Avaliando o aprendizado Fund. da Algebra

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1.
		O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
	
	
	
	
	 
	e = 3
	
	
	e = 6
	
	 
	e = 1
	
	
	e = -2
	
	
	e = 4
	
	
	
		2.
		Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência do elemento neutro.
	
	
	
	
	
	e = 3
	
	
	e = -2
	
	
	e = 0
	
	 
	e = 1
	
	 
	e = 2
	
	
	
		3.
		Seja operação binária *  definida por:  a * b =  resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 16 * 4  é:
	
	
	
	
	
	4
	
	
	13
	
	
	12
	
	 
	1
	
	 
	0
	
	
	
		4.
		Seja operação binária *  definida por:  a * b =  resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 15 * (-2) é:
	
	
	
	
	 
	1
	
	
	13
	
	
	12
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	
		5.
		Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência de  elementos simétrizáveis.
	
	
	
	
	
	x-1 = 2 - x  
	
	 
	x-1 = 1 - x
	
	 
	x-1 = 4 - x
	
	
	x-1 = x + 1 
	
	
	x-1 = 4 + x
	
	
	
		6.
		O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento simétrico.
	
	
	
	
	 
	x-1 = 6 - x
	
	
	x-1 = 6 + x
	
	 
	x-1 = 3 + x
	
	
	x-1 = 3 - x
	
	
	x-1 = 3
		1.
		Marque a alternativa que indica a soma de 259 + 371 em Z11.
	
	
	
	
	 
	3
	
	 
	22
	
	
	35
	
	
	14
	
	
	630
	
	
	
		2.
		Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8.
	
	
	
	
	
	- 5/3
	
	
	2
	
	 
	4
	
	
	3
	
	 
	1
	
	
	
		3.
		Considere o conjunto (Z8, +).  Marque a alternativa que indica a solução da equação  x + 5 = 3.
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	3
	
	
	0
	
	
	-2
	
	 
	6
	
	
	
		4.
		Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
 
 
	
	
	
	
	 
	b
	
	 
	d
	
	
	a
	
	
	c
	
	
	e
	
	
	
		5.
		Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
	
	
	
	
	
	2, 3 e 5
	
	 
	1, 2 e 5
	
	 
	2, 3, 4 e 5
	
	
	1, 3 e 4
	
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	
	
		6.
		Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas.
(I) 1 é o elemento neutro
(II) seja comutativa
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis
(IV) todos os elementos de G são regulares
(V) 2*3 = 1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
		1.
		A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G.
	
	
	
	
	
	A e D
	
	 
	A e F
	
	
	B, D e E
	
	
	C e F
	
	
	B e C
	
	
	
		2.
		A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine a ordem do elemento d.
	
	
	
	
	 
	o(d) = 1
 
	
	
	o(d) = 5
	
	 
	o(d) = 3 
 
	
	
	o(d) = 2
 
	
	
	o(d) = 4
 
	
	
	
		3.
		Considere o grupo (Z,+)  e  a = 4. Determine a2.
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	8
	
	
	1
	
	
	16
	
	
	4
	
	
	
		4.
		Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2.
	
	
	
	
	
	[2] = {2,4,6,0}
	
	 
	[2] = {2,4,6,8}
	
	 
	[2] = {2,4,6,8,0}
	
	
	[2] = {4,6,8,0}
	
	
	[2] = {2,4,8,0}
	
	
	
		5.
		Determine 2-4  em (Z, +).
	
	
	
	
	
	-4
	
	
	4
	
	 
	-8
	
	
	8
	
	
	2
	
	
	
		6.
		A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
	
	
	
	
	
	x = a
	
	 
	x = d
	
	 
	x = c
	
		1.
		
	
	
	
	
	
	H
	
	
	1 + H
	
	 
	2 + H
	
	
	H + H
	
	 
	3 + H
	
	
	
		2.
		Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3}  subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais.
	
	
	
	
	 
	3
	
	
	6
	
	 
	1
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	
		3.
		
