Normalidade dos Dados e dos Resíduos

Normalidade dos dados e dos resíduos 
 
1. Teste de aderência (qui-quadrado) 
 
ƒ útil para verificar se a distribuição das freqüências observadas dos dados se ajusta a um 
modelo teórico pré-determinado 
ƒ recomendado para amostras grandes ( 50>n ) e tem por finalidade comparar se as 
freqüências observadas na amostra estão próximas das freqüências esperadas para a 
distribuição normal. 
ƒ Se as freqüências esperadas não diferirem estatisticamente das freqüências observadas, 
pode-se inferir que a característica em estudo da população tem distribuição normal; de 
outra maneira, possui distribuição diversa. 
ƒ O teste que mede a eficiência do ajuste da distribuição, ou seja, o quanto a freqüência 
observada está próxima da freqüência esperada, daí o nome de aderência, é o teste de qui-
quadrado (χ 2 ). Como todo teste estatístico, alguns passos devem ser seguidos até à 
conclusão. 
1o Passo: Formulação das hipóteses 
Ho : As freqüências observadas não diferem das freqüências esperadas em relação à distribuição 
normal, ou seja, a característica em estudo da população tem distribuição normal. 
H1 : As freqüências observadas diferem das freqüências esperadas em relação à distribuição normal, 
ou seja, a característica em estudo da população não tem distribuição normal. 
 
2o Passo: Escolha da significância α 
 
3o Passo: Estatística apropriada 
 
 ∑ −=χ
=
k
i i
ii
c
f
ff
1
2
2
ˆ
)ˆ(
; para v = k – p – 1, onde: :if freqüência observada na i-ésima classe; ifˆ : 
freqüência esperada na i-ésima classe; v : graus de liberdade; k : número de classes da distribuição 
de freqüência; p : número de parâmetros estimados. 
 
4o Passo: Região crítica 
 
 
 
Figura 2.1. Distribuição qui-quadrado (χ 2 ) mostrando as regiões de aceitação (RAH0) e rejeição 
(RRH0) de Ho de um teste unilateral à direita, à significância α e v graus de liberdade. 
 
5o Passo: Conclusão 
 Quando o valor da estatística apropriada 2cχ estiver dentro da região de aceitação de Ho 
(Figura 2.1), a característica em estudo da população seguirá a distribuição normal. Isto ocorrerá 
quando 22 tc χ<χ , onde 2tχ é o valor crítico obtido na tabela em função da significância α e v graus 
de liberdade; caso contrário, rejeita-se Ho. 
 
1o Exemplo: Para a realização do teste, a etapa inicial é encontrar os valores da média e do desvio 
padrão da amostra para os dados agrupados na distribuição de freqüência. Para ilustrar o cálculo, 
serão utilizados os dados da tabela 2.1, que se referem à distribuição de freqüência da massa da 
matéria fresca de sementes de Vicia graminea Sm. 
 
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Tabela 2.1. Distribuição de freqüência da massa da matéria fresca (mg) de uma amostra de 500 
sementes de Vicia graminea Sm. 
 
Massa (mg) ix
(a) if
(b) 2ix ii xf 
2
ii xf 
1,25 ├ 1,75 1,5 1 2,25 1,5 2,25 
1,75 ├ 2,25 2,0 3 4,00 6,0 12,00 
2,25 ├ 2,75 2,5 14 6,25 35,0 87,50 
2,75 ├ 3,25 3,0 74 9,00 222,0 666,00 
3,25 ├ 3,75 3,5 119 12,25 416,5 1.457,75 
3,75 ├ 4,25 4,0 155 16,00 620,0 2.480,00 
4,25 ├ 4,75 4,5 91 20,25 409,5 1.842,75 
4,75 ├ 5,25 5,0 26 25,00 130,0 650,00 
5,25 ├ 5,75 5,5 12 30,25 66,0 363,00 
5,75 ├ 6,25 6,0 4 36,00 24,0 144,00 
6,25 ├ 6,75 6,5 1 42,25 6,5 42,25 
Total 500 1.937,0 7.747,50 
(a) Ponto médio da classe; (b) Freqüência observada, sendo: nf
k
i
i =∑=1 . 
mg9,3874,3
500
0,937.1
1
1 ≅==
∑
∑
=
=
=
k
i
i
i
k
i
i
f
xf
x , onde: :ix ponto médio da i-ésima classe; :if freqüência 
observada da i-ésima classe; k : número de classes da distribuição de freqüência. 
 mg7,0699,0
499
562,243
1
)(
1
2
1
2
≅==−
∑
−∑
=
=
=
n
n
xf
xf
s
k
i
iik
i
ii
, onde: :ix ponto médio da i-ésima classe; 
:if freqüência observada da i-ésima classe; x : média da amostra; k : número de classes da 
distribuição de freqüência; n : tamanho da amostra. 
 
Tabela 2.2. Distribuição das freqüências observadas e esperadas da massa da matéria fresca (mg) de 
uma amostra de 500 sementes de Vicia graminea Sm. 
 
