Estatística: Probabilidade

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Probabilidade 
 
EMC 6421 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Prof. Armando Albertazzi G. Jr. 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Tópicos 
 Experimento, espaço amostral e evento 
 Diagrama de Venn 
 Contagem: permutações e combinações 
 Probabilidade: conceito, axiomas e teoremas 
elementares 
 Regras de adição 
 Probabilidade condicional 
 Regra da multiplicação 
 Independência 
 Teorema de Bayes 
 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Teste de Materiais 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Experimento 
2120 N 
2190 N 
2040 N 
2020 N 
Repetições do mesmo 
experimento em 
condições idênticas. 
Resultados 
variam de forma 
aleatória. 
amostras 
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Espaço Amostral 
 Conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento 
 Exemplos: 
□ {a, e, i, o, u} 
□ {2000 N ≤ X ≤ 2200 N} 
 
 
 Pode ser finito ou infinito 
 Pode ser contínuo ou discreto (finito ou infinito 
contável) 
 É denotado por S 
 
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Evento 
 Subconjunto do espaço amostral 
□ exemplos em relação ao espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5} 
 
 C = { 2, 3 } D = { 1, 2, 4 } E= { 1, 5 } 
 
 união: C  D = { 1, 2, 3, 4} 
 interseção: C  D = { 2 } 
 complemento: D’ = { 3, 5 } 
 C e E são eventos mutuamente excludentes: C  E =  
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Diagramas de Venn 
A 
S 
A 
A 
S 
A’ 
A B 
S 
A B 
A  B 
S 
A B 
S 
(A  B)’ = A’  B’ 
A B 
A  B 
S 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Contagem 
 Qual número de combinações de um algarismo, uma letra do 
nosso alfabeto e uma letra grega (nesta ordem) dos conjuntos: 
 1 
2 
3 
A 
B 
 
 
n1 = 3 n2 = 2 n3 = 2 
N = 3 * 2 * 2 = 12 
• Teorema: Se os conjuntos A1, A2, ..., Ak contém 
respectivamente n1, n2, ..., nk elementos, logo há n1*n2* ... 
*nk maneiras de escolher um elemento de A1, depois outro 
de A2, ..., e finalmente um elemento de Ak. 
1A 
1A 
1B 
1B 
... 
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Permutações 
 Exemplo: número de possíveis permutações do 
sorteio dos ganhadores dos 3 primeiros prêmios de 
uma rifa onde concorreram 6 pessoas: 
 
n1 = 6 n2 = 5 n3 = 4 n = 6*5*4 = 120 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Permutações 
 Em geral se “r” objetos são selecionados de um conjunto de 
“n” objetos distintos, cada combinação ou ordem destes 
objetos é denominada de permutação. O número de 
permutações é calculado por: 
 
 
 
 
 
 No caso particular em que “n” = “r” 
 
)1)...(2)(1(  rnnnnPrn
!nPnn 
)!(
)!)(1)...(2)(1(
rn
rnrnnnn
Prn



)!(
!
rn
n
Prn


Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Combinações 
 Número de maneiras diferentes em que “r” elementos podem 
ser selecionados de um conjunto de “n” elementos sem levar 
em conta a ordem 
 
 
 
 Exemplo: número de diferentes vitaminas de frutas que 
podem ser feitas combinado duas frutas de um conjunto de 8 
diferentes variedades: 
 
)!(!
!
rnr
n
r
n
Crn








28
2
56
!6.2
!6.7.8
)!28(!2
!8
2
8








Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Probabilidade 
 Conceito clássico: 
□ “Se existem “n” possibilidades com as mesmas chances das 
quais uma deve ocorrer e “f” destas são classificadas como 
favoráveis (ou sucesso), então a probabilidade de sucesso 
é dada por f/n” 
 
 Exemplo: A probabilidade de obter um número par 
ao se jogar um dado honesto: 
□ Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
□ Eventos favoráveis: {2, 4, 6} 
□ Probabilidade = f/n = 3/6 = 0,5 = 50% 
n = 6 
f = 3 
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Probabilidade 
 Interpretação baseada na freqüência 
□ “A probabilidade de um evento ocorrer é a 
proporção de vezes que este evento ocorreria em 
uma grande quantidade de experimentos 
repetidos” 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Algumas definições ligadas à 
probabilidade 
 Quando um espaço amostral consistir de “n” 
resultados possíveis que sejam igualmente 
prováveis, a probabilidade de cada resultado é 
1/n. 
 Para um espaço amostral discreto, a 
probabilidade de um evento E, denotada por 
P(E), é igual a soma das probabilidades dos 
resultados de E. 
 
