Terceira Lista de Vetorial

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UFPB/CCEN/Departamento de Matema´tica
CA´LCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALI´TICA - 2010.2
3a LISTA - REVISA˜O
1. Sejam ~u =~i− 2~j +2~k, ~v = 2~i+2~j +~k e ~w = −2~i+~j +2~k. Calcule: ‖~u+2~v‖, ‖(~u−~v)× ~w‖ e (~u−~v) · ~w
2. Considere os vetores ~a = −3~i +~j − 2~k e ~b =~i−~j − 2~k.
a) Os vetores ~a e ~b sa˜o ortogonais?
b) Os vetores ~a e ~b sa˜o LI ou LD?
c) Obtenha um vetor ~c na˜o-nulo que seja ortogonal, simultaneamente, a ~a e ~b.
d) Escreva o vetor ~v = 5~i− 3~j − 2~k como combinac¸a˜o linear dos vetores ~a, ~b e ~c.
3. Os pontos A = (1, 1, 1), B = (−2, −1, 0) e C = (1, −2, -2 ) podem ser ve´rtices de um triaˆngulo? Em
caso afirmativo, determine a a´rea desse triaˆngulo.
4. Sabendo que ~u+ ~v + ~w = ~0, ‖ ~u ‖ = 14 , ‖~v ‖ = 34 e ‖ ~w ‖ = 32 , calcule ~u · ~v + ~v · ~w + ~w · ~u.
5. Determine todos os poss´ıveis vetores ~v tais que ‖~v ‖ = 1, (~v,~i ) = 45o e (~v,~k ) = 60o.
6. Sejam ~a e ~b vetores tais que ‖~a ‖ = √3, ‖~b ‖ = 1 e que (~a,~b ) = 30o . Determine o aˆngulo entre ~a+~b e
~a− 2~b.
7. Sejam ~u =~i− 2~j + 2~k, ~v = 2~i+ 2~j + ~k e ~w = −2~i+~j + 2~k. Verifique se ~u, ~v e ~w formam uma base para
o espac¸o tri-dimensional.
8. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A = (4,−1,−2), B = (2, 5,−6) e C = (1,−1,−2). Calcule o comprimento da
mediana do triaˆngulo relativa ao lado AB.
9. Dados os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (−1, 1, 2). Determine um vetor unita´rio simultaneamente ortogonal
a ~u e ~v.
10. Considere o triaˆngulo ABC inscrito na semicircunfereˆncia de raio r, conforme a figura abaixo. Escreva
os vetores −−→AB e −−→BC como combinac¸a˜o linear dos vetores ~u = −−→OC e ~v = −−→BO e mostre que o triaˆngulo ABC
e´ um triaˆngulo retaˆngulo.