A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
51 pág.
Capitulo I

Pré-visualização | Página 1 de 4

Capitulo I
Mecânica estatística Clássica
Cap. 10
Alonso & Finn - Volumen III
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
Equilíbrio Estatístico
• Sistema Isolado composto por um grande número de 
„partículas‟ N
– „Partícula‟ é um termo geral que pode significar elétrons, átomos, 
moléculas, ou seja, cada entidade constituinte do sistema.
• Cada partícula do sistema tem a sua disposição vários 
estados de energia possíveis E1, E2, E3, ...
• Em um determinado instante as partículas estão distribuidas 
nos estados de energia com ni partículas em cada estado 
Ei. 
• O número total de partículas e a energia interna do sistema 
são dados por: 
p p
i i i ij ijk
i i pares trios
N n U n E E E 
2
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Casos específicos:
– Partículas não interagentes:
– Cada partícula sente um „campo médio‟ das 
outras partículas:
i i
i
U n E
k p
i i i
i i
i
E E E
U n E
p p
i i ij ijk
i pares trios
U n E E E 
p p
i i ij ijk
i pares trios
U n E E E 
p p
ij i
E E
3
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Se o sistema esta isolado, ou seja, não 
existe troca de energia do sistema de N 
partículas com o „mundo exterior‟, então a 
energia U deve se conservar.
– Mas as partículas podem trocar de „estado‟ 
via colisões e outras interações entre elas, 
mas a soma de todas as energias deve se 
conservar.
– Ou seja, n1, n2, n3, ... pode mudar de um 
instante para outro.
• O conjunto {ni} forma o que definimos 
como partição.
4
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• A Mec Estatística considera que existe uma
partição mais provável para um sistema dadas
as condições de partida do sistema (número de
partículas, energia total, forma de interação, etc.).
• Uma vez atingida a partição mais provável,
dizemos que o sistema está em equilíbrio
estatístico.
• Num sistema isolado, o número médio das
partículas nos diferentes níveis de energia deve
permanecer constante.
• Um sistema em equilíbrio estatístico só poderá
mudar a sua partição mais provável se for
perturbado por um agente externo
5
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• O problema fundamental da Mecânica
Estatística é encontrar qual é esta partição
mais provável, também chamada de Lei
de Distribuição de um sistema isolado
dada a sua composição e as condições
iniciais.
6
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
Lei de Distribuição de Maxwell-Boltzmann
James C. Maxwell (1831-1879) - Ludwig Boltzmann (1844-1906)
• Sistema de partículas idênticas, 
indistinguíveis e não interagentes:
– Idênticas = as partículas tem a mesma estrutura 
interna e composição.
– indistinguíveis = é impossível distinguir entre 
uma partícula e outra, é impossível „marcar‟ 
cada uma das partículas idênticas.
– Idênticas e indistinguíveis – parece óbvio???
7
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Representaremos uma 
determinada partição {ni} de 
forma geométrica com na 
figura.
• Partição da figura:
– n1=3, n2=n3=2, n4=n5=n6=1
E1
E2
E3
E4
E5
E6
• Hipótese I: Todos os estados do sistema tem a mesma
chance de serem ocupados. Ou, todos os estados são
igualmente acessíveis.
• Hipótese II: A probabilidade de uma dada partição é
proporcional ao número de maneiras diferentes em que
as partículas podem ser distribuídas entre os estados
disponíveis de energia para gerar a partição.
8
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Consideremos primeiro que as 
partículas são distinguíveis
(podemos “marcar” cada uma 
delas!)
• De quantas maneiras diferentes 
podemos então obter a partição 
da figura?
• Ou, de quantas maneiras 
diferentes podemos obter n1=3, 
n2=n3=2, n4=n5=n6=1 com as 10 
partículas ?
– Permutar partículas entre níveis 
diferentes gera „configuração‟ 
diferente,
– Permutar partículas no mesmo nível 
não gera configurações diferente.
E1
E2
E3
E4
E5
E6
a b c
d e
E1
E2
E3
E4
E5
E6
a d c
b e
9
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Começando então com 
o estado E1:
– Existem N maneiras 
diferentes de escolher a 
1ª partícula deste estado, 
(N-1) de escolher a 2ª 
partícula e (N-2) de 
escolher a 3ª partícula.
– Então os modos 
diferentes de se popular 
o 1º estado com três 
partículas é dado por:
E1
E2
E3
E4
E5
E6
1 2
3
N!
N N N
N !
• Como podemos 
escolher qquer uma das 
combinações possíveis 
de permutação das 3 
partículas do estado E1, 
devemos dividir por 3!
1 1
3 3 n n
N! N!
! N ! ! N !
10
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Para o estado E1:
• Para o estado E2:
• Para o Estado E3:
• ... 
• Probabilidade Total então:
1 1 2
1 1 2 1 2 3 1 2 3
N n ! N n n !N!
P
n ! N n ! n ! N n n ! n ! N n n n !

