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Física1

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bloco de massa m repousa sobre uma 
cunha  de  massa  M,  que  por  sua  vez  repousa 
sobre  uma  mesa  horizontal,  como  mostra  a 
figura  ao  lado.  Todas  as  superfícies  são  sem 
atrito.  Se  o  sistema  parte  do  repouso,  com  o 
ponto  P  do  bloco  a  uma  distância  h  acima  da 
mesa, ache a velocidade da cunha no instante em 
que o ponto P toca a mesa. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde v? é a velocidade do bloco com relação à cunha e u? é a velocidade da cunha com relação ao solo. 
Os componentes da velocidade do bloco com relação ao solo são dados por: 
 
( )
2 2 2
22 2 2
2 2 2
;
2 .
sx sy
s sx sy
s
s
v vcos u v vsen
v v v
v vcos u v sen
v v vucos u
α α
α α
α
= − =
= +
= − +
= − +
   (13.1) 
 
Pelo princípio da conservação do momento linear (direção x), podemos escrever: 
 
( )
( )
0
0
0
.
x x
sx
P P
mv Mu
m vcos u Mu
M m u
v
mcos
α
α
=
= −
= − −
+=
   (13.2) 
 
Podemos  também,  utilizar  o  princípio  da  conservação  da  energia  mecânica,  juntamente  com  os 
resultados de (13.1) e (13.2). Assim, 
M
m 
α 
M 
m 
α
v?
u?
 
 
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13 
 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
0
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 ; cos 1
2
s
E E
mv Mumgh
mgh m v v ucos u Mu
M m u M m u cos
mgh m M m u
m cos mcos
M m u
mgh M m u M m u
mcos
m ghcos M m u M m mcos sen
m ghcosu
M m M msen
α
α
α α
α
α α α α
α
α
=
= +
= − ⋅ + +
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+= − + + +
⎡ ⎤= + + − = −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢∴ = ⎢ + +⎢⎣ ⎦
1
2
.⎥⎥⎥  
 
Questão  15  
 
Um combustível muito empregado para motores de foguetes é uma mistura de querosene com 
oxigênio  líquido.  A  queima  deste  combustível  pode  produzir  uma  velocidade  de  escape  igual  a 
2500mڄs  ‐1.  (a) Despreze  a  força  da  gravidade  e  o  peso  dos  tanques  de  combustível,  bombas  etc.  e 
determine a quantidade de combustível que é necessária para cada kg de carga útil, a fim de permitir 
ao  foguete  atingir  a uma velocidade de 13 kmڄs  ‐1,  partindo do  repouso  (a  velocidade de escape na 
atmosfera terrestre vale 11,2 kmڄs ‐1). (b) Na sonda “Mariner”, com destino a Marte, a massa inicial era 
de 1,0 x 105 kg e a carga útil era de apenas 250 kg, correspondendo a uma proporção de 400 unidades 
de massa de combustível para apenas uma unidade de massa de carga útil.Qual seria, nas condições 
especificadas, a velocidade final de um foguete partindo do repouso? 
Resolução: 
a) 
( )
0
3 0
5,2
0 0
ln
13 10 2500 ln
1 181,3
180.
rel
Mv v
M
M
M
M M e M M M M
M
M
=
⋅ = ⋅
= ⋅ ⇒∆ = − = −
∆∴ ≅
 
 
b) 
0
5
1
ln
102500 ln
250
14,98 .
rel
Mv v
M
v
v km s−
=
= ⋅
∴ ≅ ⋅
 
 
 
 
 
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14 
Questão  16  
 
Consideremos uma partícula sobre a qual age uma força de mesma direção e sentido que sua 
velocidade. (a) Usando a relação relativística F = d(mv)/dt para uma única partícula, mostre que 
 
2F ds mv dv v dm⋅ = ⋅ + , 
 
em  que  ds  representa  um  deslocamento  infinitesimal.  (b)  Usando  a  relação  relativística 
( )2 2 2 201v m m c= − , mostre que 
2 2
0
2
m cmv dv dm
m
⋅ = . 
 
