Estatica dos fluidos

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2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS. 
 A estática dos fluidos envolve o estudo de problemas para os quais não há movimento 
relativo entre os elementos do fluido. Como não há movimento relativo entre os elementos 
individuais e, portanto, não há gradientes de velocidade, não pode existir tensão de cisalhamento, 
que seja a viscosidade do fluido. Ou seja, a viscosidade não influi em problemas de estática, 
podemos, portanto, obter facilmente soluções exatas para tais problemas. 
 
2.1. Pressão num ponto. 
- Pressão média: é calculada dividindo-se a força normal que age contra uma superfície plana, pela 
área desta. 
A
F
P 
 
- Pressão num ponto: é o limite da relação entre a força normal e a área, quando fazemos a área 
tender a zero no entorno do ponto. 
A
F
lim
0A
P


 
- LEI DE PASCAL: “A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção” 
Demonstração: 
Consideremos um pequeno corpo em forma de cunha de comprimento unitário, no ponto (x,y) 
de um fluido em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como o fluido está em repouso não há tensões de cisalhamento e as forças que atuam 
sobre o corpo são: 



(peso) campo de forças -
(pressão) contato de forças -
 Forças
 
 chamando: 
 px, py e ps = pressões médias nas faces 
  = peso específico do fluido. 
 
ps.ds 
px.dy 
py.dx 
 dy 
 y 
  
 x 
  
2
dy.dx.
 
 ds 
 dx 
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 As equações de equilíbrio são: 
 
0ay.
2
dy.dx
2
dy.dx.
cos.ds.psdx.pyFy
0ax.
2
dy.dx
sen.ds.psdy.pxFx



 Fluido em repouso 
ds.sen = dy ds.cos=dx 
 Substituindo nas equações de equilíbrio 
0
2
dy.dx.
psdxdx.py
0dy.psdy.px



 


 
2
dy.dx.
 infinitésimo de segunda ordem podendo ser desprezado, então: 
ps = px = py 
 
 Como  é um ângulo arbitrário, esta equação prova que a pressão é a mesma em todas as 
direções num ponto de um fluido em repouso. 
 Se o fluido estiver em movimento, de forma que uma camada se mova em relação à outra 
adjacente, ocorrerão tensões de cisalhamento e as tensões normais, em geral, não terão o mesmo 
valor em qualquer direção em torno do ponto. A pressão, neste caso, será definida como sendo a 
média de três tensões de compressão normais mútuas perpendiculares num ponto: 
3
pzpypx
p


 
 Num fluido fictício de viscosidade nula não ocorrerão tensões de cisalhamento para qualquer 
movimento de fluido, logo a pressão será a mesma em qualquer direção. 
 
2.2. Equação Fundamental da Estática dos Fluidos. 
 VARIAÇÃO DA PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO 
Uma partícula de fluido em repouso, sujeito à ação do campo gravitacional terrestre está 
submetida a duas espécies de forças: 
- forças de campo ou de massa (peso) 
- forças de superfície ou de contato (pressão) 
 Considerando um volume elementar de um fluído com mostrado na figura. Supondo que no 
centro (x,y,z) a pressão seja p. 
 
 
 
 
 
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 Somando as forças que agem no elemento na direção y, x e z: 
 
dz.dy.dx.dz.dx
2
dy
y
p
pdz.dx
2
dy
y
p
pdFy 
















 
 
dz.dy.dx.dz.dy.dx
y
p
dFy 



 
 
dz.dy.dx
x
p
dFx



 
 
dz.dy.dx
z
p
dFz



 
 
 O vetor da força elementar é dado por: 
 
k.dFzj.dFyi.dFxFd


 
 
dz.dy.dx..jdz.dy.dx
z
p
k
y
p
j
x
p
iFd 














 
 
 dividindo por dx.dy.dz = dv e fazendo dv tender a zero 
 
ponto num volume de unidade por resultante Força 
0dv lim .jp
z
k
y
j
x
i
dv
Fd


















 
 A expressão entre parênteses é o gradiente indicado por (nabla) 
 
z
k
y
j
x
i










 
 
dz 
dy 
z 
x 
dx 
y 
 p 
.dx.dy.dz
 
dx.dz
2
dy
.
y
p
p 








dx.dz
2
dy
.
y
p
p 








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0.jp. 
 Equação fundamental do equilíbrio estático na forma diferencial 
 
