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Ronildo Oliveira da Silva
Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve
Introdução ao Estudo de Integrais
Quixadá
2015, Junho
Ronildo Oliveira da Silva
Cálculo Diferencial e Integral I - Uma Breve Introdução
ao Estudo de Integrais
Resumo à respeito do contexto, aplicabili-
dade, e definições sobre integrais aprendidos
no curso de Cálculo Diferencial e Integral I.
Universidade Federal do Ceará
Campus Quixadá
Bacharel em Ciência da Computação
Quixadá
2015, Junho
Agradecimentos
Agradeço aos meus professores de Cálculo da Universidade Federal do Ceará (UFC) Elvis
Miguel Galeas Stancanelli, Ricardo Reis Pereira e em especial ao Prof. Antônio Joel Ramiro
de Castro que propôs esse trabalho, que nos acompanhou e orientou durante o primeiro
semestre de 2015.
Resumo
Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e
indefinidas.
Palavras-chaves: integral. cálculo.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I ESTUDO SOBRE INTEGRAIS 13
1 PARA QUE INTEGRAIS? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Aritméticas de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Teorema da Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Área Como Limite de um Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II TABELA DE INTEGRAIS 23
2 TABELA DE INTEGRAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Integrais Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Integral com Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Integrals with Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Integrais com Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Integrais de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11
Introdução
Esse trabalho representa uma breve explanação sobre o estudo de Integrais definidas e
indefinidas.
Parte I
Estudo Sobre Integrais
15
1 Para que Integrais?
No cotidiano computacional, podemos nos deparar com a seguinte questão: Qual o melhor
algoritmo para se usar? Qual o mais rápido? Tendo dois algoritmos de complexidades
diferentes, como saber qual deles é o menos nocivo à máquina? Podemos ver nitidamente
qual o mais eficiente?
Para analisarmos essas informações, apresentaremos de uma forma objetiva as definições e
propriedades de Integrais.
Veremos também as diferenças entre integrais definidas e indefinidas, cálculo de áreas sob
curvas, as ideias iniciais de integral e os primeiros passos dos grandes nomes da matemática
que contribuíram para o estudo do Cálculo.
1.1 Primitivas
Como o título já diz tudo, veremos como são definidas funções primitivas o que nos
faz lembrar de derivadas, mas como os opostos se atraem, estudaremos com as duas
definições de mãos dadas. Considere duas funções f(x) e F (x) ∈ R e contínua num
intervalo real i. Utilizando dos conceitos aprendidos em derivadas, se derivarmos F (x),
essa será equivalente a f(x), ou seja, F ′(x) = f(x).
Chamemos F (x) de função primitiva.
Exemplificando a situação, se tivermos uma função G(x) = x2 + 4x + 16 e se
também tivermos uma função g(x) = 2x+ 4.
G(x) é uma primitiva de g(x).
No exemplo acima, percebemos que G(x) = ax2 + bx+ c, onde c é uma constante.
Para qualquer valor de c, a derivada de G(x) será a mesma, pois a derivação de uma
constante sempre é 0.
Se seus problemas são constantes, derive-os (??, 5.3).
Agora vamos às integrais. No caso geral, para qualquer função y = F (x) + c, com
c ∈ R, são todas primitivas de f(x), isso é o que denominamos de família de primitivas
representada pelo símbolo operador
∫
, e expressa da seguinte forma:
F (x) = F (x) + c =
∫
f(x) dx
16 Capítulo 1. Para que Integrais?
1.2 Integrais Indefinidas
Assim como os pães, bolos, biscoitos, arroz e demais produtos, vamos abordar o conceito
de Integrais de uma maneira bem light.
Na definição acima, f(x) é o integrando e
∫
f(x) dx é a integral indefinida de f(x).