(c) Substitua as relações para mvڄdv e v2 na expressão resultante em (a) e mostre que 
 
( ) 20W Fds m m c= = −∫ . 
Resolução: 
a) 
( )
2
2
2
;
.
d mv dv dmF m v
dt dt dt
dv ds dm ds dsF m v v
ds dt ds dt dt
dv dmF mv v
ds ds
dv dmFds mv v ds
ds ds
Fds mvdv v dm
= = +
= ⋅ + ⋅ →
= +
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∴ = +
∫ ∫
 
 
 
b) 
( )2 2 20
2
2 2
0 3
2 2 2 2
0 0
2 2
1
22
d v md c
dt dt m
dv dmv c m
dt m dt
c m c mdv dmmv mv dv dm
dt m dt m
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞− ⎟⎜=− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
= ⋅ ∴ ⋅ =
 
 
c) 
2
2 2 2
20 0
2 21
Fds mv dv v dm
c m mW dm c dm
m m
= ⋅ +
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
 
 
 
 
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15 
( )
0
0 0
2 2 2 2 2
0 0
2
0
1 1
.
m m
m
m
m m
W m c m c m c
m m
W m m c
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∴ = −
 
 
Questão  17  
 
Um vagão‐prancha de estrada de ferro, de peso W, pode deslocar‐se sem atrito ao longo de um 
trilho horizontal reto, como mostra a figura. Inicialmente, um homem de peso w está parado sobre o 
vagão, que se desloca para a direita com velocidade v0. Qual será a variação da velocidade do vagão se 
o homem correr para a esquerda de modo que sua velocidade em relação ao vagão seja vrel exatamente 
antes dele saltar pela extremidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Seja u, a velocidade do homem com relação ao solo. Assim,  
 
relu v v′= −  
 
 
com v’ sendo a velocidade final do vagão, imediatamente antes do homem saltar. Pela conservação do momento 
linear, teremos: 
 
( )
( )
( )( )
0
0
0
0 ; , ,
.
rel
rel
rel
rel
M m v Mv mu
M m v Mv mv mv
M m v v mv
mvv v w mg W Mg
M m
w vv
W w
′+ = −
′ ′+ = − +
′+ − =
′− = = =+
⋅∴∆ = +
 
 
Questão  18  
 
Uma gota de chuva com massa variável. No problema da propulsão de um foguete, a massa é variável. 
Outro problema com massa variável é fornecido por uma gota de chuva caindo no interior de uma nuvem que 
contém muitas  gotas minúsculas.  Algumas  dessas  gotículas  aderem  sobre  a  gota  que  cai,  fazendo,  portanto, 
aumentar sua massa à medida que ela cai. A força sobre a gota de chuva é dada por 
 
0v
?u
?
 
 
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16 
ext
dp dv dmF m v
dt dt dt
= = + . 
 
Suponha que a massa da gota de chuva dependa da distância x percorrida durante sua queda. Então, m = kx, 
onde k é uma constante, portanto dm/dt = kv. Como Fext = mg, obtemos: 
 
( )dvmg m v kv
dt
= + . 
 
Ou, dividindo por k 
 
2dvxg x v
dt
= + . 
 
Essa equação diferencial possui uma solução da forma v = at, onde a é uma aceleração constante. Considere a 
velocidade inicial da gota igual a zero. a) Usando a solução proposta para v, determine a aceleração a. b) Calcule 
a distância percorrida pela gota até o instante t = 3,00 s. c) Sabendo que k = 2,00 gڄm ­1, ache a massa da gota de 
chuva para t = 3,00 s. Para muitos outros aspectos intrigantes deste problema veja o artigo de K. S. Krane, Amer. 
Jour. Phys. Vol 49 (1981), p. 113 – 117. 
Resolução: 
a) Tomando a expressão para a velocidade proposta, podemos obter a expressão para x: 
 
2
0
.
2
t
dxv at
dt
atx at dt x
= =
′ ′= ⇒ =∫
 
 
Substituindo na equação diferencial, teremos: 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2
.
3
at atg a a t
ag a a
ga
/ / /= +
= +
∴ =
 
 
b) Voltando para a expressão de x, teremos: 
 
2 210 3
3 2 3 2
15 .
g tx
x m
/
= ⋅ = ⋅/
∴ =
 
 
 
c) Podemos concluir então, que a massa da gota vale: 
 
2 15 30 .
m kx
m m g
=
= ⋅ ∴ =