Estatística: Variaveis Aleatorias Continuas

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Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
EMC 5223 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Prof. Armando Albertazzi G. Jr. 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Tópicos 
 Variáveis aleatórias contínuas 
 Densidade de probabilidade 
 Função distribuição cumulativa 
 Média e variância a partir da função densidade 
de probabilidade 
 Distribuição uniforme e triangular 
 Distribuição normal 
 Verificação de normalidade 
 Covariância e correlação 
 Outras distribuições 
 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Variáveis aleatórias 
 A variável que associa um número ao resultado de um experimento 
aleatório é uma variável aleatória. 
 
 Exemplos: 
□ soma de dois dados, cotação do dólar, precipitação diária de chuva em 
uma cidade, limite de resistência de corpos de prova 
 
 Podem ser 
□ discretas (faixa de valores finita ou infinita contável) 
□ contínuas (faixa de valores com um intervalo de números reais) 
 
 Convenção: 
□ variáveis aleatórias: X, Y, ... (letras maiúsculas) 
□ valores possíveis das variáveis aleatórias: x, y, ... (minúsculas) 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Variáveis aleatórias contínuas 
 Assumem valores reais 
 
 f(x) = função densidade 
 de probabilidade 
 a b 
x 
f(x) 
0)( 0  xXP

b
a
dxxfbXaP )()(
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Variáveis aleatórias contínuas 
 Propriedades: 
 
 
a b 
x 
f(x) 
xxf  ,0)(



1)( dxxf
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP 
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Função distribuição cumulativa 
a b 
x 
f(x) 
a b 
x 
F(x) 
100% 
ab 
1
)()( xXPxF 
A = 1 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
 A função distribuição cumulativa de uma variável aleatória X associa a 
cada valor possível de X a probabilidade deste valor ser menor ou igual a 
x. Denota-se F(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a) 
Função distribuição cumulativa 



x
dfxXPxF  )()()(
)(
)(
xf
dx
xFd

a b 
x 
f(x) 
a b 
x 
F(x) 
1,00 
F(b) 
F(a) 





ab
b
a
dxxfdxxf
dxxfbXaP
)()(
)()(
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Média e variância de uma VA contínua 
 Média (valor esperado) 
 
 
 
 Variância 



 dxxfxxE )()(





 2222 )()()()(  dxxfxdxxfxxV
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Distribuição uniforme contínua 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: erro de arredondamento de um mostrador digital 
 β 
x 
f(x) 
 
1
A = 1 
2



  22
12
1
 






contráriocaso
x
xf
,0
,,
1
)(


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Erro devido ao arredondamento de 
mostrador digital 
g 
1,0 
quantidade de açúcar (g) 
indicação (g) 
2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 
1,0 
2,0 
3,0 
4,0 
0,0 
0,0 
incremento 
digital 
0 1 2 3 4 
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Erro devido ao arredondamento de 
mostrador digital 
mensurando 
indicação 
ID 
erro 
ID/2 
- ID/2 
f(x) 
0
32
ID

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A = 1 
Distribuição triangular 
2



  22
24
1  
f(x) 
   
 
2
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Distribuição (discreta) da média de 
dois dados 
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
36 possibilidades 
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Distribuições das médias de “n” dados 
1 dado Média de 2 dados Média de 3 dados 
Média de 4 dados Média de 5 dados Média de 6 dados 
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Distribuições das médias de “n” dados 
Média de 8 dados Média de 10 dados Média de 15 dados 
Média de 20 dados Média de 25 dados Média de 30 dados 
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Distribuição normal ou gaussiana 
  
pontos de inflexão 
assíntota assíntota 
  média 
  desvio padrão 
 
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Distribuição normal ou gaussiana 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 
 Observada no século XVIII: 
“curva normal de erros” 
 


xexf
x
2
2
2
)(
2
1
)( 


 
f(x) 
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Distribuição normal ou gaussiana 
 Função probabilidade acumulada: 
 
 
□ Não pode ser integrada explicitamente 
□ É calculada numericamente e tabelada 
 Problema: 
□ Para cada valor de μ e σ é necessária uma tabela 
diferente 
 Solução: 
□ Distribuição normal padronizada 




x
dexF 



2
2
2
)(
2
1
)(
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Padronização 
distribuição variável 
3 
x 
f(x) 
3 0 
y 
f(y) 
3 0 
z 
f(z) 
X
3 XY
2
3

X
Z
μX = 3 
σX = 2 
μY = 0 
σY = 2 
μZ = 0 
σZ = 1 
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Distribuição normal padronizada 
 Mudança de variável para que μ = 0 e σ² = 1 
 
