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Func¸o˜es
Sequeˆncias e
Somato´rios
Conjuntos
Produto Cartesiano
• Qual o produto cartesiano A× B × C , onde A = {a, b},
B = {0, 1, 2} e C = {x}?
• A×B×C =
{(a, 0, x), (a, 1, x), (a, 2, x), (b, 0, x), (b, 1, x), (b, 2, x)}
Estruturas
Ba´sicas:
Conjuntos,
Func¸o˜es,
Sequeˆncias e
Somato´rios
Conjuntos
Operadores de
Conjuntos
Func¸o˜es
Sequeˆncias e
Somato´rios
Conjuntos
Quantificadores, dom´ınios e conjuntos
• Podemos definir e restringir o dom´ınio de um quantificador
utilizando conjuntos.
• Exemplo. ∀x ∈ R(x2 ≥ 0)
• Exemplo. ∃x ∈ Z(x2 = 0)
Estruturas
Ba´sicas:
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Conjuntos
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Conjuntos
Func¸o˜es
Sequeˆncias e
Somato´rios
Conjuntos
Conjunto Verdade
• Seja P(x) um predicado no dom´ınio D.
• O conjunto verdade relaciona predicados com conjuntos.
• E´ o conjunto com todos os elementos x tal que P(x) e´
verdade.
• Definic¸a˜o: {x ∈ D | P(x)}
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Conjuntos
Conjunto Verdade
• Seja P(x) = (x > 0) ∧ (x < 2) no dom´ınio dos naturais N.
• O conjunto verdade de P e´ {x ∈ N | (x > 0) ∧ (x < 2)}.
• Ou seja, o conjunto verdade de P e´ {1}.
.
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Func¸o˜es,
Sequeˆncias e
Somato´rios
Conjuntos
Operadores de
Conjuntos
Func¸o˜es
Sequeˆncias e
Somato´rios
1 Conjuntos
2 Operadores de Conjuntos
3 Func¸o˜es
4 Sequeˆncias e Somato´rios
Estruturas
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Conjuntos
Func¸o˜es
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Operadores de Conjuntos
Unia˜o
• A unia˜o de 2 conjuntos A e B e´ o conjunto que conte´m
elementos que pertenc¸am a` A ou B (ou ambos).
• A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Exemplo. {1, 2, 3} ∪ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
• Exemplo. {1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}
U
A B
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Func¸o˜es
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Unia˜o
• Propriedade da unia˜o
(x ∈ A ∨ x ∈ B) ≡ (x ∈ (A ∪ B))
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Conjuntos
Func¸o˜es
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Unia˜o
Provar que (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ≡ x ∈ (A ∪ B).
(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
≡ x ∈ {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} [Prop. 2]
≡ x ∈ A ∪ B [Def. ∪]
Quem faz o papel de a e P(a)?
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Intersec¸a˜o
• A intersec¸a˜o de 2 conjuntos A e B e´ o conjunto que
conte´m elementos que pertenc¸am tanto a` A quanto a` B.
• A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
• Exemplo. {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4, 5} = {2, 3}
• Exemplo. {1, 2, 3} ∩ {1, 4, 5, 6} = {1}
U
A B
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Intersec¸a˜o
Propriedade da intersec¸a˜o
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ≡ (x ∈ (A ∩ B))
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Intersec¸a˜o
Exerc´ıcio.
• Prove que (x ∈ A ∧ x ∈ B) ≡ (x ∈ (A ∩ B))
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Conjuntos Disjuntos
• 2 conjuntos sa˜o disjuntos se a intersec¸a˜o entre eles e´ vazia.
• Exemplo. {1, 2, 3, 4} e {5, 6, 7, 8, 9, 10} sa˜o disjuntos.
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Cardinalidade da Unia˜o
Exemplos.
• Qual a cardinalidade de A ∪ B?
• Podemos dizer que |A ∪ B| = |A|+ |B|?
• Exemplo. {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}. Ou seja,
|{1, 2} ∪ {2, 3}| 6= |{1, 2}|+ |{2, 3}|
• Os elementos da intersec¸a˜o A ∩ B foram contados 2 vezes!
• |A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|
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Cardinalidade da Unia˜o
Exemplos.
• Qual a cardinalidade de A ∪ B?
• Podemos dizer que |A ∪ B| = |A|+ |B|?
• Exemplo. {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}. Ou seja,
|{1, 2} ∪ {2, 3}| 6= |{1, 2}|+ |{2, 3}|
• Os elementos da intersec¸a˜o A ∩ B foram contados 2 vezes!
• |A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|
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Diferenc¸a
• A diferenc¸a de A e B (ou o complemento de A em relac¸a˜o
a` B) e´ o conjunto que conte´m elementos de A que na˜o
esta˜o em B.
• A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}
• Exemplo. {1, 2, 3, 4} − {2, 3} = {1, 4}
U
A B
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Diferenc¸a
Propriedade
(x ∈ A ∧ x /∈ B) ≡ (x ∈ (A− B))
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Complemento
• O complemento de A, denotado por A, e´ o conjunto
U − A.
• A = {x | x /∈ A}
• Exemplo. Seja A = {x ∈ N | x < 10} = {0, 1, 2, . . . , 9}.
A = {x ∈ N | x ≥ 10} = {10, 11, 12, . . .}
U
A
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Complemento
Propriedade
(x /∈ A) ≡ (x ∈ A)
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Identidades
A ∪ ∅ = A Identidade
A ∩ U = A
A ∪ U = U Dominac¸a˜o
A ∩ ∅ = ∅
A ∪ A = A Idempoteˆncia
A ∩ A = A
(A) = A Complementac¸a˜o
A ∪ B = B ∪ A Comutatividade
A ∩ B = B ∩ A
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Identidades
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C Associatividade
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Distributividade
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∪ B = A ∩ B De Morgan
A ∩ B = A ∪ B
A ∪ (A ∩ B) = A Absorc¸a˜o
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ A = U Complemento
A ∩ A = ∅
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Conjuntos
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Conjuntos
Func¸o˜es
Sequeˆncias e
Somato´rios
Operadores de Conjuntos
Identidades
Prove que A ∪ B = A ∩ B.
Estruturas
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Sequeˆncias e
Somato´rios
Conjuntos
Operadores de
Conjuntos
Func¸o˜es
Sequeˆncias e
Somato´rios
Operadores de Conjuntos
Identidades
Prove que A ∪ B = A ∩ B.
A ∪ B
= {x | x /∈ (A ∪ B)} [Def. Complemento]
= {x | ¬(x ∈ (A ∪ B))} [Def. /∈]
= {x | ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B)} [Prop. ∪]
= {x | ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)} [De Morgan (lo´gica)]
= {x | x /∈ A ∧ x /∈ B} [Def. /∈]
= {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} [Prop. Complemento]
= {x | x ∈ A ∩ B} [Prop.