 Na forma de componentes: 
 
0
x
p



 



y
p
 
0
z
p



 
 As derivadas parciais, que dão a variação nas direções horizontais, são uma forma da lei de 
Pascal, que afirma ser a mesma a pressão em e pontos no mesmo nível de uma massa contínua de 
um fluido em repouso. 
 Como p é função apenas de y: 
 dp = - .dy 
 Esta equação relaciona a variação da pressão com o peso específico e a variação da cota. 
É válida para fluidos compressíveis e incompressíveis. 
 Para fluidos que possam ser considerados homogêneos e incompressíveis (= cte) 
 p = -y + c c = constante de integração 
 A lei hidrostática da variação da pressão, geral é escrita 
 
h.p 
 
 onde: 
h = -y = medida vertical para baixo a partir da superfície livre do líquido 
p = aumento de pressão a partir da superfície livre 
 
Exercícios: 
1. Uma força de 100 lb é exercida sobre uma alavanca AB. O extremo B é ligado a um pistão que se 
ajusta a um cilindro de diâmetro igual a 2”. Que força P deve ser exercida sobre o pistão mais largo 
para evitar seu movimento no cilindro. O sistema está numa plano horizontal. 
 100 lb A 
 
 8 in D = 10 in 
 P 
 
 4 in B 
 D = 2 in 
 
2. Calcule a pressão, em uma profundidade de 10 m, num líquido com densidade: 
a) 0,8 b) 1,0 c) 13,6 
3. Uma pressão de 20 psi é medida numa profundidade de 20 ft. Calcule a densidade e a massa 
específica do líquido se a pressão na superfície é p = 0. 
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2.3. Unidades e Escalas para a Medida de Pressão 
 A pressão pode ser expressa em relação a qualquer referência arbitrária. Usualmente 
adota-se como tal o zero absoluto e a pressão atmosférica local. 
- Pressão absoluta: é expressa como sendo a diferença entre seu valor e o vácuo absoluto (zero 
absoluto). 
Pressão efetiva: é expressa como sendo a diferença entre o seu valor e o da pressão atmosférica 
local. 
- Unidades de pressão: 
 p = F/A p = .h  (metros de coluna de fluido) 
 lb/ft2 - lb/in2 - Kgf/cm2 - (N/m2  PASCAL) - m.c.a. - mm.Hg - pol.Hg – atm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 atmosfera = 14,7 psi(lb/in2) = 2116 lb/ft2 = 29,92 pol.hg = 33,91 ftH2O = 760 mmHg = 101325 Pa = 
10,34 m.c.a. 
Ponto 2: pressão efetiva positiva 
 pressão absoluta = pressão barométrica + pressãoefetiva 
Ponto 1: pressão efetiva negativa 
 pressão absoluta = pressão atmosférica local + pressão efetiva (-) 
 
Exercícios: 
1. Determine as pressões absoluta e efetiva no fundo de um tanque aberto se ele contém 20 cm de 
água e 2 cm de mercúrio (d=13,6). 
2. Água a 50°C é transportada através de uma tubulação. Determine a mínima pressão efetiva para 
que não ocorra a cavitação. A pressão de vapor é dada pela tabela abaixo. Adote patm = 92 kPa e  
= 9806 N/m3. 
T (°C) 35 40 45 50 55 60 
pv (m.c.a.) 0,58 0,76 0,98 1,26 1,61 2,03 
 
1 
Pressão 
absoluta 
Leitura local 
Do barômetro 
Pressão 
efetiva 
1 atmosfera = Pressão atm. Normal 
Pressão atm. local 
Pressão efetiva negativa 
(depressão, sucção, vácuo) 
Pressão 
absoluta 
Zero absoluto 
Vácuo absoluto 
2 
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2.4. Aparelhos de Medição de Pressão 
- Barômetros: pressão atmosférica local 
- Manômetros: pressão efetiva - Bourdon 
 - coluna de líquido 
 
MANÔMETRO BOURDON 
 
2.4.1. Barômetro de Mercúrio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vapor Hg 
merc 
 Vapor 
Hg 
pV 
 
R A 
Hg 
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2.4.2. MANÔMETROS 
 
 Piezômetros 
 
 
 
 h 
 
 
 
- Manômetros em U 
 
 
 
- Manômetros em U com fluido manométrico 
 
 
 
 
A 
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Seqüência para a Resolução de Manômetros 
 