	
	
	
	
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	
	
	
		4.
		Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
	
	
	
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	
	
	{i, - i}
	
	 
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	
	 
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	
	
	
		5.
		Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
	
	
	
	
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	
	 
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
	
	 
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	
	
		6.
		Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	
	
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
		1.
		Marque a alternativa que indica corretamente a definição de homomorfismo de grupos.
	
	
	
	
	
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆)  . Dizemos que f é um homomorfismo degrupos, de (G1,*) em (G2,∆)   se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1.
	
	 
	Dizemos que f é um homomorfismo de grupos  se, e somente se, 
 f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1.
	
	 
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2.  Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se,
f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1.
	
	
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆),  e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se,
f(x*y) = f(x)*f(y), ∀ x,y ∈G1.
	
	
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆)  e uma aplicação f: G1 →G2.  Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1
	
	
	
		2.
		
	
	
	
	
	
	N(f) = {3}
	
	 
	N(f) = {0}
	
	
	N(f) = {2}
	
	 
	N(f) = {1}
	
	
	N(f) = {4}
	
	
	
		3.
		Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis.
	
	
	
	
	 
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições:
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:
f(x + y) = f(x) + f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:  f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	
		4.
		Consideremos o homomorfismo de grupos f: (ZxZ, +) → (ZxZ, +), 
f(x,y) = (x - y, 0). Determine o núcleo de f. 
	
	
	
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈ZxZ/x =- y}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈ZxZ/x =3y}
	
	 
	N(f) = {(x,y) ∈ZxZ/x =y}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈ZxZ/x = -2y}
	
	
	N(f) = {(x,y) ∈ZxZ/x =2y}
	
	
	
		5.
		
	
	
	
	
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 2 3 1
	
	 
	x é igual a  1 2 3 4
                  2 1 3 4
	
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 3 1 2
	
	
	x é igual a   1 2 3 4
                   1 4 3 2
	
	 
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 1 3 2
	
	
	
		6.
		Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
	
	
	
	
	
	N(f) = {3}
	
	
	N(f) = {2}
	
	 
	N(f) = {4}
	
	
	N(f) = {1}
	
	 
	N(f) = {0}
		1.
		
	
	
	
	
	
	e = 1
	
	
	e = -2
	
	
	e = -1
	
	
	e = 2
	
	 
	e = 0
	
	
	
		2.
		Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas.
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos.
(II) (Zn , +),  n∈N⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos.
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈N.
 
	
	
	
	
	 
	As afirmativas II e III estão corretas
	
	
	As afirmativas I e III estão corretas
	
	 
	Apenas a afirmativa II está correta
	
	
	As afirmativas I, II e III estão corretas
	
	
	As afirmativas I e II estão corretas
	
	
	
		3.
		Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta.
 
(I)  (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z.
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III)  Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK  o conjunto de todas as funções de K em A.
 
	
	
	
	
	 
	III , apenas
	
	
	II , apenas
	
	
	I , apenas
	
	
	I e II , apenas
	
	 
	I e III , apenas
	
	
	
		4.
		Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução :
	
	
	
	
	
	x = 3
	
	
	x = 8
	
	
	x = 5
	
	 
	x = 10
	
	 
	x = 1
	
	
	
		5.
		Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas por:
 
a * b = a + b - 1
 
a Δb = a + b - ab
 
	
	
	
	
	
	e = 5
	
	
	e = 3
	
	 
	e = 1
	
	
	e = 2
	
	
	e = 4
	
	
	
		6.
		Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 .
	
	
	
	
	
	X= 2 e y=3
	
	 
	X= 3 e y=3
	
	
	X= 2 e y=4
	
	
	X= 5 e y=6
	
	
	X= 2 e y=2
		1.
		Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade.
	
	
	
	
	
	Z
	
	 
	Q
	
	
	Z+
	
	
	O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2
	
	 
	2Z
	
	
	
		2.
		A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x∈A  então  - (-x) = x
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		3.
		A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z∈A  então  (x - y)z = xz - yz.
 
	
	
	
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
         Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	 
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	 
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos:  xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	
		4.
		A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z∈A  então  (x - y)z = xz - yz.
 
