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2 unidade GA2013.1 GABARITO

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UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO 
ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
2º EXERCÍCIO ESCOLAR - GABARITO 
 
1º) A equação da esfera de centro 𝐶 = (1, 0, 3) e tangente ao plano 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 1 = 0 é: 
𝑑(𝐶,𝛼) = |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 |2 ∙ 1 + 1 ∙ 0 + (−2) ∙ 3 + 1|�22 + 12 + (−2)2 = 33 = 1 
A equação da esfera de 𝐶 = (1, 0, 3) e raio 1 é (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 3)2 = 1 ou 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 − 6𝑧 + 9 = 0 
 
2º) A equação da superfície esférica que passa pelos pontos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D(1, 2, 3) é: 
A equação da esfera com centro fora da origem é 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝛼𝑥 − 2𝛽𝑦 − 𝛾𝑧 + 𝛿 = 0. Como os pontos A, B, C e D pertencem a esfera, temos: 
A partir do ponto A: 1 − 2𝛼 + 𝛿 = 0 → 𝛼 = 1+𝛿
2
 (I) 
A partir do ponto B: 1 − 2𝛽 + 𝛿 = 0 → 𝛽 = 1+𝛿
2
 (II) 
A partir do ponto C: 1 − 2𝛾 + 𝛿 = 0 → 𝛾 = 1+𝛿
2
 (III) 
A partir do ponto D: 1 + 4 + 9 − 2𝛼 − 4𝛽 − 6𝛾 + 𝛿 = 0 (IV) 
De (I), (II), e (III) temos: 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 1+𝛿
2
 e substituindo em (IV) temos: 
𝛿 = 8
5
→ 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 13
10
. Inserindo este resultado equação da esfera, temos: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 13
5
𝑥 −
13
5
𝑦 −
13
5
𝑧 + 8
5
= 0 ou 5𝑥2 + 5𝑦2 + 5𝑧2 − 13𝑥 − 13𝑦 − 13𝑧 + 8 = 0 
 
 
3º) Os planos �
𝑥 = 𝑠 − 𝑡
𝑦 = −𝑡
𝑧 = 1 + 𝑠 + 𝑡 e 2𝑥 − 7𝑦 + 16𝑧 = 40 são: 
𝑢�⃗ = (1, 0, 1) × (−1,−1, 1) = � 𝑖 𝑗 𝑘1 0 1
−1 −1 1� = (1,−2,−1) ∴ �⃗� = (2,−7, 16) 
Como 𝑢�⃗ ∙ �⃗� = 1 ∙ 2 + (−2) ∙ (−7) + (−1) ∙ 16 = 0, temos que os planos são Perpendiculares 
4º) A equação do plano formado pelas retas 𝑥−1
4
= 𝑦+1
2
= 𝑧−2
3
 e 𝑥−1
5
= 𝑦+1
4
= 𝑧−2
3
 é: 
Resolvendo o sistema encontramos o ponto de interseção das duas retas, 𝑃 (1,−1, 2), que também pertence 
ao plano. Como os vetores diretores das retas são 𝑢�⃗ = (5, 4, 3) e �⃗� = (4, 2, 3) podemos calcular o vetor 
perpendicular ao plano pelo produto vetorial, ou seja 
𝑢�⃗ × �⃗� = � 𝑖 𝑗 𝑘5 4 34 2 3� = 6𝚤 − 3𝐽 − 6𝑘�⃗ 
Como a equação do plano é da forma 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0, temos: 6(𝑥 − 1) − 3(𝑦 + 1) − 6(𝑧 − 2) = 0 ou 6𝑥 − 6 − 3𝑦 − 3 − 6𝑧 + 12 = 0 ou 6𝑥 − 3𝑦 − 6𝑧 + 3 = 0 ou 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 1 = 0