nodal modificado

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NR-10 
Aula 
03/04/2012 
Prof.: Ivo Chaves da Silva Junior 
CEL033 
Circuitos Lineares I 
ivo.junior@ufjf.edu.br 
 NR-10 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes 
vinculadas (geradores dependentes) 
 
Fontes Vinculadas: 
Análise Nodal 
Fontes de Corrente 
Fontes de Tensão 
Controladas 
Corrente ou 
Tensão 
 NR-10 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores 
dependentes) 
Circuitos contendo Fontes Vinculadas 
Análise Nodal Modificada 
Na análise nodal modificada algumas correntes , denominadas de essenciais, 
devem fazer parte da análise. São estas: 
Análise Nodal 
 NR-10 
 Correntes que passam através de FONTES VINCULADAS DE TENSÃO; 
 Correntes que controlam FONTES VINCULADAS (Tensão ou Corrente). 
Correntes Essenciais: 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores 
dependentes) 
Análise Nodal 
 NR-10 
A 
B 
C 
Caso 3 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de 
tensão controladas por tensão - FTCT 
Análise Nodal 
Corrente Essencial: 
3i
 tensãode ganho
 NR-10 
Caso 3 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas 
por tensão -FTCT 
EQUAÇÃO NÓ A 
EQUAÇÃO NÓ B 
EQUAÇÃO NÓ C 
IvvGvvG CABA  )()( 51
0)( 321  ivGvvG BAB
0)( 354  ivvGvG ACC
Variáveis: 
3ivvv CBA
Equações: 3
Sistema Indeterminado 
( Precisa-se de uma equação adicional) 
)( BACB vvvv  
EQUAÇÃO ADICIONAL 
Análise Nodal 
 NR-10 
EQUAÇÃO NÓ A 
EQUAÇÃO NÓ B 
EQUAÇÃO NÓ C 
IvvGvvG CABA  )()( 51
0)( 321  ivGvvG BAB
0)( 354  ivvGvG ACC
0)(  BACB vvvv 
EQUAÇÃO ADICIONAL 
Caso 3 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas 
por tensão -FTCT 
Análise Nodal 
Variáveis: 
Equações: 4
3ivvv CBA
Sistema Possível e Determinado 
 NR-10 









































0
0
0
011
10
10
0
3
545
211
5151 I
i
v
v
v
GGG
GGG
GGGG
C
B
A

Caso 3 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas 
por tensão -FTCT 
Forma matricial do sistemas de equações lineares 
Análise Nodal 
 NR-10 
 
1º) Determine, na forma matricial, o sistema de equações do circuito 
abaixo. 
Análise Nodal 
EXERCÍCIO 
 NR-10 
Caso 4 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de 
tensão controladas por corrente - FTCC 
Análise Nodal 
Corrente Essencial: 
31 iei
tênciatransresisr
 NR-10 
Caso 4 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas 
por corrente -FTCC 
EQUAÇÃO NÓ 1 
EQUAÇÃO NÓ 2 
EQUAÇÃO NÓ 3 
IvvGi  )( 3151
01322  iivG
0)( 313534  ivvGvG
Variáveis: 
31 iivvv CBA
Equações: 3
Sistema Indeterminado 
( Precisa-se de duas equações adicionais) 
132 rivv 
EQUAÇÕES ADICIONAIS 
1121 iRvv 
Análise Nodal 
 NR-10 
EQUAÇÃO NÓ 1 
EQUAÇÃO NÓ 2 
EQUAÇÃO NÓ 3 
EQUAÇÃO ADICIONAL 
Caso 4 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas 
por tensão -FTCT 
IvvGi  )( 3151
01322  iivG
0)( 313534  ivvGvG
0132  rivv
EQUAÇÃO ADICIONAL 
01121  iRvv
Análise Nodal 
Variáveis: 
Equações: 5
31 iivvv CBA
Sistema Possível e Determinado 
 NR-10 
Caso 4 
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas 
por tensão -FTCT 






















































0
0
0
0
0011
0110
100
1100
010
1
3
3
2
1
1
545
2
55 I
i
i
v
v
v
R
r
GGG
G
GGForma matricial do sistemas de equações lineares 
Análise Nodal 
 NR-10 
 