 
1. Começar numa extremidade (ou menisco) escrevendo a pressão numa unidade determinada. 
2. Somar a pressão a sua variação até o próximo menisco com sinal positivo se o menisco 
estiver mais baixo e com sinal negativo se estiver mais alto. 
3. Continuar desta forma até alcançar a outra extremidade do manômetro e igualar a expressão 
à pressão neste ponto, seja a mesma conhecida ou não. 
- Manômetros Diferenciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Manômetros diferenciais em série 
 
Micromanômetros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K1 
K2 
R 
 y 
 
 y 
 C D 
 
 1 
 3 
 0 0 
 2 
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- Manômetro Inclinado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PA 
 h 
 R 
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EXERCÍCIOS 
O recipiente da figura contém água, óleo (d=0,8) e ar, conforme indicado. Quais os valores das 
pressões absolutas e efetivas em A, B, C e D ? Dados: água = 62,4 lb/ft
3 ar = 0,076 lb/ft
3 
patm local = 2200 lb/ft2 
 
 
 
Para o manômetro esquematizado determine a diferença de pressão (Pa) entre os dois balões A e 
B. 
 
 
 
 
 
 
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No tanque do lado esquerdo na figura a pressão do ar é – 9 in Hg. Determinar o nível do líquido no 
manômetro no lado direito (ponto A). 
Dados: 1 lb/in2 = 1 psi = 143,945 lb/ft2 1 in Hg = 70,722 lb/ft2 
 2,86 psi 
 
 120 ft 
 112 ft 
 
 106 ft 
 
 d = 1,6 A 
 
 
 
Para uma leitura manométrica em A de –0,175 kgf/cm2, determinar: 
a) A elevação dos líquidos nas colunas piezométricas abertas CE, CF CG. 
b) A deflexão do mercúrio no manômetro em U (y). 
 -0,175 kgf/cm2 
 19,5 m CE CF CG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d=13,6 4,2 m y 
  
 
 
 
 
 14,7 m ar 
  
ar 
11,4 m d = 0,7 
  
ar 
 7,8 m água 
  
ar 
 6,0 m d=1,6 
  
ar 
ar ar 
óleo 
d=0,8 água 
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2.5 Forças em Superfícies Planas 
A distribuição das forças resultantes da ação do fluido, numa superfície de área finita pode ser 
substituída por uma força resultante. Este cálculo é efetuado com base nos princípios da hidrostática 
e encontra aplicações em inúmeros problemas de engenharia, como nos projetos de barragens e 
comportas. 
 
2.5.1 Superfície Horizontal 
A intensidade da força resultante, agindo num dos lados da superfície, será: 
 
   A.pdAppdAF
A
 como 
cteh.p 
 
A.h.F 
 
- direção - normal a superfície e contra a mesma se p for positiva. 
- Linha de ação da resultante 
momento resultante = ∑ momento de forças distribuídas 

A
dA.p.x'x.A.p
 
xdA.x
A
1
'x
A
 
 distância do centro de gravidade da área 
Logo, numa superfície A sujeita à pressão estática de fluido, a resultante passará pelo centro 
de gravidade da mesma. 
 
Exercício: Determinar a força atuante na base do cilindro. Dado: patm = 10 m.c.a. 
 
 
 
 
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2.5.2 Superfícies Inclinadas 
Objetivo: determinar a intensidade, direção e linha de ação da força resultante devido ao líquido num 
dos lados da superfície. 
Considerando um elemento de área dA, de largura dy, a intensidade da força numa mesma 
faixa horizontal 
dAsenyhdApdAdF 
 
Como todas as forças elementares são paralelas, a intensidade da força F, que age de um 
lado da superfície, poderá ser obtida por uma integração sobre toda a área. 

A
ydAsen
A
pdAF
 
sendo que: 
Ay
A
ydA 
 momento estático da área em relação ao eixo x 
y
 = distância do centro de gravidade da áreaao eixo x 

A
ydA
A
1
y
 
AhAysenF 
 
Logo a intensidade da força que age de um lado de uma superfície submersa num líquido é 
igual ao produto da área da superfície pela pressão que atua em seu centro de gravidade. 
- independente da existência de superfície livre. F pode ser + ou - 
- depende da posição do CG. 
 