 
 Distribuição normal padronizada: 
 
 
 Função distribuição cumulativa é tabelada: 



X
Z


zezf
z
2
2
2
1
)(




z
dezF 

 2/2
2
1
)(
EMC 5223 – Estatística e Metrologia para Engenharia 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Exemplo 1 
 O tempo de resposta de um indivíduo a um evento rápido 
pode ser considerado uma VA normal, com média 180 ms e 
desvio padrão 50 ms. Calcule a probabilidade dele reagir a 
um evento rápido em menos de 100 ms. 
 = 50 ms 
 = 180 ms 
100 
-1,60 
)60,1()60,1()100(  FZPXP
60,1
50
180100


Z
5,48%0,05480)60,1(  FP
No MS Excel® 
= DIST.NORMP(-1,60) 
180 
X 
0,00 
Z 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Exemplo 2 
 Calcule a probabilidade de um VA com distribuição normal 
com μ = 3 e σ = 2 apresentar valores entre 2 e 5 
 = 2 
 = 3 
3 0 2 5 
)()( 25 zFzFP 
00,1
2
35
5 

z
50,0
2
32
2 

z
0,53280,3085-0,8413)50,0()00,1(  FFP
No MS Excel® 
= DIST.NORMP(1,00) - DIST.NORMP(-0,50) 
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Verificação de normalidade 
 Uma distribuição é normal? 
 Teste dos escores normais: 
□ conjunto de “n” valores que dividem a distribuição normal 
idealizada em “n+1”faixas com igual probabilidade e 
organizados em ordem crescente 
□ Constrói-se um gráfico dos escores normais versus os 
dados ordenados. 
□ Se o gráfico resultante for próximo de uma reta, a 
distribuição é próxima da normal 
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Teste dos escores normais 
1. Ordene os dados de forma crescente 
2. Obtenha os “n” escores normais sendo “n” o 
número de dados experimentais 
3. Plote o i-ésimo valor experimental versus o i-ésimo 
escore normal 
4. Se o gráfico resultante se aproxima de uma reta 
esse indica que a distribuição dos dados é próxima 
da normal 
 Normalmente 15 ≤ n ≤ 20, embora seja comum 
usar n > 20, mas não se recomenda n < 15 
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Exemplo 
 Verifique se os 19 números abaixo, colhidos de 
um experimento aleatório, possuem 
distribuição aproximadamente normal: 
□ 16; -5; 4; 13; 3; -10; -7; 10; -4; -1; 0; -13; 2; 6; 19; 
7; 11; -2; 8; 
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Testes dos escores normais 
 Solução: 
□ Ordenando 
 -13;-10; -7; -5; -4; -2; -1; 
0; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 10; 11; 
13; 16; 19 
□ Calculando os escores 
normais: 
 MS Excel®: 
=INV.NORMP(0,05) 
 
 
F(x) Escores 
normais 
Pontos 
0,05 -1,645 -13 
0,10 -1,282 -10 
0,15 -1,036 -7 
0,20 -0,842 -5 
0,25 -0,674 -4 
0,30 -0,524 -2 
0,35 -0,385 -1 
0,40 -0,253 0 
0,45 -0,126 2 
0,50 0,000 3 
0,55 0,126 4 
0,60 0,253 6 
0,65 0,385 7 
0,70 0,524 8 
0,75 0,674 10 
0,80 0,842 11 
0,85 1,036 13 
0,90 1,282 16 
0,95 1,645 19 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Testes dos escores normais 
F(x) Escores 
normais 
Pontos 
0,05 -1,645 -13 
0,10 -1,282 -10 
0,15 -1,036 -7 
0,20 -0,842 -5 
0,25 -0,674 -4 
0,30 -0,524 -2 
0,35 -0,385 -1 
0,40 -0,253 0 
0,45 -0,126 2 
0,50 0,000 3 
0,55 0,126 4 
0,60 0,253 6 
0,65 0,385 7 
0,70 0,524 8 
0,75 0,674 10 
0,80 0,842 11 
0,85 1,036 13 
0,90 1,282 16 
0,95 1,645 19 
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-2,000 -1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000
Conclusão: 
A distribuição dos dados é próxima à 
normal. 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Escores normais 
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-3,000 -2,000 -1,000 0,000 1,000 2,000 3,000
-60
-40
-20
0
20
40
60
-3,000 -2,000 -1,000 0,000 1,000 2,000 3,000
Escores normais de dados 
simulados com distribuição 
perfeitamente normal 
Escores normais de dados 
simulados com distribuição 
perfeitamente uniforme 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Propriedade reprodutiva da distribuição normal 
 Se X1, X2, ..., Xp forem variáveis aleatórias normais e 
independentes com E(Xi) = μi e V(Xi) = σi² então: 
 
