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Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
Centro de Ciência e Tecnologia
Laboratório de Ciências Matemáticas
Curso de Licenciatura em Matemática
01 de dezembro de 2015
1a Lista de Exercícios de Cálculo Numérico
1. Use o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema
x− 3y + 12z = 10
5x+ 12y + 2z = −33
x− 14y = −103
2. Considere o sistema de equações
x1 + 4x2 + 2x3 = 3.70
5x1 + 2x2 + x3 = 6.89
3x1 + x2 + 6x3 = 5.49
e a aproximação inicial X(0) =
[
1.10 0.50 0.28
]t
(a) Verifique a convergência do método de Gauss-Jacobi e calcule X(1), X(2), X(3)
(b) Verifique a convergência do método de Gauss-Seidel e calcule X(1), X(2), X(3)
3. Determine uma aproximação da solução do sistema linear
9x− y = 5
−2x+ 4y − z = 1
−y + z = −5
6
trabalhando com quatro casas decimais, considere x(0) = y(0) = z(0) = 0 e calcule três
iterações usando:
1
(a) O Método de Gauss-Jacobi
(b) O Método de Gauss-Seidel
4. seja k um número inteiro positivo, considere o sistema linear
kx1 + x2 = 2
kx2 +
k
5
x3 = 3
kx1 + x2 + 2x3 = 2
(a) Verifique para que valores de k, a convergência do Método de Gauss-Jacobi pode
ser garantida
(b) Verifique para que valores de k, a convergência, segundo Sassenfeld, do Método de
Gauss-Seidel pode ser garantida
(c) utilize um método iterativo adequado para calcular a aproximação da solução do
sistema dado, considerando X(0) = (1.0, 1.0, 1.0)t, k como o menor inteiro positivo
que satisfaz as condições de convergência. Faça duas iterações e calcule o erro
cometido, usando a norma do máximo.
5. Considere a matriz
A =

1 a b
a 1 c
−b c 1
 , a, b, c ∈ R.
(a) Encontre a relação entre a, b e c para que o sistema Ax = b tenha uma única
solução. (Considere esta relação nos seguintes itens)
(b) Encontre a relação entre a, b e c que garante a convergência do Método de Gauss-
Jacobi aplicado ao sistema Ax = b.
(c) Considerando b = 0, verifique em que casos os Métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-
Seidel convergem simultâneamente.
2
6. Decida para cada sistema, se os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel são
convergentes.

3x+ y + z = 5
2x+ 6y + z = 9
x+ y + 4z = 6
,

5x+ 7y + 6z + 5w = 23
7x+ 10y + 8z + 7w = 32
6x+ 8y + 10z + 9w = 33
5x+ 7y + 9z + 10w = 31
7. Sejam A =

a c 0
c a c
0 c a
 e B =

0 b 0
b 0 b
0 b 0
. Dê condições necessárias e suficientes sobre
a, c ∈ R para a convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel
3

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