Aula sobre planos

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e s t u d o d o s p l a n o s
g e o m e t r i a e p e r s p e c t i v a
1
ESTUDO DO PLANO 
Tal como vimos no estudos das 
retas, um plano pode ocupar várias 
posições em relação aos planos de 
projeção, sendo expresso, em 
consequência, por nomes 
diferentes.
2
Planos Projetantes são planos perpendiculares a pelo menos
um dos Planos de Projeção. A projeção de faces contidas em
Planos Projetantes é reduzida a um segmento de reta no 
Plano de Projeção ao qual é perpendicular. Se for paralela ao
outro Plano de Projeção, será projetada em V.G. no plano ao
qual é paralela
ESTUDO DO PLANO 
3
ESTUDO DO PLANO 
Traço de um plano é a intersecção
deste plano com um outro.
Entretanto, empregaremos aqui o
termo “TRAÇO DE UM PLANO” para
exprimir a intersecção de um plano
com os planos de projeção.
• traço horizontal do plano: reta 
ap (intersecção do plano a com o 
plano de projeção horizontal p).
• traço vertical do plano: reta ap’
(intersecção do plano a com o 
plano de projeção vertical p’).
4
ESTUDO DO PLANO 
Em geral um plano possui os 
dois traços, podendo 
ENTRETANTO pode possuir 
somente um quando um 
plano for paralelo à um dos 
planos de projeção, neste 
caso NAO TERÁ TRAÇO 
NESTE PLANO.
5
ESTUDO DO PLANO 
1+
2-
T=T’
Quando dois traços são distintos e não 
paralelos à LT, eles concorrem num 
mesmo ponto da LT. 
Em épura, para a determinação do 
plano são dados a abscissa do ponto 
T=T’ de concorrência dos traços sobre 
a LT e os ângulos (1) e (2). Estes 
ângulos são orientados no sentido 
trigonométrico e têm a LT como 
origem. 
Assim, no exemplo ao lado, o ângulo 
de ap’ com a LT é contado no sentido 
da seta “1” e é positivo, enquanto o 
ângulo de ap com a LT é negativo e 
contado no sentido da seta 2. 
6
ESTUDO DO PLANO 
PLANO FRONTAL O plano Frontal é Perpendicular 
em relação ao PH (portanto, 
Projetante em relação ao PH) e 
paralelo ao PV. 
A sua projeção: 
• Será , uma reta no PH e, 
• Estará em V.G. no PV. 
• Como o plano a é 
PROJETANTE, toda e qualquer
figura que estiver contida
nele, terá a projeção no PH 
coincidente com a1, que é 
uma reta. 
PV
PH
A1=D1
B1=C1
a1
A2 B2
C2D2
A1=D1 a1 B1=C1
A
B
C
D
A2
B2
D2
C2
a
No espaço Na épura
7
ESTUDO DO PLANO 
PLANO HORIZONTAL 
O plano HORIZONTAL é 
perpendicular em relação ao PV 
(portanto, é Projetante em relação
ao PV) e paralelo ao PH. 
• A sua projecção:
• Será uma reta no PV. 
• Estará em V.G. no PH. 
• Como o plano a é 
PROJETANTE, toda e qualquer
figura que estiver contida
nele,terá a projecção no PV 
coincidente com (a2), que é 
uma reta.
A1 B1
C1D1
A2=D2 a2 B2=C2
No espaço Na épura
a2
PV
PH
A2=D2
B2=C2
A1
B1
D1
C1
a
A
B
C
D
8
ESTUDO DO PLANO 
PLANO DE PERFIL 
O plano de PERFIL é Perpendicular em
relação ao PV e ao PH portanto, é 
Projetante em relação tanto ao PV 
quanto ao PH e dizemos que ele é 
DUPLAMENTE PROJETANTE. 
• A sua projecção: 
• Será uma reta no PV. 
• Será uma reta no PH. 
• Como o plano alfa é 
duplamente PROJETANTE, toda e 
qualquer figura que estiver
contida nele, terá a projeção no 
PV e no PH coincidente com (a), 
que é uma reta. 