Massa (mg) 
(1) 
Li 
(2) 
zi 
(3) 
Probabilidade
(4) 
rfˆ 
(5) 
ifˆ 
(6) 
f i 
1,25 ├ 1,75 1,25 -3,78 0,4999 0,0010 0,50 1 
1,75 ├ 2,25 1,75 -3,07 0,4989 0,0080 4,00 3 
2,25 ├ 2,75 2,25 -2,36 0,4909 0,0414 20,70 14 
2,75 ├ 3,25 2,75 -1,64 0,4495 0,1257 62,85 74 
3,25 ├ 3,75 3,25 -0,93 0,3238 0,2406 120,30 119 
3,75 ├ 4,25 3,75 -0,21 0,0832 0,2748 137,40 155 
4,25 ├ 4,75 4,25 0,50 0,1915 0,1954 97,70 91 
4,75 ├ 5,25 4,75 1,21 0,3869 0,0863 43,15 26 
5,25 ├ 5,75 5,25 1,93 0,4732 0,0227 11,35 12 
5,75 ├ 6,25 5,75 2,64 0,4959 0,0037 1,85 4 
6,25 ├ 6,75 6,25 3,36 0,4996 0,0004 0,20 1 
Total 1,0000 500 500 
x = 3,9 mg; s = 0,7 mg 
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(1) Valor do limite inferior ( )Li da classe de massa da matéria fresca. 
(2) Valores de zi calculados segundo a expressão s
xL
z ii
−= . 
(3) Valores de probabilidades (áreas) obtidas na tabela A1 a partir dos valores de zi (coluna 2), 
considerando-se zi como valor absoluto na entrada da tabela. 
(4) Valores das freqüências relativas esperadas ( rfˆ ). Para todos os intervalos de classe, com 
exceção da classe que contém a média, as freqüências relativas esperadas da classe são 
calculadas pela diferença absoluta entre a probabilidade da classe e a imediatamente posterior. 
Então, para se obter a freqüência relativa esperada da classe 2,25├ 2,75, calcula-se 0,4909-
0,4495 = 0,0414. Para obter a freqüência relativa esperada da classe que contém a média (3,75├ 
4,25), somam-se os valores de probabilidade da classe e a imediatamente posterior (0,0832 + 
0,1915 = 0,2748). O valor da probabilidade da última classe é obtido pela diferença entre 0,5 e 
a probabilidade da classe (0,5000 - 0,4996 = 0,0004). 
(5) Valores das freqüências esperadas ( ifˆ )para a distribuição normal, obtidos pela multiplicação da 
freqüência relativa esperada ( rfˆ ) e nf
k
i
i =∑=1 . Por exemplo, para se obter a freqüência da classe 
4,75├ 5,25, multiplica-se o valor 0,0863 por 500, obtendo-se 43,15. 
(6) Valores das freqüências observadas ( f i ). 
 
 Após a obtenção das freqüências observadas na amostra e esperadas da distribuição normal, 
o teste pode ser aplicado. Os passos para a execução do teste estão apresentados a seguir. 
 
1o Passo: Formulação das hipóteses 
Ho : As freqüências observadas não diferem das freqüências esperadas para distribuição normal, ou 
seja, a massa da matéria fresca das sementes na população segue distribuição normal. 
H1 : As freqüências observadas diferem das freqüências esperadas da distribuição normal, ou seja, a 
massa da matéria fresca das sementes na população não segue distribuição normal. 
 
2o Passo: Significância estabelecida α=0,05 
 
3o Passo: Estatística apropriada 
 Para calcular o valor de qui-quadrado, Cochran (1954) recomenda que as classes sejam 
agrupadas quando a freqüência esperada for menor que 1. Desta forma, um ajuste na distribuição 
das freqüências esperadas da tabela 2.5 deve ser realizado. Para o exemplo, a freqüência esperada 
da classe 1,25├1,75 que tem o valor 0,5; deve ser agrupada com a freqüência da classe 1,75├ 2,25 
que é 4 (Tabela 2.1). Assim, aparecerá uma outra classe com intervalo entre 1,25├ 2,25, cuja 
freqüência agrupada é 4,5 (Tabela 2.3). Este mesmo procedimento deve ser adotado para a classe 
6,25├ 6,75. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 2.3. Tabela auxiliar para o cálculo do valor do qui-quadrado da massa da matéria fresca (mg) 
de uma amostra de 500 sementes de Vicia graminea Sm. 
 
Massa (mg) if
(a) ifˆ
(b) iii fff ˆ/)ˆ(
2− 
1,25 ├ 2,25 4 4,50 0,056 
2,25 ├ 2,75 14 20,70 2,169 
2,75 ├ 3,25 74 62,85 1,978 
3,25 ├ 3,75 119 120,30 0,014 
3,75 ├ 4,25 155 137,40 2,254 
4,25 ├ 4,75 91 97,70 0,459 
4,75 ├ 5,25 26 43,15 6,816 
5,25 ├ 5,75 12 11,35 0,037 
5,75 ├ 6,75