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Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro Centro de Ciência e Tecnologia Laboratório de Ciências Matemáticas Curso de Licenciatura em Matemática 01 de dezembro de 2015 1a Lista de Exercícios de Cálculo Numérico 1. Use o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema x− 3y + 12z = 10 5x+ 12y + 2z = −33 x− 14y = −103 2. Considere o sistema de equações x1 + 4x2 + 2x3 = 3.70 5x1 + 2x2 + x3 = 6.89 3x1 + x2 + 6x3 = 5.49 e a aproximação inicial X(0) = [ 1.10 0.50 0.28 ]t (a) Verifique a convergência do método de Gauss-Jacobi e calcule X(1), X(2), X(3) (b) Verifique a convergência do método de Gauss-Seidel e calcule X(1), X(2), X(3) 3. Determine uma aproximação da solução do sistema linear 9x− y = 5 −2x+ 4y − z = 1 −y + z = −5 6 trabalhando com quatro casas decimais, considere x(0) = y(0) = z(0) = 0 e calcule três iterações usando: 1 (a) O Método de Gauss-Jacobi (b) O Método de Gauss-Seidel 4. seja k um número inteiro positivo, considere o sistema linear kx1 + x2 = 2 kx2 + k 5 x3 = 3 kx1 + x2 + 2x3 = 2 (a) Verifique para que valores de k, a convergência do Método de Gauss-Jacobi pode ser garantida (b) Verifique para que valores de k, a convergência, segundo Sassenfeld, do Método de Gauss-Seidel pode ser garantida (c) utilize um método iterativo adequado para calcular a aproximação da solução do sistema dado, considerando X(0) = (1.0, 1.0, 1.0)t, k como o menor inteiro positivo que satisfaz as condições de convergência. Faça duas iterações e calcule o erro cometido, usando a norma do máximo. 5. Considere a matriz A = 1 a b a 1 c −b c 1 , a, b, c ∈ R. (a) Encontre a relação entre a, b e c para que o sistema Ax = b tenha uma única solução. (Considere esta relação nos seguintes itens) (b) Encontre a relação entre a, b e c que garante a convergência do Método de Gauss- Jacobi aplicado ao sistema Ax = b. (c) Considerando b = 0, verifique em que casos os Métodos de Gauss-Jacobi e Gauss- Seidel convergem simultâneamente. 2 6. Decida para cada sistema, se os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel são convergentes. 3x+ y + z = 5 2x+ 6y + z = 9 x+ y + 4z = 6 , 5x+ 7y + 6z + 5w = 23 7x+ 10y + 8z + 7w = 32 6x+ 8y + 10z + 9w = 33 5x+ 7y + 9z + 10w = 31 7. Sejam A = a c 0 c a c 0 c a e B = 0 b 0 b 0 b 0 b 0 . Dê condições necessárias e suficientes sobre a, c ∈ R para a convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel 3
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