	
	
	
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	 
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
         Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos:xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	 
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	
		5.
		A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição   sobre o assunto estudado:
          Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z,  m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
	
	
	
	
	 
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n  temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
	
	
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	 
	Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a  a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
	
	
	
		6.
		A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x∈A  então  - (-x) = x
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
		1.
		Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade:
	
	
	
	
	
	M2 (iR) (conjunto das matrizes de ordem 2)
	
	 
	Z3
	
	
	Z x Z
	
	 
	Q
	
	
	Z14
	
	
	
		2.
		Considere as seguintes afirmações:
(I)                2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II)             O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III)          Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV)          O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
	
	
	
	
	 
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	
	 
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	
	
		3.
		O anel Z6  admite quantos divisores de zero?
	
	
	
	
	 
	3
	
	 
	2
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	
		4.
		
	
	
	
	
	 
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	
	 
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	
	
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	
	
		5.
		Considere as seguintes afirmações:
(I)                2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II)             O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III)          Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV)          O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
	
	
	
	
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	
	 
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	 
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	
	
	
		6.
		Determine todos os divisores de zero do anel Z15.
	
	
	
	
	 
	3, 5, 9, 10 e 12
	
	
	3, 5, 9 e 10
	
	 
	2, 5, 9, 10 e 12
	
	
	3, 5 e 9
	
	
	1, 3, 9, 10 e 12
		1.
		No anel Z6  determine Idemp (Z6 ).
	
	
	
	
	
	Idemp (Z6 ) = {2,3,4}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2}
	
	 
	Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2,3}
	
	
	
		2.
		Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	
	 
	U(Z4) = {1,3}
	
	 
	 U(Z4) = {0,1,3}
	
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	
	
		3.
		Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) .
	
	
	
	
	 
	U(Z4) = {1,3}
	
	
	U(Z4) = {1,2,3}
	
	
	U(Z4) = {0,1,2}
	
	
	U(Z4) = {2,3}
	
	
	 U(Z4) = {0,1,3}
	
	
	
		4.
		Marque a única afirmação correta.
	
	
	
	
	
	Todo subanel é um corpo
	
	 
	Todo anel de integridade finito e um corpo
	
	
	Todo anel de integridade é um corpo
	
	 
	o anel Zn é um corpo para todo n
	
	
	Todo anel comutativo é um corpo
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		No anel Z6  determine Idemp (Z6 ).
	
	
	
	
	
	Idemp (Z6 ) = {2,3,4}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1}
	
	 
	Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2,3}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2}
	
	
	
		6.
		Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade.
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
	
	
	
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto,   x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	 
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e  y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
		1.
		Indique o  ideal  principal em Z6  gerados por [2].
 
	
	
	
	
	 
	{0,2,4}
	
	 
	{0, 4}
	
	
	{0,2}
	
	
	{0}
	
	
	{2,4}
	
	
	
		2.
		Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z.
	
	
	
	
	
	6Z
	
	
	2Z
	
	 
	3Z
	
	
	5Z
	
	 
	Z
	
	
	
		3.
		Marque a alternativa correta.
	
	
	
	
	
	Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0}  e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .).
	
	 
	2Z é um ideal no anel Z.
	
	 
	Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel Q.
	
	
	O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2.
	
	
	Seja I é um ideal do anel A com unidade. SeI contém um elemento inversível
de A, então I ≠ A.
	
	
	
		4.
		Diga , em qual das opções , temos que (I, +,.) é um ideal de anel (A,+, .) :
	
	
	
	
	
	I={f: IR -> IR/ f(1)+f(2)=0} , A= IRIR   
 
	
	
	I=elementos de z não divisores de 100 , A=Z
	
	 
	I=3Z , A=z
	
	 
	I=3Z U 7Z , A=Z
	
	
	I=Z , A=Q
	
	
	
		5.
		Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis.
	
	
	
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	 
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	 
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.
	
	
	
		6.
		Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis.
	
	
	
	
	
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.  
	
	 
	Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel  (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades.