prova objetiva algebra linear

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24/04/2016 AVA UNIVIRTUS 
OBJETIVA REGULAR 
 Nota: 100 
Disciplina[s): 
Álgebra Línear 
Data de início: 
Prazo máximo entrega: 
Data de entrega: 
29/03/2016 19:05 
29/03/2016 20:35 
29/03/2016 20:18 
 
Questão 1/10 
Em relação ao conjunto {(1,2,3),(0, 1,2),(2,5,7)} pode-se afirmar: 
A não é uma base de R3 • 
• B é uma base de R3 • 
t9 Você acertou!
Resolução: 
O conjunto dado possui três vetores de Rs, portanto, pode ser uma base de Rs. Para se 
verificar se, de fato, o conjunto é uma base de Rs, isto é, se o conjunto é linearmente 
independente e gera Rs, pode-se v-erificar se é diiferente de zern o determinante da matriz 
cujas colunas correspondem aos vetores do conjunto: 
[1 O 2] 
det 2 1 5 = -1 >' O 
3 2 7 
Portanto, o conjunto dado é uma base de Rs. 
C é um conjunto linearmente dependente. 
D é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R3 • 
Questão 2/10 
Analise os quatro conjuntos (W, X, Y e Z) dados a seguir e marque V para os verdadeiros ou F para os falsos em relação 
às conclusões dadas a cada um. 
() W = {(1,2)} é linearmente dependente. 
( ) X = {(1,2),(2,4)} é linearmente independente. 
( ) Y = {(1,2);(0,0)} é linearmente independente. 
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24/04/2016 AVAUNIVIRTUS 
( ) Z = {(1,2);(0,3);(5, 1)} é linearmente dependente.
• A FFFV 
- Você acertou!
Resolução:
De acordo com a definição de conjunto linearmente dependente e de conjunto linearmente independente, está correta
somente a conclusão do conjunto Z.
B FFVF
C VFFV
D VVVF
Questão 3/10
Sobre a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a
alternativa correta:
) T é um operador linear de R2 . 
) (� �) é a matriz canônica de T.
) T(1,2) = (3,4 ).
) Nuc(T) = {(0,0)} e lm(T) = R2 • 
A VFVF
• B VFFV 
- Você acertou!
Resolução:
Item i) Verdadeiro: T é uma transformação linear de R2 em R2 , portanto, é um operador linear de R2 • 
ltam 11) Falso: mat,lz canônica de T é Igual a ( i �}
Item iii) Falso: T(1,2) = (2,6).
Item iv) Verdadeiro: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e
lm(T) = R2, pois todo vetor de R2 é imagem por T.
C FVVF
D F F FV
 '2l7 
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Questão ll/10 
Dada a expressão c1 .u + c2.v = w , analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta: 
a) Se existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de u e de v.
b} Se não existirem c1 e c2 reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e
de v.
c) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c1 e c2 reais tais que a expressão dada é verdadeira.
A Nenhuma das afirmativas acima está correta. 
B Somente a afirmativa "a" acima está correta. 
C Somente as afirmativas "a e c" acima estão corretas. 
• D Todas as afirmativas acima estão corretas.
- Você acertou!
As três afirmativas estão corretas
Questão 5/10 
Dadas as matrizes A e B a seguir, calcule a soma dos elementos da matriz A . B: 
A = [�· �i , B = (--4 5 )
3 1 1 10 
A 60 
• B 61
- Você acertou!
Resolução:
AS-[i ;Jt ,'o] 
[
1-(--4 )+0-1 1-5+0-10
] AB= 2-(--4 )+4-1 2 5+4-10 
3-(--4 )+1-1 3 5+1-10 
AB=[�:� 1i:�o] 
-12+1 15+ 10
AB =[� 550:
-11 2 5 
Portainto, a soma dos elementos de AB é igual a: -4 + 5 + (-4) + 50 + (-11) + 25 = 61. 
 3f7 
24/04/2016 AVAUNIVIRTUS 
e 62 
D 63 
Questão 6/10 
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) 
= (X, y, X+ 1) ?. 
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta: 
A Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas 
na definição de transformações lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1 ), obtém-se que é linear. 
• B Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições
dadas na definição de transformações lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que não é linear. 
- Você acertou!
Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na
definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b) e v = (c,d), tem-se:
T(u + v) = T(a+c,b+d) = (a+c,b+d,a+c+1)
T(u)+ T(v) = T(a,b) + T(c,d) = (a,b,a+1) + (c,d,c+1) = (a+c,b+d,a+c+2).
