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Capitulo IV

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da mudança de ocupação dos estados
pelos elétrons qdo T varia, vemos que a temperaturas muito
abaixo de ΘF, cV eletrônico é muito pequeno.
– Comparando as tabelas de ΘF e ΘD ...
60
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
Gás ideal na Estatística Quântica
• Consideremos um sistema de N partículas não interagentes,
um gás ideal, contido numa caixa de volume V.
• Só que agora a distribuição das partículas nos estados ou
segue Bose-Einstein, para gases com spin inteiro, ou Fermi-
Dirac, para partículas de spin semi-inteiro.
• Recordando o que sabemos de um gás ideal na estatística
de Maxwell-Boltzmann:
1
2
1
2
3
3
4πV 2m
g E dE= E dE
h
3
2
3
V 2πmkT
Z=
h
3 3 3
A2 2 2
U= NkT= N kT= RT
NkT
P=
V
1 2 3
2
2
22 22 2
3 31 2 1 2
k k k2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 2 32
0 , r na caixa de dimensões a,b,c
2 fora da caixa
k k zk k k k
E Csen sen sen
2m a b c a b c
Se for um cubo: a=b=c e E= k k k
2ma 2ma
ˆ ˆ ˆˆH p V(r) V(r)
m
x y
x,y, z


  2
2
k
61
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Consideremos primeiro que os átomos ou
moléculas do gás são bósons.
• Estatística de Bose-Einstein com estados
contínuos:
• Então o número total de partículas N é dado
por:
1
1
k
1
2
1
2
k
3
3
g E dE
dn
4πV 2mdn E
=
dE h
E
T
E
T
e
e
3
2
1
2
3
0
0
V 2πmkTdn
N dE Como: Z=
dE
2Z x E
N dx, onde x=
1 kTxe
h
62
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Usando a expansão:
• O número total de partículas fica:
21 1
1 1
x
x x x x
x x
e
e e e e e
e e
 
1
2
1
2
1 1
2 2
2
0 0
2
0 0
2Z x 2Z
N dx= x dx
1
2Z
N x dx x dx
x x
x
x x
e e e
e
e e e e


1
2
1 1
2 2
3 3 3
2 2 2
0
2
0 0
3
x dx
2 2
1 1 3 1
x dx t dt
2 22 2 2
x
x t
e
e e
3
2
1
N Z 1
2
e e 
63
0
1
1
k
k
a
ar , r
r
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Esta expressão em tese permite obter α
como função de N.
3
2
1
N Z 1
2
e e 
3
2
1
N 1
1
Z 2
e e 
3 3
2 2
1
N 1 N N 1 N
1 1
Z Z Z Z2 2
e  
Em 1ª aproximação consideramos e-α=N/Z do lado direito da equação !
64
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Podemos agora calcular U:
• Usando agora o valor de e-α :
3
2
0 0
2ZkT x
U Edn dx
1xe
5
2
1
3 1
U kTZ 1
2 2
e e 
3 5
2 2
3 5
2 2
3 5
2 2
3 N 1 N 1 N
U kTZ 1 1
2 Z Z Z2 2
3 1 N 1 N
U kTN 1
2 Z Z2 2
3 1 N 1 3 1 N
U kTN 1 1 U kTN 1
2 Z 2 2 Z2 2
 

 
3
2
N 1 N
1
Z Z2
e 
65
5
2
1 N
1
Z2

Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• O efeito quântico da estatística de Bose-
Einstein é de diminuir a energia interna do
gás em relação ao valor de Maxwell-
Boltzmann.
5
2
3 1 N
U kTN 1
2 Z2

Gás ideal Maxwell-Boltzmann
Correção quântica
“Degenerescência” do gás 
66
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Vamos obter agora a equação de estado associada
a P para deste gás de bósons ideal (exemplo 13.7).
S
U
P
V
Podemos usar:
i i
n E
i
U
Por outro lado, nos vimos no capítulo 2 que manter S constante, significa 
manter a partição inalterada e portanto, manter os ni fixos. Então:
i
i
S
EU
P n
V Vi
2 2 2 2
2 2 2 2
i 1 2 32 2
Para um cubo: E = k k k
2ma 2ma
k
 
2 5
3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2i i
2
E E2 2
=
V V 2ma V 3 3 V2mV 2mV
k k k
  
i
i
E2 2 U
P n
3 V 3 Vi
5
2
2 U kTN 1 N
P 1
3 V V Z2

67
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Observe que :
• O que significa dizer que os efeitos da
„degenerescência‟ do gás são importantes a baixas
temperaturas.
• A medida que a temperatura aumenta, o
comportamento se aproxima do gás ideal de
Maxwell-Boltzmann
• Para a maioria dos gases a P e T normais, N/Z é da
ordem de 10-5 e eles podem ser tratados com base
na estatística de M.-B. !!!
3
2
3
2-
3
V 2πmkT N N
Z= T
Z Vh
5
2
3 1 N
U kTN 1
2 Z2
 5
2
kTN 1 N
P 1
V Z2

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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
•Faremos agora o caso da estatística de Fermi-Dirac,
ou seja para os gases que são férmions.
•Neste caso α pode ser >0 ou <0, dependendo do
caso.
•Vamos tratar somente o caso de α<0, em
temperaturas bem baixas.
–No limite de baixas T, εF é constante e a energia interna do gás é:
–Lembrando que:
–Mas:
–Então:
3
5 F
U N
3
5
F
S
U
P P N
V V
2 2
3 3
5
3-
3N 3N 2 2
V
V V 3 3 V
F F
F
.
2 2h h
8m π 8m π
F
ε2
P N
5 V
Pressão de ponto zero
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
Comparação das 3 estatísticas
• Maxwell-Boltzmann:
• Fermi-Dirac:
• Bose-Einstein:
• Podemos escrever as 3 da seguinte forma:
iE 1e
i
i
g
n
iE 1e
i
i
g
n
iEe
i i
n g
iE
0 Maxwell-Boltzman
1 Bose-Einstein
1 Fermi-Dirac
ei
i
g
n
70
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Se ni<<gi, ou seja, para sistema com poucas
partículas em relação aos estados
disponíveis, as 3 estatísticas dão resultados
idênticos.
• Este efeito ocorre em altas temperaturas
devido ao aumento de α com T
• Isto significa dizer que para vários sistemas
físicos nas T usuais podemos usar M.-B.!!!!
iE
0 Maxwell-Boltzman
1 Bose-Einstein
1 Fermi-Dirac
ei
i
g
n
71