 
 
 
(intersecção plano 
com superfície livre) 
x 
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2.5.3 Centro de Pressões 
- linha de ação da força resultante - coordenadas (xp, yp) 
- direção da força resultante - normal a superfície e contra a mesma se a pressão for positiva 
O momento da força resultante deverá ser igual ao momento do sistema de forças distribuídas 
em relação a um eixo qualquer, logo: 
 
AA
p dA.p.xdF.xF.x
 
 
AA
p dA.p.ydF.yF.y
 
 


AA
p dA.y.x
A.y
1
dA.y.sen..x
A.y.sen.
1
x
 
y,x
A
IdA.y.x 
 = produto de inércia 
Em relação a um eixo paralelo ao eixo x, passando pelo centro de gravidade da área: 
AyxII
AyxIAyxAyxAxyII
dAyxydAxxdAyxydAI
dA)yxyxyxxy(dA)yy)(xx(I
y,xy,x
y,xy,xy,x
AA AA
y,x
AA
y,x




 

 
x
Ay
I
Ay
AyxI
x
y,xy,x
p 


 
Quando um dos eixos for de simetria da área, o produto de inércia é nulo. ( xp = x ) 
Para determinar yp 
 


A
2
A
p dA.y
A.y
1
dA.sen.y.y.
A.y.sen.
1
y
 
xI
A
dA2y 
 = momento de inércia da área A em relação ao eixo x 
Ay
xI
py 
 
Em relação a um eixo paralelo ao eixo x, passando pelo centro de gravidade da área. 
A.yII................AyIAyAy.y2II
dAyydAy.2dA.ydA)yy(I
2
xx
2
x
2
xx
A
2
AA
2
A
2
x

  
Substituindo em yp 
y
Ay
I
Ay
AyI
y x
2
x
p 


 
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onde: 
xI
 = momento de inércia da área em relação ao seu eixo central horizontal 
Como Ix >0 - o centro de pressões está sempre abaixo do centro de gravidade. 
 
Exercícios: 
1. Calcular a força resultante em cada uma das superfícies e seu ponto de aplicação. O fluido é 
gasolina d = 0,72. 
 
2. A comporta triangular da figura pesa 3000kgf e veda a passagem de água entre dois 
reservatórios. 
a. Calcule a força F necessária para mantê-la fechada quando a água no compartimento a 
esquerda estiver a uma altura H = 10m. 
b. Se a força F não foi aplicada, para qual profundidade da água no reservatório da esquerda a 
comporta abre, sabendo-se que no reservatório da direita o nível d’água permanece constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. A água sobe ao nível E no tubo localizado no tanque ABCD da figura. Desprezando-se o peso do 
tanque e do tubo. 
a. Determinar e localizar a força resultante atuante sobre a área AB que tem 2,4m de largura. 
b. Determinar a força resultante na base BC do tanque. 
c. Comparar o peso total da água com o resultado em (b). 
 
2.5.4 Prisma de Pressões 
A força que age sobre uma superfície submersa em um líquido em repouso (módulo e linha 
de ação) pode ser determinada usando-se o conceito do prisma de pressões. 
O prisma de pressões é um volume prismático cuja base é a superfície dada e cuja altura, em 
qualquer ponto da base é dada por 
h.p 
, sendo h a distância vertical à superfície livre (real ou 
imaginária). 
O volume do prisma de pressões coincide numericamente com a intensidade da força, sendo 
que esta passará pelo centro de gravidade do prisma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A força que age na área elementar dA será: 
dvoldA.h.dF 
 
dvol = elemento de volume do prisma de pressões. 
VolF 
 
Ponto de aplicação: 
 xdF
F
1
xp
 
 ydF
F
1
yp
 
Logo 
 xdvol
vol
1
xp
 
 ydvol
vol
1
yp
 
xp e yp = distâncias ao centróide do prisma de pressões. 
Logo, a linha de ação da Resultante passará pelo centróide do prisma de pressões. 
 