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Axiomas da probabilidade 
 Dado um espaço amostral finito S e seja A um evento 
de S 
 
 ax 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 
 ax 2: P(S) = 1 
 
 ax 3: Se A e B são eventos mutuamente excludentes 
de S, então: 
 A  B =  
 P(A  B) = P(A) + P(B) 
 
A 
B 
S 
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Teoremas Elementares 
 Se A é um evento de S, então: 
 P(A’) = 1 - P(A) 
 Uma coleção de eventos A1, A2, ..., An é denominada 
mutuamente excludente se para todos os pares: 
 Ai  Aj =  
 
 
 Se A1, A2, ..., An são eventos mutuamente excludentes 
do espaço amostral S, então 
 P(A1  A2  ...  An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) 
 
A1 
A4 
A2 A3 
A5 
S 
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Regras de Adição 
 Para dois eventos: 
 P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
 
 
 Para três eventos: 
 P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) – 
 – P(A  B) – P(A  C) – P(B  C) + 
 + P(A  B  C) 
 
A B 
S 
A B 
S 
C 
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Soma de dois dados 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
36 possibilidades 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
P(A=6 ou A=7) = 
P(6≤A≤8) = 
P(A=6) = 
P(A≠6) = 
36 possibilidades 
P(A=6  A=7) = P(A=6) + P(A=7) = 5/36 + 6/36 = 11/36 
P(A=6)+ P(A=7) + P(A=8) = 5/36 + 6/36 + 5/36 = 16/36 
5/36 
1 – P(A=6) = 1 - 5/36 = 31/36 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1 
2 
3 
4 
5 
6 36 possibilidades 
P(A=par ou A≥10) = P(A=par  A≥10) = P(A=par) + P(A≥10) – P(A=par  A≥10) 
P(A=par) = P(A=2)+ P(A=4) + P(A=6) + P(A=8)+ P(A=10) + P(A=12)= 18/36 
P(A≥10) = P(A=10)+ P(A=11) + P(A=12) = 6/36 
P(A=par  A≥10) = P(A=10)+ P(A=12) = 4/36 
P(A=par ou A≥10) = 18/36 + 6/36 – 4/36 = 20/36 
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Probabilidade Simples 
 Exemplo: 
□ Um dado de seis faces é lançado ao acaso. Qual a 
probabilidade de obter 4? 
 
 
 
□ P = 1/6 
 
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Probabilidade Condicional 
 Há casos onde a probabilidade deve ser 
reavaliada a medida que informações adicionais 
se tornam disponíveis. 
 Exemplo: 
□ Um dado de seis faces foi lançado ao acaso. 
□ Sabe-se que um número par foi obtido. 
 
 
□ Qual a probabilidade que seja 4? 
□ P = 1/3 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
S 
Probabilidade Condicional 
 Dois eventos: 
□ A = lançar um dado e obter um número par = {2, 4, 6} 
□ B = obter o número 4 = {4} 
 Escreve-se: 
□ P(B | A) = probabilidade de B dado A 
 Calcula-se: 
□ P(B | A) = P(A  B) / P(A) 
 No exemplo: 
□ P(B | A) = (1/6) / (3/6) = 1/3 
 
A A 
B 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Regra da Multiplicação 
 Considere as equações da probabilidade 
condicional: 
□ P(B | A) = P(A  B) / P(A) 
□ P(A | B) = P(A  B) / P(B) 
 Que podem ser reescritas como: 
 P(A  B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A) 
 Que é a regra da multiplicaçãoFundamentos de Metrologia e Estatística 
Regra da Multiplicação 
 Verificando: considere os dois eventos: 
□ A = lançar um dado e obter um número par 
 A = {2, 4, 6} 
□ B = obter o número 4 
 B = {4} 
 Aplicando 
 P(A  B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A) 
 P(A  B) = 1/1 . 1/6 = 1/3 . 1/2 = 1/6 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Independência 
 Dois eventos são independentes se o resultado 
de um deles não afeta a probabilidade do outro 
ocorrer. 
 
 Se A e B são dois eventos independentes, então: 
 P(A | B) = P(A) 
 P(B | A) = P(B) 
 P(A  B) = P(A) . P(B) 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Teorema de Bayes 
 A regra da multiplicação 
 P(A  B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A) 
 
 Pode ser reescrita como: 
 P(A | B) = P(B | A) . P(A) / P(B) 
 
 Que é o teorema de Bayes