1.2.1 Integral Indefinida em um polinômio
Seja f(x) = 3x4 + 4x2 + 5, sua primitiva é:
F (x) = 3x4+14+1 +
4x2+1
2+1 +
51+1
1+1 =
F (x) = 3x55 +
4x3
3 +
52
2
Para termos certeza do conceito, calculamos F ′(x):
F ′(x) = 5·3x45 +
3·4x2
3 +
2·51
2 =
F ′(x) = 3x4 + 4x2 + 5
Isso nos leva a acreditar que F (x) nada mais é do que um candidato vindo da
família de primitivas da função f(x). O que nos leva a considerar que:
∫
xndx = 1
n+ 1x
n+1 + c, n 6= −1 , c, n ∈ < (1.1)
1.2.2 Integral Indefinida de f(x) por uma constante
Já que estamos falando de constantes, seja a, uma constante real aplicada a uma integral
indefinida:
∫
a · f(x)dx = a ·
∫
f(x)dx (1.2)
Exemplo:
Seja f(x) = x3 + 4x2 :
∫
6 · (x3 + 4x2)dx = 6 ·
∫
x3 + 4x2dx =∫
(6x3 + 24x2)dx = 6 ·
∫
x3 + 4x2dx =
6x4
4 +
24x3
3 = 6 ·
(
x4
4 +
4x3
3
)
=
6x4
4 +
24x3
3 =
6x4
4 +
24x3
3
1.3. Métodos de Integração 17
1.2.3 Aritméticas de Integrais
Sejam f(x) e g(x) duas funções quaisquer, a integral da soma de ambas é equivalente a
soma das suas respectivas integrais.
∫
(f(x)± g(x))dx =
∫
f(x)dx±
∫
g(x)dx (1.3)
1.2.4 Teorema da Linearidade
O que vimos nas subseções nos leva a considerar as seguinte informação:
Sejam F , G primitivas de f e g, respectivamente, num intervalo e α, β ∈ <. Então
α · F + β ·G é uma primitiva de α · f + β · g.
∫
(α · f(x) + β · g(x)) dx = α
∫
f(x)dx+ β ·
∫
g(x)dx (1.4)
Exemplo:
Calcule
∫
sin2(x)dx
sin2(x) = 12(1− cos(2x))∫
sin2(x)dx = 12
∫
(1− cos(2x))dx =
x
2 −
sin(2x)
4 + c
1.3 Métodos de Integração
1.3.1 Método de Substituição
Sejam Fuma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F (g) esteja
definida. Usando a regra da cadeia, temos, (F (g(x)))′ = F ′(g(x)) · g′(x) = f(g(x)) · g′(x).
Então F (g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g′(x), então: ∫ f(g(x)) · g′(x)dx = F (g(x)) + c
Seja g(x) = u, du = g′(x)dx. Feita a substituição:
∫
f(g(x)) · g′(x)dx =
∫
f(u)du = F (u) + c (1.5)
Exemplo:
Calcule
∫ 2x
1+x2dx
Seja u = 1 + x2, entãodu = 2xdx :
18 Capítulo 1. Para que Integrais?
∫ 2x
1 + x2dx =
∫ du
u
=
ln(u) + c = ln(x2 + 1) + c
1.4 Integrais Definidas
Definiremos uma integral definidacomo um modelo de integral que estabelece limites de
integração na forma,
b∫
a
f(x)dx (1.6)
(lê-se integral de f(x) de a até b) onde {a, b} ∈ <, a ≤ b e denotam os limites de
integração (a representa o limite de integração inferior e b o limite de integração superior).
Seja uma função f(X) =
∫
F (x)dx, então, pela definição acima, temos:
Note que, se tivermos uma variação de intervalo nula, teremos uma área nula.
b∫
a
F (x) = f(b)− f(a) (1.7)
Exemplo:
Calcule
1∫
−1
x
4
3 + 4x 13dx
1∫
−1
x
4
3 + 4x 13dx =
3
7x
7
3 + 4 · 34x
4
3 lim inf −1 lim sup 1 =
3
7 + 3− (−
3
7 + 3) =
6
7
1.5. A Integral de Riemann 19
1.5 A Integral de Riemann
Voltaremos alguns anos para conhecer um pouco de um grande nome da matemática:
Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826
— Selasca, Verbania, 20 de Julho de 1866) foi um matemático alemão, com contribuições
fundamentais para a análise e a geometria diferencial.No ramo da análise real, a integral de
Riemann foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo
dado e se tornou uma das definições mais simples que temos atualmente.
Figura 1 – Georg Friedrich Bernhard Riemann
Fonte: wikipedia.com
A noção de integral definida, cuja origem foi a formalização matemática da ideia
do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de funções.
1.6 Gráficos
Se na antiguidade existia um problema matemático era o de calcular a área de figuras com
regiões curvas.Arquimedes (matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego
que viveu entre 287a.C. à 212a.C), criou por exaustão, um método que calculasse áreas
desse tipo, em especial, um círculo.