Exercício: 
1. A comporta AB da figura tem 1,2m de largura é fixa em A. O manômetro G indica (-0,15kgf/cm²) e 
um óleo de densidade 0,750 é utilizado no tanque à direita. Que força horizontal deve ser aplicada 
em B para equilibrar a comporta AB? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APLICAÇÃO: PROJETO DE BARRAGEM DE GRAVIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forças atuantes: 
- peso próprio 
- devido à água 
- empuxo de subpressão (será adotado = a carga hidrostática decrescendo até zero) 
- força devida aos sedimentos acumulados no fundo 
- componente VT da força hidrostática 
W = 

material. Área da barragem. 1m – aplicado no CG da área 
m1.
2
h
Fa
2

- aplicada a 
h
3
2
1d 
 
2
b.h
E


- aplicada a 
3
b
2d 
 (máximo valor normalmente 0,5 a 0,75h) 
Condições de dimensionamento 
- evitar o tombamento 
  0MB
 
- não escorregar – deslizamento 
EW
Fa
tg


 
tg
ângulo de atrito 
- ser nula a tração transferida pelas fundações ao terreno 



V
M6
b
 
 M
somatório dos momentos em relação ao CG da base. 
 V
somatório dos esforços verticais em relação ao CG da base. 
 
 
 
 
 
 
 
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2.6 Forças sobre superfícies curvas 
Quando as forças elementares pdA variam em direção, como no caso de uma superfície 
curva, deverão ser somadas como grandezas vetoriais, isto é, suas componentes segundo 3 
direções perpendiculares são somadas como escalares e posteriormente as 3 componentes são 
somadas vetorialmente. A resultante poderá ser determinada por meio de duas componentes 
horizontais perpendiculares e uma componente vertical, facilmente calculáveis para uma superfície 
reversa. As linhas de ação das componentes são determinadas pelos métodos anteriores e desta 
forma a resultante e sua linha de ação podem ser obtidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superfície elementar de largura B 
BdLdA 
 

ângulo que sua normal faz com a direção vertical. 
 
Componentes 


cosdFdFv
sendFdFh
 
dL.B.h.dL.B.pdA.pdF 
 
 
COMPONENTE HORIZONTAL 
dh.h.B.sen.dL.B.h.dFh 
 
2h
1h
22h
1h 2
h
Bdh.hBdh.h.BFh








 
 
 22 1h2h
2
B
Fh 


 
A.pB)1h2h)(
2
2h1h
(Fh CG


 
Pode-se, portanto, concluir que: ‘’A componente horizontal da força de pressão, que age 
numa superfície curva é igual a força de pressão exercida contra uma projeção da superfície, num 
plano vertical de projeção normal a direção da componte.” 
 
 
 
 
 
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- LINHA DE AÇÃO DARESULTANTE 
A resultante é exatamente a que age na área projetada, já que dos dois sistemas de forças 
apresentam uma distribuição idêntica de componentes horizontais elementares. O centro de 
pressões é determinado na área projetada como para superfícies planas apresentadas 
anteriormente. 
 
COMPONENTE VERTICAL 
dx.h.B.cos.dL.B.h.cosdFdFv 
 
  dvolhdxBdx.h.BFv
 
 hdxB
volume do prisma de altura h e base Bdx ou volume do líquido contido verticalmente 
acima do elemento de área. 
Integrando: 
volFv 
 
A componente vertical da força de pressão que age numa superfície curva é igual ao peso do 
líquido contido entre a superfície curva e a superfície livre do líquido (real ou imaginária). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- LINHA DE AÇÃO DA RESULTANTE 
Mo
forças componentes =
Mo
resultante em relação a um eixo conveniente. 
 
 
. 
 
 

vol
xdvolxp.Fv
 como 
volFv 
 
 
vol
xdvol
Vol
1
xp
distância do centro de gravidade do volume. 
 
 
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“A linha de ação da força vertical passará pelo centro de gravidade do volume, real ou 
imaginário, que se estende acima da superfície curva até a superfície real ou imaginária”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. O cilindro da figura tem 4 ft de diâmetro e 4 ft de comprimento e é solicitado por água à esquerda 
e por óleo de densidade 0,8 à direita. Determinar: 
a) A força normal em B se o cilindro pesa 4000 lb. 
b) A força horizontal no cilindro devida ao óleo e a água se o nível do óleo cai de 1 ft. 
c) A força horizontal no conjunto placa-cilindro devida ao óleo e a água se o nível do óleo cai de 1 ft. 
 