1 2
3 1 2 3
N n n !
n ! N n n n !
1
2 1 2
N n !
n ! N n n !
1 2 3
N!
P
n !n !n !
11
1 1
n n
N!
! N !
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• „Desfazendo a Hipótese I‟: Os estados do sistema podem ter chances ou 
probabilidades diferentes de serem ocupados. Cada estado tem 
probabilidade intrínseca gi.
• Se gi é a probabilidade de encontrar uma partícula no estado Ei, então a 
probabilidade de encontrar duas partículas é gixgi = gi
2 ... ni partículas -> 
gi
ni
• Então a probabilidade de uma determinada partição é agora:
• Considerando agora as partículas indistinguíveis, ou seja não é possível 
diferenciar se a partícula a está no estado 1 e a partícula b no estado 2 
ou vice-versa. 
• A permutação das N partículas não geram mais partições diferentes 
portanto devemos dividir por N!
31 2
1 2 3
1 2 3
nn n
N! g g g
P
n !n !n !
 

31 2
1 2 3
11 2 3
inn n nN
i
i i
g g g g
P
n !n !n ! n !


Probabilidade de uma partição na 
Estatísitica de Maxwell – Boltzmann:
Conjunto de partículas idênticas e 
indistinguíveis
12
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Qual é a partição mais provável na Estatística de 
Maxwell-Boltzmann?
– Exemplo 10.1 (pg 452) + apêndice VI (pg 592)
– Achar o máximo de P em relação aos ni.
– Podemos facilitar as coisas lembrando que o máximo 
de P corresponde ao máximo de lnP.
– Usando a aproximação de Stirling para o ln(ni!)
1 1
0
i in nN N
i i
i
ii ii i i
g g
P dP dn
n ! n n !
1
inN
i
i i i
ii i
g
lnP ln lnP n lng lnn !
n !
 para x muito grandelnx! xlnx x
13
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Usando então a aproximação de Stirling:
• Calculando agora dlnP:
i
i i i i i i
i i i
n
lnP n lng n lnn n N n ln
g
1
i
i i
i i i
i
i i i
i ii i
i
i i
i ii
n
d lnP n ln dn
n g
n
d lnP ln dn n dn
g n
n
d lnP ln dn dn
g
14
UFS-DFI-IntroMecEst – Mário E G Valerio – 2010/2
• Mas os ni‟s não são todos independentes já que:
• Como o sistema é isolado, tanto N qto U se 
conservam, ou seja, dN=0 e dU=0.
• O problema então que temos para resolver é como 
achar o máximo de lnP com as condição N e U 
constante, chamadas de equações de vínculo:
• Resposta: usando o método dos multiplicadores de 
Lagrange. 
– (Multiplicadores de Lagrange) ou material do Fleming 
(http://fma.if.usp.br/~fleming/lagrange/lagrange.html)
i i i
i i
N n e U n E
0 0
i i i
i i
dN dn e dU E dn
15
Multiplicadores de Lagrange em 5 minutos
(adaptado do material do Prof H Fleming: http://fma.if.usp.br/~fleming/lagrange/node4.html)
• Suponha que queiramos achar máximo da função f(x,y,z) com 
a condição (vínculo) g(x,y,z)=0.