A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
6 pág.
Lista de Exercicios

Pré-visualização|Página 1 de 6

Minist´erio da Educa¸ao
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a
Campus Medianeira
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e ´
Algebra Linear.
Data: 10/05/2013
Professor: Diego V. Thomaz
LISTA I
SISTEMA DE COORDENADAS
Exerc´ıcio 1 Encontre as coordenadas polares pontos cujas coordenadas cartesianas s˜ao
dadas, com r > 0,r < 0e0θ < 2π:
(a) (1,1) (b) (1,3) (c) (0,3) (d) (1,0)
(e) (3,1) (f ) (3,3) (g) (0,2) (h) (2,0)
(i) (3,33) (j) (33,3)
Exerc´ıcio 2 As coordenadas polares de um ponto s˜ao dadas.
(i) Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos.
(ii) Encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0e
outro com r < 0.
(a) (1, π /2) (b) (2, π /4) (c) (3,0) (d) (1,π /2)
(e) (3, π /2) (f ) (22,3π /4) (g) (1, π /3) (h) (2,2π /3)
(i) (4,3π)(j) (2,5π /6)
Exerc´ıcio 3 Esboce a curva no sistema de coordenadas polares com a equa¸ao dada:
(a) θ=π /6(b) r= 5 (c) r= sin θ(d) r= 1 cos θ
(e) r= 2 sin θ(f ) r= 2 sin 2θ(g) r= cos θ(h) r= cos 3θ
(i) r= 2 cos 4θ(j) r=1cos θ
Exerc´ıcio 4 Passar os pontos do sistema cartesiano para o sistema cil´ındrico e re-
present´a-los em cada um dos sistemas.
(a) A= (1/2,1/2,2) (b) B= (0,1,3) (c) C= (1,3,2) (d) D= (3,1,3)
Exerc´ıcio 5 Passar os pontos do sistema cil´ındrico para o sistema cartesiano e re-
present´a-los em cada um dos sistemas.

(a) A= (6,2π /3,2) (b) B= (2,3π /2,1) (c) C= (2π , 7π /4, π )D= (1,4π /3,2)
VETORES
Exerc´ıcio 6 Dados os pontos A(1,2,1),B(1,1,0) e os vetores ~u = (1,1,3),~v = (3,1,2)
e~w = (1,2,1), verifique se existem os n´umeros a,bectais que ~w = 2a~
AB b~u + 2c ~w .
Exerc´ıcio 7 Dados os pontos A(1,0,1),B(1,1,1) eC(0,1,2), determinar as coordena-
das de um ponto Dtal que A,B,CeDsejam v´ertices consecutivos de um paralelo-
gramo.
Exerc´ıcio 8 Determinar os valores de menpara que sejam paralelos os vetores:
(a) ~u = (m1,2,1) e~v = (4,3,3n+ 1).
(b) ~u = (5,7,2) e~v = (1, m, n).
Exerc´ıcio 9 Dar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (3,5), sabendo
que sua origem ´e o ponto A(1,2).
Exerc´ıcio 10 Dados os vetores ~u = (2,1) e~v = (3,2), determinar o vetor ~w tal que:
(a) 2(~u ~v ) + 1
2~w =~u 2~w
(b) 2(4 ~w 3~u) = 3 ~w (2~v ~u)
Exerc´ıcio 11 Dados os vetores ~u = (2,3),~v = (6,9), verificar se existem n´umeros
reais aebtais que ~u =a~v e~v =b~u.
Exerc´ıcio 12 Dados os pontos A(2,1),B(1,5),C(2,3), determinar Dtal que:
(a) ~
D C =~
B A (b) ~
D C =~
AB (c) ~
C D =~
B A (d) ~
C D =~
AB
PRODUTO DE VETORES
Exerc´ıcio 13 Sabendo que a distˆancia entre os pontos A(2,1,4) eB(2,3, m)´e 5, calcular
m.
Exerc´ıcio 14 Dados os pontos A(1,0,2),B(4,1,1) eC(0,1,3), determinar o vetor ~v
tal que 2~v ~
AB =~v + ( ~
B C ·~
AB )~
AC .
Exerc´ıcio 15 Dados os pontos A(1,2,3),B(6,2,3),C(1,2,1), determinar o versor do
vetor 3~
B A 2~
B C .
2

Exerc´ıcio 16 Determinar o valor de m:
(a) Para que o vetor ~v = (m, 2
5,4
5)seja unit´ario.
(b) Para que |~u|=38, onde ~u = (m+ 7)
~
i+ (m+ 2)
~
j+ 5
~
k.
(c) Para que
~
AB
=35, onde A(3, m 1,4) eB(8,2m1, m).
Exerc´ıcio 17 Calcular o per´ımetro do triˆangulo de v´ertices A(0,1,2),B(1,0,1) e
C(2,1,0).
Exerc´ıcio 18 Provar que:
(a) |~u +~v |2=|~u|2+ 2~u ·~v +|~v |2.
(b) |~u ~v |2=|~u|22~u ·~v +|~v |2.
(c) (~u +~v )·(~u ~v ) = |~u|2− |~v |2.
Exerc´ıcio 19 Seja o triˆangulo de v´ertices A(1,2,4),B(4,2,0) eC(3,2,1). Deter-
minar o ˆangulo interno ao v´ertice B.
Exerc´ıcio 20 Os pontos A,BeCao v´ertices de um triˆangulo equil´atero cujo lado
10cm. Calcular o produto escalar dos vetores ~
AB e~
AC .
Exerc´ıcio 21 Os lados de um triˆangulo retˆangulo AB C (reto em A) medem 5,12 e13.
Calcular ~
AB ·~
AC +~
B A ·~
B C +~
C A ·~
C B .
Exerc´ıcio 22 Determinar os ˆangulos do triˆangulo de v´ertices A(2,1,3),B(1,0,1) e
C(1,2,1).
Exerc´ıcio 23 Sabendo que o ˆangulo entre os vetores ~u = (2,1,1) e~v = (1,1, m + 2) ´e
π
3. Determinar m.
Exerc´ıcio 24 Calcular npara que seja de 30 graus o ˆangulo entre os vetores ~u = (1, n, 2)
e~
j.
Exerc´ıcio 25 Dados os vetores ~u = (2,1, x),~v = (x+ 2,5,2) e~w = (2x, 8, x), determinar
o valor de xpara que o vetor ~u +~v seja ortogonal ao vetor ~w ~u.
Exerc´ıcio 26 Determinar o vetor ~v , paralelo ao vetor ~u = (1,1,2), tal que ~v ·~u =18.
3