 
 2 ft 
 
 4 ft 
 
 
 
 água óleo 
 
2. A comporta foi construída por meio de um cilindro e uma chapa plana articulada na barragem. A 
posição da comporta é controlada bombeando-se água para dentro e para fora do cilindro. O centro 
de gravidade da comporta vazia localiza-se na linha de simetria a 4 ft da articulação. O conjunto 
vazio está em equilíbrio na posição mostrada. Quando a superfície da água subir 3 ft, quantos ft3 de 
água deverão ser introduzidos, por pé de comprimento do cilindro, para que a comporta seja mantida 
naquela posição ? 
 3 ft 2 ft 
 
 
 
 
água 
 
 
 
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 24 
 
APLICAÇÃO: TENSÕES DE TRAÇÃO NUM TUBO 
Um tubo circular sob a ação de pressões internas estará submetido a tensões em sua 
periferia. 
Considerando um trecho de um tubo de comprimento unitário e tomando a metade do anel 
como sistema, as forças por unidade de comprimento, na parte superior e inferior serão T1 e T2. 
 
A componente horizontal da força que age no centro de pressões da área projetada vale: 
FH = 2pr 
sendo: p = pressão no centro do tubo 
 r = raio interno do tubo 
Se a pressão for grande, o centro de pressões pode ser adotado no centro do tubo, tendo- 
se T1=T2=T 
 
T = p.r 
T = força de tração por unidade de comprimento do tubo 
Se a espessura da parede for “e” a tensão de tração na parede do tubo será: 
 = T/e = p.r/e 
 
 
 
 
 
 
 
 
T1 
 
FH 
 
T1 
L=1 
r 
e 
p+r p 
p- r 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 25 
 
2.7 Empuxo 
EMPUXO é a força resultante exercida por um fluido em repouso num corpo nele submerso 
ou flutuando. Age sempre verticalmente dirigido de baixo para cima (a componente horizontal da 
resultante será sempre nula). 
Empuxo (corpo submerso) = componente vertical da pressão na sua parte inferior – 
componente vertical da pressão na sua parte superior. 
 
 
 
 
 
 
 
E= peso ADCFEA – peso ABCFEA = peso do volume de líquido deslocado 
VolE 
 

= peso específico do fluido 
 Vol = volume do fluido deslocado 
Para determinar a linha de ação do empuxo calculam-se os momentos em relação a um eixo 
conveniente, igualando-os ao momento da resultante: 
 


Vol
p
Vol
p
Vol
p
xxdvol
Vol
1
x
xdvolVolx
xdvolEx
 
O empuxo age no centro de gravidade do volume de fluido deslocado, seja o corpo submerso 
ou flutuante. O centro de gravidade do volume de fluido deslocado é chamado de centro de carena. 
Na resolução de problemas de estática que envolvam corpos submersos ou flutuantes a ação 
do fluido é substituída pelo empuxo. 
Quando o corpo flutuar na interface de dois fluidos. 
 
2211
222111
2211
VV
xVxV
x
VVE
p 






 
 
 
 
 
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 26 
 
Pesando um objeto de formato qualquer em dois fluidos diferentes obtém-se dados suficientes 
para se determinar seu peso, volume, peso específico e densidade. 
 
 
 
 
 
 
F1 e F2 = pesos aparentes nos fluidos 
1
 e 
2
. 
Equilíbrio: 
WVolF  11 
 
12
21
 


FF
Vol
 
12
1221





FF
W
 
 
WVolF  22 
 
 
Aplicação: 
 Densímetros – utilizam a noção de empuxo para determinar a densidade de líquidos. 
 
 
 
 
 
 
Se 1  água d=1 
Vol.1 =W 
Vol = volume submerso 
 = peso específico (água) 
W = peso do densímetro 
a = área da haste prismática 
Quando o densímetro flutuar em outro líquido: 
(Vol - Vol) 2 = W como Vol = a h 
Se d1=1 d2=? 
 
água(Vol – Vol.d2 + a.h.d2) = 0 
haVol
Vol
d

2
 
( a haste pode ser graduada para medida direta da densidade) 
 
 
(Vol - Vol) 2 = Vol.1 
VolVol
Vol
d2
1
2




 
 