2º) Determine, na forma matricial, o sistema de equações do circuito 
abaixo. 
Análise Nodal 
EXERCÍCIO 
 NR-10 
EQUAÇÃO NÓ 1 
sivGi  112
EQUAÇÃO NÓ 2 
0)( 2432423  iivvGvG
EQUAÇÃO NÓ 3 
0)( 234354  vvGvGi
Análise Nodal 
Corrente Essencial: 
42 iei
 NR-10 
EQUAÇÕES ADICIONAIS 
232 irvv m
Variáveis: 
24321 iivvv
Equações: 
3
Sistema Indeterminado 
( Precisa-se de duas equações adicionais) 
sivGi  112
0)( 2432423  iivvGvG
0)( 234354  vvGvGi
2212 )( ivvG 
Análise Nodal 
 NR-10 
232 irvv m
sivGi  112
0)( 2432423  iivvGvG
0)( 234354  vvGvGi
2212 )( ivvG 
Análise Nodal 
EQUAÇÕES 
ADICIONAIS 
5 
5 
EQUAÇÕES 
VARIÁVEIS 
42321 ,,, ieivvv
 NR-10 
EQUAÇÃO ADICIONAL (EA1): 
)( 21232 vvGrvv m 
)( 2122 vvGi 
0)()1( 21322  GrvvGrv mm
232 irvv m
Substituindo i2 da equação EA1 em, , tem-se: 
ou ainda: 
Análise Nodal 
SivGvvG  11212 )(
Substituindo i2 da equação EA1 em, , (equação do 
nó 1), tem-se: 
sivGi  112
 NR-10 
11212 )( vGvvGiS 
0)()( 432423122  ivvGvGvvG
0)( 234354  vvGvGi
0)()1( 21322  GrvvGrv mm
Colocando o sistema de equações apresentado na forma 
matricial, tem-se: 
Análise Nodal 
 NR-10 









































0
0
0
.
011
10
1
00
4
3
2
1
22
544
44322
221 s
mm
i
i
v
v
v
GrGr
GGG
GGGGG
GGG
Matriz de condutâncias original (G) 
Equação Adicional ( nova linha e coluna na matriz A ) 
Vetor com as variáveis do problema 
Vetor de correntes nodais (fontes independentes) 
Forma Matricial ( sistema do tipo A.x=B): 
Análise Nodal 
 NR-10 
Análise Nodal 
EXERCÍCIO 
3º) Determine através da análise nodal, a forma matricial do 
conjunto de equações lineares para o circuito elétrico abaixo. 
06i
24 3
3
2
V60
+ 
- 
0i
1v
2v 3v
????)(
4
sentidoi
 NR-10 
Análise Nodal 
06i
24 3
3
2
V60
+ 
- 
0i
1v
2v 3v
EQUAÇÃO NÓ 2 
0
3
40
3  ii
v
0
242
60
0
22 

i
vv
EQUAÇÃO NÓ 3 
EQUAÇÃO ADIC.1 
03
023
 ivv
EQUAÇÃO ADIC.2 
0660
03
 iv
4
i
 NR-10 
Análise Nodal 
06i
24 3
3
2
V60
+ 
- 
0i
1v
2v 3v
EQUAÇÃO NÓ 3 
0
3
40
3  ii
v
4
i
Matriz A 
Vetor B 
BAX .1
V2 V3 io i4 
Solução 
 NR-10 
Análise Nodal 
06i
24 3
3
2
V60
+ 
- 
0i
1v
2v 3v
EQUAÇÃO NÓ 3 
0
3
40
3  ii
v
4
i
Matriz A 
Vetor B 
BAX .1
V2 V3 io i4 
Solução 
 NR-10 
Análise Nodal 
06i
24 3
3
2
V60
+ 
- 
0i
1v
2v 3v
4
i
Ai 8
4

06i
24 3
3
2
V60
+ 
- 
0i
1v
2v 3v
4
i
Ai 8
4

SENTIDO ADOTADO NÃO 
INTERFERE 
 NR-10 
4º ) Calcule a tensão sobre o resistor de 4Ω 
Resp: 32 v 
i
v304
8 v
+
-
v24
vi5
3 6
EXERCÍCIO(sala) 
Correntes Essenciais ? 
v1 
v2 
v3 
T 
1
i
F
i
 NR-10 
Forma matricial do sistema de equações 
 NR-10 
Solução do sistema de equações: 
1
v
2
v
3
v
i
1
i
F
i