Lista 5 Derivada Implicita e L'Hopital

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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Lista 5 – Derivadas Impl´ıcitas e L’Hoˆpital
1. Considere a func¸a˜o f(x) = ln(x2 + 1) definida nos reais. Deˆ a equac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f(x) no ponto x = 0.
2. Considere a func¸a˜o f(x) =
x8 + 3
x2 + 1
cos4(x) definida nos reais. Deˆ a equac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f(x) no ponto x = 0.
3. Considere a func¸a˜o y = f(x) definida implicitamente por cos(x+ y) = xy, encontre a derivada
dy
dx
.
4. Em cada item fac¸a o que se pede.
a) Encontre
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita para a curva xy + cos y = x3 + y.
b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + e2x em (0, f(0)).
c) Determine lim
x→0
(
1 + 5x
)
−3/x
.
5. Considere a equac¸a˜o cos (3x+ y) = y2 sen x, que define implicitamente y como func¸a˜o de
x, e o ponto P =
(
0,
pi
2
)
.
a) Mostre que P satisfaz a equac¸a˜o dada.
b) Determine
dy
dx
no ponto P .
6. Considere a curva C de equac¸a˜o ln (y2 − 8) = x3y − 3, que define implicitamente y como
func¸a˜o de x. Considere tambe´m o ponto P = (1, 3) .
a) Mostre que P e´ um ponto da curva C.
b) Determine
dy
dx
, em termos de x e y.
c) Obtenha uma equac¸a˜o para a reta tangente a` curva C no ponto P.
7. Em cada item fac¸a o que se pede.
a) Encontre
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita para a curva xy + y2 = arctan(x3).
b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + ln(ex) em (1, f(1)).
c) Determine lim
x→0
(
cos(x)
)2/x
.
8. Calcule os limites abaixo, utilizando, sempre que necessa´rio, a regra de L’Hoˆpital.
a) lim
x→0
x3
1− cos(x)
b) lim
x→0
(1 + sen (x))3/x
c) lim
x→0
ex − 1
sen (x)
d) lim
x→0+
(
tan(x)
)x/2
e) lim
x→0
(
ex + x
)4/x
.
f) lim
x→0
(1 + sen(x))
1
3x
9. A func¸a˜o g(x) =
ln (x4 + 1)
x
possui ass´ıntotas horizontais? Quais?
10. Seja f(x) = 20
(
x− 1
ex
)
. Verifique se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais. Em caso
afirmativo, determine a equac¸a˜o de cada uma delas.
11. Seja f(x) = x3 e
(−x/2)
, x ∈ R.Determine se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais.
Em caso afirmativo, determine sua(s) equac¸a˜o(o˜es).
12. Considere a func¸a˜o f(x) = x3 ln x. Calcule lim
x→0+
f(x)
13. Considere a func¸a˜o f(x) =
(lnx)3
x
. Calcule lim
x→∞
f(x).
14. Considere a func¸a˜o real f(x) = (pi/2− arctanx) (5x+ 3). Utilize os limites lim
x→−∞
f(x) e
lim
x→+∞
f(x) para determinar as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f(x), se existirem.
15. A reta de equac¸a˜o x = 3 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
ln (x3 − 3x2 − x+ 4)
x2 − 9
?
16. Calcule o limite abaixo
lim
x→0
x3 ln(x+ 4).
A reta x = 0 e´ uma ass´ıntota vertical? E x = −4?
Respostas
1. A equac¸a˜o e´ y = 0x+ 0 = 0.
2. A equac¸a˜o e´ y = 0x+ 3 = 3.
3.
dy
dx
= −
y + sen (x+ y)
x+ sen (x+ y)
4. a)
dy
dx
=
3x2 − y
x− sen (y)− 1
b) y = 2x+ 1
c) 1
e15
.
5. a) cos(3.0 + pi
2
) = 0 = (pi
2
)2sen (0).
b)−3 − pi
2
4
.
6. a) ln(9− 8) = 0 = 133− 3.
b)
dy
dx
=
3x2y(y2 − 8)
−x3y2 + 8x3 + 2y
.
c)
dy
dx
|
(1,3)
=
9
5
e y = 9
5
x+ 6
5
e´ a reta tangente.
7. a)
dy
dx
=
3x2 − y(1 + x6)
(1 + x6)(x+ 2y)
.
b) y = 3x− 1.
c) 1.
8. a) 0.
b) e3.
c) 1.
d) 1.
e) e8.
f) e1/3.
9. Sim, y = 0 para x→ ±∞.
10. Sim, y = 0 e´ ass´ıntota horizontal para x→ +∞. Na˜o ha´ ass´ıntota horizontal para x→ −∞.
11. Sim, y = 0 e´ ass´ıntota horizontal para x→ +∞. Na˜o ha´ ass´ıntota horizontal para x→ −∞.
12. lim
x→0+
f(x) = 0.
13. lim
x→+∞
f(x) = 0
14. Sim, y = 5 e´ ass´ıntota horizontal para x→ +∞. Na˜o ha´ ass´ıntota para x→ −∞.
15. A reta x = 3 na˜o e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f .
16. lim
x→0
x3 ln(x + 4) = 0 logo a reta x = 0 na˜o e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f . Por outro
lado, a reta x = −4 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de f pois o limite e´ infinito neste ponto
( lim
x→−4
x3 ln(x+ 4) = +∞).