No espaço Na épura
A2=B2
C2=D2
a2
PV
PH
A1=D1
B1=C1
A
B
C
D
A2=B2
C2=D2
a1
a
B1=C1
A1=D1
a1
a2
9
ESTUDO DO PLANO 
PLANO VERTICAL 
O plano VERTICAL é Perpendicular em
relação ao PH (portanto, é Projetante
em relação ao PH) e oblíquo ao PV. 
A sua projecção: 
• Será , uma reta no PH e, 
• Como o plano a é PROJETANTE 
em relação ao PH, toda e 
qualquer figura que estiver
contida nele, terá a projecção no 
PH coincidente com (a1), que é 
uma reta. 
No espaço
Na épura
PV
PH
A1=D1 B1=C1
A B
CD
B1=C1
A1=D1
a1
a
a1
C2D2
A2 B2
B2
A2
D2
C2
10
ESTUDO DO PLANO 
PLANO DE TOPO
O plano de TOPO é Perpendicular 
em relação ao PV (portanto, é 
Projetante em relação ao PV) e 
oblíquo ao PH. 
A sua projecção: 
• Será , uma reta no PV e, 
• Como o plano a é 
PROJETANTE em relação ao
PV, toda e qualquer figura
que estiver contida nele, terá
a projecção no PV 
coincidente com (a2), que é 
uma reta. 
No espaço Na épura
a2
C2=B2
A2=B2
PV
PH
A2=D2
a2
B1
A1
D1
C1
C2=B2
C1
B1 A1
D1
a
A
B
D
C
11
ESTUDO DO PLANO 
PLANO DE RAMPA
O plano de RAMPA é Perpendicular 
em relação ao Plano Auxiliar (3º 
plano) portanto, é Projetante em
relação ao Plano auxiliar e oblíquo
em relação ao PV e ao PH. 
A sua projeção:
• Será um plano no PV, 
• Será um plano no PH. 
• Como o plano a é PROJETANTE 
em relação ao Plano Auxiliar, 
toda e qualquer figura que
estiver contida nele, terá a 
projecção no Plano Auxiliar
coincidente com a 3º projecção, 
que é uma reta. 
No espaço Na épuraPV
PH
B1
D1
C1
C1
a
a1
a2
A1
D1 D1
B1
C2
B2A2
D2B2
A2
D2
C2
B
A
D
C
12
ESTUDO DO PLANO 
PLANO QUALQUER
O plano QUALQUER não é 
Projetante em relação a nenhum
dos planos de projecção, portanto
será necessário a utilização de 
métodos descritivos para a 
determinação da V.G. de qualquer
figura pertencente a ele.
No espaço
PV
PH
A1
B1
C1
B2
A2
C2
B
C
A
a
a1
a2
B2A2
C2
A1
B1C1
Na épura
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POSIÇÕES DO PLANO 
1+
2-
T=T’
1. PLANO QUALQUER
É o plano oblíquo aos dois planos de projeção. Possui dois traços distintos, 
concorrendo sobre a linha de terra em um mesmo ponto. Sua épura geralmente 
se apresenta como se vê na figura abaixo. 
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Entretanto, pela maneira do plano se situar no espaço, a épura pode aparecer em 
qualquer das posições indicadas na figura abaixo - o que importa no caso de planos 
quaisquer é o fatos destes possuírem OS DOIS TRAÇOS OBLÍQUOS À LINHA DE 
TERRA, NÃO IMPORTANDO COMO FIQUEM. 
POSIÇÕES DO PLANO 
1. PLANO QUALQUER
15
ESTUDO DO PLANO 
É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO HORIZONTAL. A épura é 
caracterizada por possuir apenas um traço, O VERTICAL, PARALELO À LINHA DE 
TERRA.
2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO HORIZONTAL
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2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO FRONTAL 
ESTUDO DO PLANO 
É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO VERTICAL. A épura é caracterizada 
por possuir apenas um traço, O HORIZONTAL, PARALELO À LINHA DE TERRA.
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ESTUDO DO PLANO 
É o plano PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL DE PROJEÇÃO E OBLÍQUO 
AO PLANO VERTICAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO VERTICAL 
PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o HORIZONTAL OBLÍQUO À LINHA DE 
TERRA. 
3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO VERTICAL
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ESTUDO DO PLANO 
É o plano PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL DE PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO 
PLANO HORIZONTAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO HORIZONTAL 
PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o VERTICAL OBLÍQUO À LINHA DE TERRA. 
