keying) comutação por deslocamento 
em frequência
 
 
 
Solução
 
 
 
 Para a modulação PM temos que:
 
 
 
Solução
 
 
 
 Para a modulação PM temos que:
 
 
 


+=
+=
)(
2
cos)(
)](cos[)(
tmtAt
tmktAt
cPM
pcPM
pi
ωϕ
ωϕ
( )
( ) 1)(,sin
2
cos)(
1)(,sin
2
cos)(
−=−=


−=
==


+=
tmtAtAt
tmtAtAt
ccPM
ccPM
ω
pi
ωϕ
ω
pi
ωϕ
Solução
 
 
 
 Para a modulação PM temos que:
 
 
 
( )
( ) 1)(,sin
2
cos)(
1)(,sin
2
cos)(
−=−=


−=
==


+=
tmtAtAt
tmtAtAt
ccPM
ccPM
ω
pi
ωϕ
ω
pi
ωϕ
 Esse tipo de modulação PM é conhecido por PSK 
(phase-shift keying) comutação por deslocamento de 
fase.
 
 
 
Exercícios:
 5.1-1;5.1-2;5.1-3
Lista de Exercícios (Entregar)
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33