Estatística: Estimação de parâmetros

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Estimação de Parâmetros 
 
EMC 6421 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Prof. Armando Albertazzi G. Jr. 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Tópicos do Capítulo 
 População e amostra 
 Estatística e estimativa 
 Distribuição amostral da média 
 Teorema central do limite 
 Intervalo de confiança para a média 
□ Quando a variância é conhecida 
□ Quando a variância não é conhecida 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
População 
 Conjunto de todos os eventos associados a um 
fenômeno 
 Denominação originária do estudo de 
fenômenos econômicos e sociológicos 
 Pode ser finita ou infinita 
 Normalmente é descrita através de sua 
distribuição 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Amostra 
 Parte da população 
 
 
 
 Normalmente usada para inferir parâmetros 
de toda a população 
 Deve ser representativa da população: 
amostra aleatória 
 
Amostra 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Inferência Estatística 
 Usar dados da amostra para chegar a 
conclusões acerca da população 
 Duas grandes áreas 
 
□ Estimação de parâmetros: 
 Estimar características da população 
 
□ Testes de hipóteses: 
 Sustentar afirmações acerca da população 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Amostra Aleatória 
 De uma população finita: 
□ Um conjunto de observações x1, x2, ..., xn constitui 
uma amostra aleatória de tamanho n de uma 
população finita de tamanho N se é escolhido de 
forma que cada subconjunto de n dos N 
elementos da população tenha a mesma 
probabilidade de ser escolhido 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Amostra Aleatória 
 De uma população infinita: 
□ Um conjunto de observações x1, x2, ..., xn constitui 
uma amostra aleatória de tamanho n de uma 
população infinita com função densidade de 
probabilidade f(x) se: 
• Cada xi é um valor de uma VA cuja distribuição tem f(x); 
• Estas VA são independentes. 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Estatística e Estimativa 
 Uma estatística é qualquer função das 
observações experimentais. 
□ Exemplos: 
□ A distribuição de probabilidade de uma estatística 
é denominada de distribuição amostral 
 
 Uma estimativa pontual de algum parâmetro 
θ da população é um único valor numérico de 
uma estatística 
SX ,
ˆ
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Distribuição amostral da média 
X 
X 
X 
X 
X 
X 
f(x) 
= ? 
= ? 
= ? 
Distribuição 
amostral da 
média 
f(x) 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
A média da distribuição amostral da 
média 
Sejam X1, X2, ... , Xn VA independentes, todas 
com média X e variância X
2 
 
 
Cuja média e variância são: 
n
XXX
X n


...21
n
X
X

 
XX
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Distribuição amostral da média 
X 
X 
X 
X 
X 
X 
f(x) 
= X 
= X/√n 
= ? 
f(x) 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Distribuição amostral da média 
x 
x 
? 
)(Xf
)(Xf
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Distribuições das médias de “n” dados 
1 dado Média de 2 dados Média de 3 dados Média de 4 dados Média de 5 dados Média de 6 dados Média de 8 dados Média de 10 dados Média de 15 dados Média de 20 dados Média de 25 dados Média de 30 dados 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Distribuição amostral da média 
x 
x 
Conclusão: 
Quanto maior o tamanho 
da amostra (n) mais a 
distribuição da média da 
amostra se aproxima da 
normal, com média µX e 
variância σ²X/n 
)(Xf
)(Xf
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Distribuição amostral da média 
 Se a distribuição amostral da média tende à 
normal quando n cresce, ela pode ser 
padronizada por: 
 
 
 ou 
 
 
que tende à normal com µZ = 0 σZ = 1 quando n cresce 
X
X
X
Z



n
X
Z
X
X



Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Teorema central do limite 
 Se é a média de uma amostra aleatória de 
tamanho n, obtida de uma população com média  e 
variância  2, então 
 é uma VA cuja distribuição mais se aproxima da 
distribuição normal padronizada à medida que n tende 
a infinito. 
 
(Note que não importa qual seja a distribuição de X, a distribuição da sua média se 
aproxima da normal à medida que n cresce) 
X
n
X
Z



“Teorema do sopão” 
• Quanto mais 
ingredientes 
diferentes forem 
misturados à 
mesma sopa, mais 
e mais o seu gosto 
se aproximará do 
gosto único, típico 
e inconfundível do 
"sopão". 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Problema 
 Um fabricante produz resistores com média 
100Ω, desvio padrão 10Ω e distribuição 
normal. Calcule a probabilidade da média de 
uma amostra aleatória de n=25 ser menor que 
95Ω. 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Solução 
 A população das médias apresentará: 
 
 
 
 A probabilidade será a área sombreada. 
 