3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE TOPO
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ESTUDO DO PLANO 
É o plano PERPENDICULAR AOS DOIS PLANOS DE 
PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO PLANO HORIZONTAL. Sua épura 
é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS EM 
COINCIDÊNCIA, PERPENDICULARES À LINHA DE TERRA. 
3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE PERFIL 
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ESTUDO DO PLANO 
4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA 
NAO HÁ PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA - SOMENTE 
PARALELO À INTERSECÇÃO DELES. Este plano é um plano 
oblíquo aos dois planos de projeção, numa posição particular. 
Sua épura é caracterizadapor possuir AMBOS OS TRAÇOS 
PARALELOS À LINHA DE TERRA. 
21
ESTUDO DO PLANO 
4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA 
No caso desta figura, observa-se que o plano está no 1o. 
diedro, atravessando o 2o e 4o. diedros. Desta forma sua 
épura é caracterizada por conter o traço vertical acima da LT e 
o horizontal abaixo da LT. 
Mas o plano pode estar em outra posição.... 
22
ESTUDO DO PLANO 
.... atravessando 
os 1o., 2o. e 3o. 
diedros. Neste 
caso a épura terá 
os dois traços 
acima da LT. 
23
ESTUDO DO PLANO 
4. PLANO PASSANDO PELA LINHA DE TERRA 
Neste caso, os traços do plano 
COINCIDEM coma a LINHA DE TERRA. 
Este também é o caso do PLANO 
BISSETOR. 
Não sendo conhecida a 
inclinação do plano, este só 
ficará determinado se 
conhecermos outros 
elementos, como um ponto ou 
uma reta deste plano. 
VEREMOS ISTO ADIANTE 
24
RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
REGRA: “Uma reta pertence ao plano 
quando possui os seus traços sobre os 
traços correspondentes do plano”. 
EXCEÇÃO: um plano que passe pela LT. 
Um plano pode ou não 
conter determinadas retas. 
Ao lado, o plano horizontal 
(a) de traço ap’ pode não 
conter a reta vertical (r) 
pois só há um único ponto 
comum à reta e ao plano -
que é o ponto (A) onde a 
reta fura o plano. 
Entretanto, este mesmo 
plano de traço ap’ pode 
conter a reta de topo (s), a 
qual tem seu traço (V) 
sobre o traço vertical do 
plano. 
(A)
(r)
(s)(V)=V’
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Um plano qualquer sendo oblíquo aos dois planos de projeção, poderá conter as retas 
que também sejam oblíquas a eles ou, pelo menos, a um deles. Assim, este plano 
qualquer poderá conter as seguintes retas:
• RETA QUALQUER
• RETA HORIZONTAL
• RETA FRONTAL
• RETA DE PERFIL
A) RETAS DE PLANO QUALQUER 
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ESTUDO DO PLANO 
H=(H)
H=(H)
a) Reta Qualquer
(r) pertence ao plano de traços 
ap e ap’pois os seus traços (V) e 
(H) estão sobre os traços correspondentes 
àqueles do plano.
(r) NÃO PERTENCE ao plano de traços ap
eap’ pois o seu traço (H) NÃO ESTÁ sobre 
o traço horizontal ap do plano. 
27
ESTUDO DO PLANO 
V
V’=(V)
b) Reta Horizontal: uma reta horizontal não tem traço horizontal. Um ponto comum à 
projeção horizontal da reta e ao traço horizontal do plano será UM PONTO IMPRÓPRIO, 
isto é, estará no infinito. Conclui-se que a projeção horizontal da reta deverá ser paralela 
ao traço de mesmo nome do plano. O traço vertical da reta, por sua vez, deverá estar 
sobre o traço vertical do plano. 
28
ESTUDO DO PLANO 
H’
H
c) Reta Frontal: uma reta frontal não tem traço vertical. Um ponto comum à projeção 
vertical da reta e ao traço vertical do plano será UM PONTO IMPRÓPRIO, isto é, a projeção 
vertical da reta será paralela ao traço vertical do plano. O traço horizontal da reta, por sua 
vez, deverá estar sobre o traço horizontal do plano. 