Essa metodologia consistia em inscrever na figura sucessivos polígonos com um número de
lados cada vez maior. A ideia é que devido ao aumento de lados do polígono em questão
(com melhor visualização se utilizar-mos polígonos regulares), nos aproximaríamos cada
vez mais da área desejada.
Observe:
De modo análogo, podemos calcular a área entre o gráfico de uma função em um
intervalo [a, b] e o eixo das abscissas. Para se ter uma ideia inicial da área compreendida
entre o gráfico de uma função e o eixo dos x, dividimos o intervalo em subintervalos de
larguras iguais. A seguir, marcamos o ponto da função correspondente a cada um dos
20 Capítulo 1. Para que Integrais?
Figura 2 – Método de cálculo da área de um círculo
Fonte: wikipedia.com
pontos médios dos intervalos que criamos no passo anterior e desenhamos retângulos. A
área da região será, aproximadamente a soma da área de todos os retângulos construídos.
Figura 3 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x
2 4 6 8 10
20
40
60
80
1
Aproximação com 3 retângulos
Percebe-se que, com um número pequeno de retângulos é muito provável que a
área não terá uma aproximação significante, pois alguns retângulos poderão ultrapassar os
limites do gráfico da função ou deixar espaços não pertencentes ao "limite"do gráfico.Assim,
dobrando a quantidade de retângulos, tenderemos a eliminar essas imperfeições. Logo, se
preenchermos tal espaço com um número infinito de retângulos, a soma da área de todos
eles será igual à área entre a curva e o eixo das abscissas.
Alguns exemplos serão dados para demonstrar de maneira gráfica como o aumento da
quantidade de retângulos influencia na aproximação da área da curva sob o eixo x.
1.7. Área Como Limite de um Somatório 21
Figura 4 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x
2 4 6 8 10
20
40
60
80
1
Aproximação com 6 retângulos
Figura 5 – Cálculo da área de uma curva sob o eixo x
2 4 6 8 10
20
40
60
80
1
Aproximação com 60 retângulos
1.7 Área Como Limite de um Somatório
é dada por, Assim seja, função f(x) contínua no intervalo [a, b] cada área restringida pela
curva de f , pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x de cada retângulo xi, com
i = {0, 1, 2, 3, .., n} e n tendendo a ∞ é equivalente à quantidade de retângulos inscritos
sob à curva, podemos considerar que a área sob à curva seja:
A = lim
n=∞∆x
n∑
i=1
|f(xi)| (1.8)
22 Capítulo 1. Para que Integrais?
onde:
∆x = b− a
n
e xi = a+ i ·∆x (1.9)
Parte II
Tabela de Integrais
25
2 Tabela de Integrais
2.1 Integrais Básicas
∫
xndx = 1
n+ 1x
n+1, n 6= −1 (2.1)
∫ 1
x
dx = ln |x| (2.2)
∫
udv = uv −
∫
vdu (2.3)
∫ 1
ax+ bdx =
1
a
ln |ax+ b| (2.4)
2.2 Integrais de Funções Racionais
∫ 1
(x+ a)2dx = −
1
x+ a (2.5)∫
(x+ a)ndx = (x+ a)
n+1
n+ 1 , n 6= −1 (2.6)∫
x(x+ a)ndx = (x+ a)
n+1((n+ 1)x− a)
(n+ 1)(n+ 2) (2.7)∫ 1
1 + x2dx = tan
−1 x (2.8)
∫ 1
a2 + x2dx =
1
a
tan−1 x
a
(2.9)
∫ x
a2 + x2dx =
1
2 ln |a
2 + x2| (2.10)
∫ x2
a2 + x2dx = x− a tan
−1 x
a
(2.11)
∫ x3
a2 + x2dx =
1
2x
2 − 12a
2 ln |a2 + x2| (2.12)
∫ 1
ax2 + bx+ cdx =
2√
4ac− b2 tan
−1 2ax+ b√