P 


2
25
10
100
X
X


100,0 95,0 
5,2
2
1009595
95 




X
Xz 

%62,00062,0
)5,2()95(

 ZPXP
P 
0,0 -2,5 
Z 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Intervalo de confiança para a média 
quando a variância é conhecida 
 Se Z é uma variável aleatória com distribuição normal 
padronizada, é fácil verificar que há uma 
probabilidade 0,95 de Z estar dentro dos limites: 
 
 
960,1960,1  Z
0,95 
0,025 0,025 
1,960 -1,960 
Z 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Intervalo de confiança para a média 
quando a variância é conhecida 
 Se Z é uma variável aleatória com distribuição normal 
padronizada, então há uma probabilidade 1 - α de Z 
estar dentro dos limites: 
 
 
Denomina-se por: 
 α o nível de 
 significância 
 1 - α o nível 
 de confiança 
2/2/  zZz 
1 - α 
α/2 α/2 
zα/2 -zα/2 
Z 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Intervalo de confiança para a média 
quando a variância é conhecida 
 A desigualdade: 
 
 
 pode ser reescrita como: 
 
 e, finalmente, como: 
 
 
 que é o intervalo de confiança para a média da 
população estimada a partir da média da amostra. 
2/2/  

z
X
z
X
X 


XXX
zXzX   2/2/ 
n
zX
n
zX XX
X   2/2/ 
tem 1 - α de probabilidade de 
ser satisfeita 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Problema 
 Um fabricante produz resistores com desvio 
padrão 10Ω e distribuição normal. A média de 
uma amostra aleatória de n=25 foi 98,0Ω. 
Calcule o intervalo de confiança para a média 
da população de resistores produzidos. Use o 
nível de confiança 95,0%. 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Solução 
 A população das médias apresentará: 
 
 
 O nível de significância (α) é calculado por: 
 
 
 
 2
25
10
XXX
e 
960,1
025,02/
050,0
950,01
2/ 







Z
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Solução 
 O intervalo de confiança para a média: 
 
 
 
 
 
 
 
 Há 95,0% de chances da média da população se 
situar dentro do intervalo (98,0 ± 3,9) Ω 
n
zX
n
zX XX
X   2/2/ 
25
10
960,10,98
25
10
960,10,98  X


)9,30,98(
92,10108,94
X
X


Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Tamanho da amostra quando a 
variância é conhecida 
 A equação: 
 
 
 Pode ser reescrita como: 
 
 
 Que, no limite, se reduzà igualdade. 
 Resolvendo para n: 
 
 
 
2/2/  

z
n
X
z
X
X 


2/


z
n
X
X
X


2
2/










X
X
X
z
n

 XX 
Sendo: 
= o intervalo de 
confiança aceitável 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Problema 
 No problema anterior qual seria o tamanho 
mínimo da amostra para assegurar que 
tamanho do intervalo de confiança da média 
da população é de ±5Ω? Use o nível de 
confiança 95,0%. 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Solução 
 Para que a incerteza do intervalo de confiança 
seja ±5Ω é necessário que no limite: 
 
 Calculando o tamanho mínimo da amostra: 
 
 
 
 As amostras devem ter tamanho n = 16 
 5XX 
3,15
5
10960,1
2
2
2/ 




 











X
X
X
z
n


Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Intervalo de confiança para a média 
quando a variância não é conhecida 
 Neste caso, o desvio padrão é estimado a partir 
da amostra por: 
 
 
 Define-se então a estatística: 
 
 
 Que possui distribuição t de Student com ν = n-1 
graus de liberdade 
 





n
i
iX xx
n
S
1
2)(
1
1
nS
X
T
X
X
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Cervejaria Guinness - Dublin 
William Sealy Gosset 
(1876 a 1937) 
EMC 5223 – Estatística e Metrologia para Engenharia 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Distribuição t de Student 
Normal t de Student (u = 4) 
-6 -4 -2 0 2 4 6
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Intervalo de confiança para a média 
quando a variância não é conhecida 
 A desigualdade: 
 
 
 pode ser reescrita como: 
 
 e, finalmente, como: 
 
 
 que é o intervalo de confiança para a média da 
população estimada a partir da média da amostra. 


;2/;2/ t
S
X
t
X
X 


XXX
StXStX   ;2/;2/ 
n
S
tX
n
S
tX XX
X
  ;2/;2/ 
tem 1 - α de probabilidade de 
ser satisfeita 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Problema 
 Um fabricante produz resistores com desvio 
padrão desconhecido e distribuição normal. A 
média de uma amostra aleatória de n=25 foi 
98,0Ω. O desvio padrão da amostra foi 10,0Ω. 
Calcule o intervalo de confiança para a média 
da população de resistores produzidos. Use o 
nível de confiança 95,0%. 
 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Solução 
 A amostra de n=25 forneceu os parâmetros: 
 
 O intervalo de confiança é calculado por: 
 
 
 
 
 
 Há 95,0% de chances da média da população se situar 
dentro do intervalo (98,0 ± 4,1) Ω 
 
 
 
 
 0,100,98 Xsex
n
S
tX
n
S
tX XX
X
  ,2/,2/ 
25
10
064,20,98
25
10
064,20,98  X
 )1,40,98(13,10287,93 XX ou 