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ESTUDO DO PLANO 
H=(H)
B
A
A’
B’
V’=(V)
(A1)
(B1)
(H1)
d) Reta de Perfil: tratando-se de 
uma reta de perfil, a épura não 
indica uma simples vista, nem 
mesmo se ela pertence ou não a 
um plano qualquer. Neste caso, 
opera-se o rebatimento do plano 
de perfil que contém a reta e 
determina-se seus traços, os 
quais, se estiverem sobre os 
planos de mesmo nome, 
indicarão que a reta pertence ao 
plano - caso da figura ao lado. 
30
RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Como o plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção, 
este só poderá conter as retas que também sejam paralelas ao plano 
(p), as quais são:
• RETA HORIZONTAL
• RETA FRONTOHORIZONTAL
• RETA DE TOPO
B) RETAS DE PLANO HORIZONTAL
31
ESTUDO DO PLANO 
V
V’=(V)ap’
k) Reta Horizontal: neste caso a épura se caracteriza pela coincidência da projeção vertical 
da reta com o traço ap’ do plano. O traço vertical da reta - ÚNICO QUE POSSUI - está sobre 
o traço ap’ do plano. 
RETAS DE PLANO HORIZONTAL
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ESTUDO DO PLANO 
ap’
l) Reta Frontohorizontal: não possuindo traços, a reta frontohorizontal de um plano 
horizontal é caracterizada pela épura abaixo, onde a sua projeção vertical r’ coincide com 
o traço de mesmo nome no plano ap’.
RETAS DE PLANO HORIZONTAL
33
ESTUDO DO PLANO 
V
r’=V’=(V)ap’
m) Reta de Topo: sendo a reta de topo caracterizada por possuir a projeção vertical 
reduzida a um ponto e a projeção horizontal perpendicular à LT, sua épura exibe a projeção 
vertical pontual r’ sobre ap’, coincidente com seu traço vertical. 
RETAS DE PLANO HORIZONTAL
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Como o plano frontal é paralelo ao plano vertical de projeção (p’), 
este só poderá conter as retas que forem paralelas ao mesmo plano 
(p’), que são:
• RETA FRONTAL
• RETA FRONTOHORIZONTAL
• RETA VERTICAL
C) RETAS DO PLANO FRONTAL 
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ESTUDO DO PLANO 
H’
ap
r’
H=(H)
n) Reta Frontal: a projeção horizontal da reta (r) coincide com o único traço do plano, que é 
o traço horizontal ap, Neste traço também está contido o único traço da reta, que é o 
horizontal (H).
RETAS DO PLANO FRONTAL 
36
ESTUDO DO PLANO 
ap
r’
o) Reta Frontohorizontal: caso simples! - a reta frontohorizontal (r) pertencerá ao 
plano de traço ap. 
RETAS DO PLANO FRONTAL 
37
ESTUDO DO PLANO 
ap
r’
p) Reta Vertical: caso simples! - a reta vertical (r) pertencerá a um plano frontal de traço 
ap. 
RETAS DO PLANO FRONTAL 
38
RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Sendo o plano paralelo à LT e oblíquo aos dois planos de projeção, 
só poderá conter retas paralelas à LT e oblíquas àqueles planos, que 
são:
• RETA QUALQUER
• RETA FRONTOHORIZONTAL
• RETA DE PERFIL
D) RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA
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ESTUDO DO PLANO 
ap
ap’
r’
r
RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA
a) Reta Qualquer: se os traços da reta estiverem sobre os traços de mesmo nome do plano, a 
reta pertencerá ao plano. Abaixo temos uma reta (r) qualquer pertencendo a um plano de 
traços ap e ap’ paralelos à LT. 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Sendo o plano vertical perpendicular ao plano horizontal de projeção 
e oblíquo ao plano vertical, só poderá conter retas que sejam 
perpendiculares ao plano (p) e oblíquas ao plano (p’), que são:
• RETA QUALQUER
• RETA HORIZONTAL
• RETA VERTICAL
E) RETAS DE UM PLANO VERTICAL
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ESTUDO DO PLANO 
ap
a
p
’
V’=(V)
B’
A’
H’V
B
A
H=(H)
RETAS DE UM PLANO VERTICAL
a) Reta Qualquer: a reta qualquer (A)(B) da figura abaixo pertence ao plano vertical de 
traços ap e ap’ pois obedece à regra geral de (i) possuir traços sobre os traços 
correspondentes do plano e, (ii) sua projeção horizontal coincide com o traço de mesmo 
nome do plano.