 
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2.8 Estabilidade de Corpos Submersos e Flutuantes 
ESTABILIDADE LINEAR – um corpo tem estabilidade linear sempre que um pequeno 
deslocamento, em qualquer direção dê origem a forças não equilibradas que tendem a levar o corpo 
para a posição original. (Ex. corpo flutuando – tem estabilidade – pequeno deslocamento para cima 
– dim. do volume deslocado – forças para baixo equilibrada – posição original) 
ESTABILIDADE ANGULAR – um corpo terá estabilidade angular quando um conjugado 
restaurador da posição original for gerado por qualquer deslocamento angular pequeno. 
Um corpo pode flutuar em: 
 EQUILÍBRIO ESTÁVEL – provocado deslocamento – tende a voltar a posição primitiva. 
 EQUILÍBRIO INSTÁVEL – qualquer deslocamento angular pequeno dará origem a um 
conjugado que tende a aumentar tal deslocamento. 
 EQUILÍBRIO NEUTRO (INDIFERENTE) – nenhum conjugado é gerado por 
deslocamentos angulares pequenos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE ANGULAR DE OBJETOS FLUTUANTES 
Qualquer objeto flutuante cujo Centro de Gravidade (G) estiver abaixo do Centro deCarena 
(C) flutua em equilíbrio estável. 
 
 
 
 E 
 
 
 P 
 
 
 
Giro anti-horário : empuxo + peso–conjugado horário 
 
Giro 
 
Conjugado ExP 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 28 
 
Certos objetos flutuantes estarão em equilíbrio mesmo quando seu CG estiver acima 
do CC. 
 
ESTABILIDADE DE CORPOS PRISMÁTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando um corpo no qual todas as seções transversais são idênticas. O centro de 
carena localiza-se no centróide do volume deslocado (CG da área submersa). Girando o corpo o 
centro de carena ocupará o centro de gravidade C’ do trapezóide ABDE. 
Se a vertical que passa por C’ interceptar a linha central original acima de G (M) será gerado 
um conjugado contrário ao movimento, estando o corpo em equilíbrio estável. 
 
Ponto M – interseção do empuxo com a linha centro  METACENTRO. 
Equilíbrio Estável – M acima de G 
Equilíbrio Neutro – M coincide com G 
Equilíbrio Instável – M abaixo de G 
MG = altura metacêntrica – mede a estabilidade do corpo 
Conjugado Restaurador = W.MG.sen 
Onde:  = deslocamento angular 
 W= peso do corpo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 29 
 
 
SEÇÕES TRANSVERSAIS NÃO PRISMÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um objeto de seção transversal variável (ex. navio). 
A altura metacêntrica para ângulos de rotação  muito pequenos. 
GCMCMG 
 
GC
Vol
I
MG
y

 
Iy = momento de inércia da seção de flutuação em relação ao eixo yy 
O sinal negativo será usado se G estiver acima de C e o positivo se G estiver abaixo de C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 30 
 
 
2.9 EQUILÍBRIO RELATIVO 
Um fluido está em EQUILÍBRIO RELATIVO se for acelerado de forma a não haver movimento 
relativo entre camadas adjacentes (se move como um sólido) e as tensões de cisalhamento serão 
nulas. Existem dois casos de interesse prático a considerar: 
1) Fluido com aceleração linear constante 
2) Fluido com rotação e com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical. 
 
- ACELERAÇÃO LINEAR CONSTANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Num elemento de fluido tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  amF .
 
 
 
dydz
dx
x
p
p 








2
 
dxdz
dy
y
p
p 








2
 
dydz
dx
x
p
p 








2
 
dxdz
dy
y
p
p 








2
 
p(x,y,z) 
dxdydz
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 31 
 
g
ax
x
p
axdzdydx
g
dzdy
dx
x
p
pdzdy
dx
x
p
p
axmFx























....
2
.
2
.
 
 
0
.




z
p
azmFz
como az=0 
 



























g
ay
y
p
aydzdydx
g
dzdydxdzdx
dy
y
p
pdzdx
dy
y
p
p
aymFy
1
......
2
.
2
.


 
 
Sabe-se que: 
dy
g
ay
dx
g
ax
dp
dy
g
ay
dz
g
az
dx
g
ax
dp
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
dp























1
1


 como az=0 tem-se: 
Integrando, considerando fluido incompressível: 
cy
g
ay
x
g
ax
p 





 1
 
Para origem:
000,0 pcppyx 
 
y
g
ay
x
g
ax
pp 





 10 
 
A superfície livre será obtida fazendo-se p = 0. 
y
g
ay
x
g
ax
p 





 10 0 
 
 
Isolando o valor de y: 
   
x
ayg
ax
ayg
gp
y



 
0
 Equação da superfície livre. 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 32 
 
Se 
x
g
axp
yay 

00
 
Se 
 ayg
gp
yax



00
 Linha horizontal 
Movimento uniforme: 

00
p
yayax 
 Linha horizontal 
E as linhas com pressão constante (p): 
 
   
x
ayg
ax
ayg
gpp
y 0




 
 Estas linhas são paralelas a superfície livre. 
As linhas de pressão constante têm inclinação 
 aygax 
 e são paralelas à superfície livre. 
A superfície livre intercepta o eixo y em: 
 ayg
gp