Como T(u + v) não é igual a T(u)+ T(v), T não é uma transformação linear.
C Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições 
dadas na definição de transformações lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1 ), obtém-se que é linear. 
D Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições 
dadas na definição de transformações lineares, a saber: 
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u) 
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1 ), obtém-se que não é linear. 
Questão 7 /10 
 4(7 
24/04/2016 AVAUNIVIRTUS 
Considere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c1-(1 ,2)+ c2.(0, 1) + c3.(2,3) = (0,0) . Classifique 
o tipo de sistema em relação as soluções.
A Sistema Homogêneo, somente com a solução trivial. 
B Sistema Impossível. 
C Sistema Possível e Determinado. 
• D Sistema Possível e Indeterminado.
- Você acertou!
Questão 8/10 
Resolução:
O sistema de equações lineares dado pela equação
c1-( 1,2) + Cz.(O, 1} + C3.(2,3) = (0,0)
certamente possui soluções, pois será homogêneo e, além disso, possui inúmeras soluções -observe que o sistema
gerado pela equação (abaixo), quando reduzido por linhas à forma escada, terá no máximo dois pivôs e, então, será
certamente SPI:
Seja "V" um espaço vetorial, segundo a definição apresentada nesta disciplina e os seguintes axiomas, sendo u, v e w 
pertencentes a V e k um escalar real: 
u+v=v+u 
ii Existe um elemento O pertencente a V tal que O + u = u + O = u, para todo u pertencente a V. 
iii Se u e v pertencem a V, o produto vetorial entre u e v, denotado por uxv, também pertencente a V. 
iv Dado um escalar k e um objeto u qualquer de V, ku pertence a V. 
Neste caso, "V" deve atender obrigatoriamente a: 
A somente aos axiomas i e iv, enunciados acima. 
B somente aos axiomas ii, iii e iv enunciados acima. 
C somente aos axiomas ii e iii enunciados acima. 
• D somente aos axiomas i, ii, iv enunciados acima.
- Você acertou!
Resolução:
 517 
24/04/2016 
Questão 9/10 
AVAUNIVIRTUS 
Como os axiomas enunciados em i, ii e iv fazem parte da definição de espaço vetorial (estão dentro o conjunto de dez 
axiomas listados na definição), V deve obrigatoriamente atendê-los - diferentemente do axioma enunciado em iii que 
não participa da definição de espaços vetoriais e, portanto, pode ou não ser atendido por V.
Analise as afirmativas em relação à equações lineares e a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas, 
depois assinale a alternativa correta: 
( ) Ao se obter a matriz escada reduzida por linhas correspondente a um sistema de equações lineares, pode-se 
classificar este sistema apenas pela análise do seu grau de liberdade. 
( ) Depois de aplicado o Método de Gauss-Jordan em um sistema de equações lineares impossível, necessariamente 
terá sido obtida pelo menos uma equação falsa. 
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo com igual quantidade de equações e de incógnitas podeser 
classificado apenas pela análise do determinante da sua matriz dos coeficientes. 
) Um sistema de equações lineares homogêneo pode ser impossível, mas tal situação acontece raramente. 
A VVFV 
B VFFV 
C VFFF 
• D FVVF 
t9 Você acertou!
Questão 10/10 
Resolução: 
i) FALSO: além do grau de liberdade é preciso avaliar se há uma (ou mais) equações falsas, o que resultaria em um
sistema impossível.
ii) VERDADEIRO: é porque isto acontece que se pode classificar os sistemas impossíveis usando o Método de
Gauss-Jordan.
iii) VERDADEIRO: neste caso, pode-se determinar se o sistema é SPD ou SPI apenas pela análise do determinante
da matriz dos coeficientes: se for nulo, o sistema é SPI, se for diferente de zero, o sistema é SPD.
iv) FALSO: um sistema de equações lineares homogêneo é sempre possível.
Seja M uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Sendo assim, analise as proposições a seguir e marque V para as 
verdadeiras ou F para as falsas e depois assinale a alternativa correta: 
) M sempre possui três autovalores distintos que podem ser reais ou imaginários. 
) M pode possuir autovalores reais e/ou autovalores imaginários. 
) Considerando-se o conjunto dos números complexos (reais e imaginários), M sempre terá autovalores. 
• A FVV 
t9 Você acertou!
 6f7