42
ESTUDO DO PLANO 
ap
ap’
V’=(V)
B’A’
V
B
A
RETAS DE UM PLANO VERTICAL
b) Reta Horizontal: a reta horizontal (A)(B) da figura abaixo pertence ao plano vertical pois 
seu único traço (traço vertical) está sobre o traço vertical do plano (ap’) e sua projeção 
horizontal coincide com o traço ap do plano. 
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ESTUDO DO PLANO 
ap
ap’
V’=(V)
r’
V
A
r=(H)=H
RETAS DE UM PLANO VERTICAL
c) Reta Vertical: a reta vertical (r) da figura abaixo pertence ao plano vertical pois seu traço 
horizontal (que coincide com a projeção pontual) está sobre o traço horizontal ap do plano 
e a sua projeção vertical é paralela ao traço vertical do plano. 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIADE RETA E PLANO 
Sendo o plano de topo perpendicular ao vertical de projeção (p’) e 
oblíquo ao horizontal (p), só poderá conter retas que sejam oblíquas 
ao plano (p) e perpendiculares ao plano (p’), que são:
• RETA QUALQUER
• RETA FRONTAL
• RETA DE TOPO
F) RETAS DE UM PLANO DE TOPO 
45
ESTUDO DO PLANO 
ap
r’
r
RETAS DE UM PLANO DE TOPO
a) Reta Qualquer: a reta qualquer (r) da figura abaixo pertence ao plano (a) de topo por 
possuir seus traços sobre os traços correspondentes do plano. A sua projeção vertical r’ 
coincide também com o traço ap’ do plano. 
46
ESTUDO DO PLANO 
b) Reta Frontal: Fácil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois sua projeção 
vertical s’ está sobre o traço vertical ap’ do plano e sua projeção horizontal s pertence ao 
traço horizontal ap do plano. 
RETAS DE UM PLANO DE TOPO
ap
s’
s
47
ESTUDO DO PLANO 
ap
s
c) Reta de Topo: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois sua projeção 
pontual s’ está sobre o traço vertical ap’ do plano e sua projeção horizontal s é paralela ao 
traço horizontal ap do plano. 
RETAS DE UM PLANO DE TOPO
48
ESTUDO DO PLANO 
Pertinência de ponto e plano: “um ponto pertence ao plano quando pertence à 
uma reta do plano”.
Dados o plano qualquer de traços ap e 
ap’ e o ponto (A), deteminar se o ponto 
pertence à reta (r). 
Para a verificação, procede-se da 
seguinte forma: pela projeção vertical A’ 
faz-se passar uma reta. 
Verifica-se que a projeção horizontal A 
do ponto não está sobre a projeção de 
mesmo nome da reta. Então, o ponto 
(A) não pertence à reta (r). A reta (r) 
pertence ao plano, MAS o ponto (A) não 
pertence à reta (r), e portanto não 
pertencerá ao plano. 
T=T’ V
V’=(V)
r
r’A’
A
49
ESTUDO DO PLANO 
(A)
A
A’’’
A’’
A’
A
*Se o plano for perpendicular ao plano horizontal (p), para que um ponto a ele pertença, é 
suficiente que possua sua projeção horizontal sobre o traço horizontal do plano.
* Seja o ponto (A) pertencendo a um plano (a) frontal e a projeção horizontal do ponto 
sobre o traço do plano ap do plano. Na épura, estando a projeção A sobre ap, não 
importa onde esteja a projeção vertical (em A’, A’’, A’’’) - o ponto (A) pertence ao plano.
50
ESTUDO DO PLANO 
(B)
B’
B
B2
B1
B’
Se o plano for perpendicular ao plano vertical (p’), para que um ponto a ele pertença, é 
suficiente que possua sua projeção vertical sobre o traço vertical do plano.
Seja o ponto (B) pertencendo a um plano (a) de topo e sua projeção vertical B’ sobre o 
traçoap’ do plano. Na épura, estando a projeção B’ sobre ap’, não importa onde esteja a 
projeção horizontal (em B, B1, B2) - o ponto (B) pertence ao plano.
51