0
 
Aplicação: acelerômetro hidrostático 
 
 
L
hg
ax
hγ
g
axL
γ0
y
g
ay
1γx
g
ax
γpp
0ayhy0pp
0
0











 
 
- ROTAÇÃO COM VELOCIDADE ANGULAR CONSTANTE EM TORNO DE UM EIXO 
VERTICAL 
A rotação de um fluido, movendo-se como um sólido, em torno de um eixo vertical é chamado 
movimento em VÓRTICE FORÇADO. 
Não existirão tensões de cisalhamento no líquido e a única aceleração existente é a radial, 
dirigida para o eixo de rotação 
 r2
. 
Na vertical, a pressão em qualquer ponto do líquido é dada por: 



y
p
 

= velocidade angular (deslocamento angular na unidade de tempo). 
v= velocidade linear. 
rv 
 
 
 
 
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 33 
 
 y 
 
 
 
 
 h 
 
 
 
 
 r 
 r0 
 
Na direção radial, para uma partícula de comprimento dr e seção transversal dA, se a pressão 
em r for p, na face oposta será 








 dr
r
p
p
e a aceleração será
r2
, dirigida para o centro 
amdAdr
r
p
ppdA .








 
 
 
pdA
 
dAdr
r
p
p 








 
 
2ppdA p dr dA m.a dA.dr( r)
r g
  
     
 
 
2p r
r g
 
 

 
Como p é função somente de y e dr a diferencial total dp será: 
rdr
g
dydp
dr
r
p
dy
y
p
dp
2

 






 
Para fluido incompressível (líquido 
cte
) 
c
r
g
yp 
22
2

 
no eixo: 
000,0 pcppyr 
 
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – ProfªMaria do Carmo Cauduro Gastaldini 34 
 
y
r
g
pp  
2
22
0
 
A equação da superfície livre será (p=0) 
2 2
0p ry
2g

 

 
Quando a origem escolhida tiver pressão nula p0= 0 
e isolando o valor de y. 
2 2r
y
2g


 
A equação das superfícies de pressão constante será. 
2 2
0p p ry
2g
 
 

 
 
 No caso de um cilindro circular girando em torno do seu eixo. 
 y 
 
 
 
 E F 
 h2 h = 2 2
0r
2g

 
 A D 
 h1 
 B C 
 G r0 
 r 
 
Volume do líquido = constante 
Volume do cilindro ABCD = volume do cilindro EBCF – volume parabolóide EFG 
g
r
rVol
2
.
2
1
2
0
2
2
0


 
g
r
hhr
g
r
rVol
42
.
2
1
2
0
2
11
2
0
2
0
2
2
0
 
 
 2 2
0
1 2
rh 1
h h
2 2 2g

  
. 
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 35 
 
- APLICAÇÕES DA ROTAÇÃO COM VELOCIDADE ANGULAR CONSTANTE EM TORNO DE 
UM EIXO VERTICAL 
- CENTRIFUGAÇAO 
Considerando um líquido com massa específica , contendo partículas com massa específica 
1, sendo 1>. Na sedimentação simples, a força por volume será: 
EP
VolgP

 ..1
 
  VolgF
VolgE
.
..
1 



 
 g
Vol
F   1
 
Na decantação com rotação: 
      2421
222
1 xgxg
Vol
F   
 
BOMBAS CENTRÍFUGAS 
 
 
g
x
2
22
 
g
r
2
22
 
 
 
 
 
Se o líquido estiver contido em um recipiente fechado a diferença de pressão entre o centro e 
a periferia, num mesmo nível será: 
y
r
g
pp
y
g
pp






2
 
2
0
 
22
02
22
01
 
g
rpp
2
 
22
12 



 
 
 
 
 
 
 
 
HDS 1000 – Mecânica do Fluidos – Profª Maria do Carmo Cauduro Gastaldini 36 
 
 
- SOBREELEVAÇÃO NAS CURVAS DE CURSOS D’ÁGUA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na superfície livre não haverá diferença de pressão. 
0
g
rdr
dy- dp
2



 
 12
2
xxln
g
V
y 