4ac− b2 (2.13)
26 Capítulo 2. Tabela de Integrais
∫ 1
(x+ a)(x+ b)dx =
1
b− a ln
a+ x
b+ x , a 6= b (2.14)∫ x
(x+ a)2dx =
a
a+ x + ln |a+ x| (2.15)∫ x
ax2 + bx+ cdx =
1
2a ln |ax
2 + bx+ c| − b
a
√
4ac− b2 tan
−1 2ax+ b√
4ac− b2 (2.16)
2.3 Integral com Raízes
∫ √
x− a dx = 23(x− a)
3/2 (2.17)
∫ 1√
x± a dx = 2
√
x± a (2.18)
∫ 1√
a− x dx = −2
√
a− x (2.19)
∫ √
ax+ b dx =
(
2b
3a +
2x
3
)√
ax+ b (2.20)
∫
(ax+ b)3/2 dx = 25a(ax+ b)
5/2 (2.21)
∫
x
√
ax+ b dx = 215a2 (−2b
2 + abx+ 3a2x2)
√
ax+ b (2.22)
∫
x
√
x2 ± a2 dx = 13
(
x2 ± a2
)3/2
(2.23)
∫ 1√
a2 − x2 dx = sin
−1 x
a
(2.24)
∫ x√
x2 ± a2 dx =
√
x2 ± a2 (2.25)
∫ x√
a2 − x2 dx = −
√
a2 − x2 (2.26)
∫ dx
(a2 + x2)3/2 =
x
a2
√
a2 + x2
(2.27)
2.4. Integrals with Logarithms 27
2.4 Integrals with Logarithms
∫
ln ax dx = x ln ax− x (2.28)
∫
x ln x dx = 12x
2 ln x− x
2
4 (2.29)∫
x2 ln x dx = 13x
3 ln x− x
3
9 (2.30)∫ ln ax
x
dx = 12 (ln ax)
2 (2.31)
∫ ln x
x2
dx = −1
x
− ln x
x
(2.32)
∫
(ln x)2 dx = 2x− 2x ln x+ x(ln x)2 (2.33)
∫
(ln x)3 dx = −6x+ x(ln x)3 − 3x(ln x)2 + 6x ln x (2.34)
∫
x2(ln x)2 dx = 2x
3
27 +
1
3x
3(ln x)2 − 29x
3 ln x (2.35)
2.5 Integrais com Funções Exponenciais
∫
eax dx = 1
a
eax (2.36)
∫
xex dx = (x− 1)ex (2.37)
∫
x2ex dx =
(
x2 − 2x+ 2
)
ex (2.38)
∫
x3ex dx =
(
x3 − 3x2 + 6x− 6
)
ex (2.39)
∫
xneax dx = x
neax
a
− n
a
∫
xn−1eaxdx (2.40)
∫
xe−ax
2
dx = − 12ae
−ax2 (2.41)
28 Capítulo 2. Tabela de Integrais
2.6 Integrais de Funções Trigonométricas
∫
sin ax dx = −1
a
cos ax (2.42)
∫
cos ax dx = 1
a
sin ax (2.43)
∫
cos2 ax dx = x2 +
sin 2ax
4a (2.44)∫
sin2 x cosx dx = 13 sin
3 x (2.45)
∫
cos2 ax sin ax dx = − 13a cos
3 ax (2.46)
∫
tan2 ax dx = −x+ 1
a
tan ax (2.47)
∫
secx tan x dx = secx (2.48)
∫
sec2 x tan x dx = 12 sec
2 x (2.49)
∫
csc2 ax dx = −1
a
cot ax (2.50)
29
3 Conclusão
Finalizo esse trabalho tendo em mente que os pontos básicos e de maiores importâncias
dentro do estudo de Integrais foram claramente abordados.
Espero que esse documento seja de grande utilidade para os interessados em
aprender um pouco dessa ciência tão abrangente.
31
4 Referências bibliográficas
Bernhard Riemann, Wikipédia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_
Riemann> Acesso em 20 de junho de 2015.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro. LTC,
2001.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1. Harbra, 1994.
PEREIRA, Ricardo Reis. Cálculo Essencial.
	Folha de rosto
	Agradecimentos
	Resumo
	Lista de ilustrações
	Sumário
	Introdução
	Estudo Sobre Integrais
	Para que Integrais?Primitivas
	Integrais Indefinidas
	Integral Indefinida em um polinômio
	Integral Indefinida de f(x) por uma constante
	Aritméticas de Integrais
	Teorema da Linearidade
	Métodos de Integração
	Método de Substituição
	Integrais Definidas
	A Integral de Riemann
	Gráficos
	Área Como Limite de um Somatório
	Tabela de Integrais
	Tabela de Integrais
	Integrais Básicas
	Integrais de Funções Racionais
	Integral com Raízes
	Integrals with Logarithms
	Integrais com Funções Exponenciais
	Integrais de Funções Trigonométricas
	Conclusão
	Referências bibliográficas