 Y = c1X1 + c2X2 + ... + cpXp 
 
 Será uma variável aleatória normal com 
 E(Y) = c1μ1 + c2μ2 + ... + cpμp 
 e 
 V(Y) = c1²σ1² + c2²σ2² + ... + cp²σp² 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Média de uma combinação linear de VA 
 Sejam X1, X2, ... , Xk VA com média μXi 
 
 
 
 Exemplo 




k
i
Xikk
kk
i
aXEaXEaXEa
XaXaXaE
1
2211
2211
)(...)()(
)...(

321321
3232 XXXXXX  
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Valor esperado e variância de aX + b 
bXEabaXE  )()(
ba XbaX  
)()( 2 XVarabaXVar 
222
XbaX a  
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Variância de uma combinação linear de VA 
 Sejam X1, X2, ... , Xk VA independentes e com variância σ²Xi 
 
 
 
 Exemplos: 




k
i
xiikk
kk
aXVaraXVaraXVara
XaXaXaVar
1
222
2
2
21
2
1
2211
)(...)()(
)...(

2222
32 321321
94 XXXXXX  
22
2121 XXXX
  22 2121 XXXX  
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Valor esperado e variância da média 
 Sejam X1, X2, ... , Xk VA independentes, todas com média μ e 
variância σ² 
 A média é calculada por: 
 
 A média das médias é: 
 
 A variância das médias é: 
 
 Em síntese 
kkkk
k XXX
k
XXX
X 12
1
1
121 ...
...



 
k
k
kkkkkkkX
XEXEXEXE 11112
1
1
1 ...)(...)()()(
k
XVarXVarXVarXVar
k
k
kkkkkkkX
2
22121211
2
1
1
12
2222222 ...)(...)()()(
 
XX
 
k
X
X

 22 1
XX
k
 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
 Avalia a existência de sincronismo entre duas VA 
Covariância 
21
2121
.).(
)])([(),cov(
21
2121
XX
XXXX
XXE
XXEXX




X1 
X2 
0
21
XX
X1 
X2 
0
21
XX
X2 
X1 
0
21
XX
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Correlação 
 Quando dividida pelos respectivos desvios-padrão, a 
covariância é normalizada e recebe o nome de 
“Coeficiente de correlação”, denotado por ρ 
 
 
 O valor ρ está sempre dentro do intervalo 
 
 Usa-se também o coeficiente de variação: 
 
21
21
21 .)().(
),cov(
21
21
XX
XX
XX
XVarXVar
XX

 
11
21
 XX
22 )(
2121
XXXX
R 
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Covariância e correlação 
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70
X1
X2
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70
X1 x X2
98,115),cov( 21 XX
8994,0),( 21 XX
8088,0),²( 21 XXR
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Covariância e correlação 
80,153),cov( 21 XX
9234,0),( 21 XX
8526,0),²( 21 XXR
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
X1
X3
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X1 x X3
Estatística e Metrologia para Engenharia 
Correlação 
 Se X1 e X2 são VA independentes, então 
 σX1X2 = ρX1X2 = 0 
 
 Se X1, X2, ... , Xk são VA dependentes, então: 
 
 







k
j
jijiji
ji
kk
k
j
jiji
ji
kk
kk
XXaaXVaraXVaraXVara
XXaaXVaraXVaraXVara
XaXaXaVar
2
2
2
2
21
2
1
2
2
2
2
21
2
1
2211
),(2)(...)()(
),cov(2)(...)()(
)...(

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Distribuição Log-normal 
 É a distribuição de probabilidade de uma variável 
aleatória cujo logaritmo é normalmente distribuído 
f(x) F(x) 
2
2
2
))(ln(
2
1
)( 





x
e
x
xf
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Distribuição Log-normal 
 Seu interesse prático surge quando a variável de 
interesse é obtida a partir de um produto de um 
grande número de variáveis independentes e com 
distribuições parecidas. 
 De fato: 
 
 
 A soma de um grande número de variáveis aleatórias 
independentes e com distribuições próximas resulta 
em normal 
)log(...)log()log()log(
...
21
21
k
k
XXXX
XXXX


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Outras distribuições 
 Distribuição exponencial 
 Distribuição de Weibull 
 Distribuição Beta 
 Distribuição de Poisson