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EXERCICIOS RESOLVIDOS

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Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS 
 
((22001111)) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4 
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10 
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20 
1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32 
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50 
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 
1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63 
1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 
1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 
1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 
1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS ............................................................................................................ 87 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
 CCAAPP 22 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-4 
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2) 
 
[ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 
 
[ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico 
e densidade do óleo. 
 
[ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. 
 
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no 
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) 
 
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a 
sua viscosidade cinemática. 
 
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da altura de coluna de água de 
massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica 
ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ . 
 
[ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade 
máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região 
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. 
 
[ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. 
 
[ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 
101,0 kPa. 
 
[ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão 
atmosférica local é igual a 100 kPa. 
 
[ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão 
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do 
mercúrio igual a 13,6. 
 
[ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando 
num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o 
valor do número de Reynolds. 
[ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; 
b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. 
[ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou 
incompressível? c) subsônico ou supersônico? 
 
[ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe 
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-5 
 
Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos 
 
[1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 
 
kNN
s
mkgxw
mgw
093,8ou 25,809381,9825 2 ==
=
 
 
[2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso 
específico e densidade do óleo. 
 
Massa específica 
33 90067,899917,0
825
m
kg
m
kg
V
m
≅===ρ 
Peso específico 
323 8,882581,967,899
m
N
s
m
x
m
kgg === ργ 
Também poderia ser determinada como 
33 8,8825917,0
25,8093
m
N
m
N
V
w
===γ 
densidade 
)4()4( 22 caOH
fluido
caOH
fluidod
oo
γ
γ
ρ
ρ
== 
90,089967,0
1000
67,899
)4(2
≅===
caOH
fluidod
o
ρ
ρ 
 
 
[3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. 
 
Peso específico 334,78336
100047
m
Nx
V
W
===γ 
Massa específica 351,79881,9
34,7833
m
kg
g
===
γρ 
mm
xs
s
mkg
mm
Ns
s
m
m
N
g 3
2
2
3
2
2
3
.
.
====
γρ 
 
Densidade 80,0
1000
51,798
0
2 40
===
CaH
óleod
ρ
ρ 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-6 
 
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no 
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) 
 
A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. 
A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K 
 
A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos 
 
323,5294287
10003,441
m
kg
x
x
RT
P
===ρ 
 
As unidades são:( ) 32
2
..
..
m
kg
xKmmN
KkgN
Kx
kgK
Nm
m
N
RT
P ==






==ρ 
 
O peso de ar contido no tanque é igual a 
 
NxxxgW 22,11038,281,923,5 2 ==∀= −ρ 
 
Conferindo as unidades: 
( ) N
s
mkg
m
s
m
m
kggW ==



=∀= 2323 .ρ 
 
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a 
sua viscosidade cinemática. 
 
s
m
x
kg
ms
s
kgm
x
kg
msN
x
m
kg
m
Ns
x 2
6
2
66
3
2
3
1088,5..1088,5..1088,5
850
105
−−−
−
=

====
ρ
µν 
 
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da altura de coluna de água de 
massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica 
ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ . 
Solução 
Em termos de coluna de água: água de 95.50
81.91000
10500 3
m
g
ph =
×
×
==
ρ
 
 
Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × −13 6 103 3. kg m . 
mercúrio de 75.3
81.9106.13
10500
3
3
mh =
××
×
= 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-7 
[7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do 
lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do 
lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. 
A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação: 
 
ghpp ρ+= 0 
 
Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). 
Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos 
kPa
m
kg
xghpatm 43,79
m
N79430,79 x0,598m
s
m
 x9,81100054,13 223 ==== ρ 
 
Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos 
determinar a pressão absoluta como. 
 
kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm ≈+=+=+= ρ 
 
[8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. 
 
kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs =+=+= 
 
[9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. 
 
kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs =−=−= 
 
[10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é 
igual a 100 kPa. 
kPakPakPappp vac 3070100atmabs =−=−= 
 
[11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em 
kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. 
atmabs pPp man += 
em kgf/cm2 
2abs 321 cm
kgfp =+= 
Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma. 
• Pressão em Pascal. 
kPaxx
m
kgf
N
x
cm
kgfp 3,29410081,90,3
100
1
81,90,3 2
2
2
2abs === 
• Coluna de água 
água de coluna de 30
81.91000
103,294 3
02
m
g
ph
H
=
×
×
==
ρ
 
 
• Coluna de mercúrio considerando d=13,6. 
mercúrio coluna de 2,2
81,910006,13
103,294 3
m
xg
ph
Hg
=
×
×
==
ρ
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-8 
[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 
escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 
m/s, determine o valor do número de Reynolds. 
 
O número de Reynolds é definido como 
 
µ
ρ
ν
VDVD
== ou Re 
 
a massa específica do fluido é determina em função da densidade 
 
330 910100091,02 m
kg
m
kg
xd H === ρρ 
 
156
38,0
910025,06,2Re ≅== xxVD
µ
ρ 
 
Conferindo as unidades 
 
( ) aladimension-1
...
Re
22
3
2
3
2
3 =










====
s
m
mkg
s
m
kg
m
s
m
sN
m
x
m
kg
xmx
s
m
m
Ns
m
kg
xmx
s
m
VD
µ
ρ 
 
• O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as 
variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. 
 
 
[13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da 
glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. 
a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2 ≅ 11,77 kN 
 
b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³ 
 
c) γ = ρ g 323 /37,1281,91261 mkNs
m
x
m
kg
≅=γ 
d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 26,1
1000
1261
3
3
==
m
kg
m
kg
d 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-9 
 
[14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: 
a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? 
 
(a) TxRxKc = ( ) [ ]Kx
Kxkg
J
xc 273552874,1 +−

= c ≅ 296 m/s 
 
b) M = V / c 
s
m
s
m
s
m
s
h
x
km
m
x
h
km
M
296
236
296
3600
1
1
1000850
≅= 
M ≅ 0,8 [admensional] 
 
M > 0,3 � Fluido Compressível 
 
c) M ≅ 0,8 M < 1 � Subsônico 
 
 
 
 
[15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um 
manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. 
).( PerfeitoGásEq
TxR
p
=ρ 
absAR
manatmabs
TxR
pp
TxR
p +
==ρ 
( )
( )
3
2
2
2
5,08
323
.
287
.
471330
27350287
370000101330
m
kg
Kx
Kxkg
s
mkg
sm
kg
Kx
Kxkg
J
PaPa
=⇒=
+
+
= ρρ 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-10 
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3) 
 
1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a 
densidade deste líquido. 
 
2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10-4 
Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3. 
 
3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C. 
Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água 
nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica 
da água quando a temperatura é igual a 42,10C. 
 
ρ (kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 
T (0C) 20 25 30 35 40 45 50 
 
4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: 
 
 
ST
CT
+
=
2/3
µ 
As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K. 
Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos 
de mecânica dos fluidos 
 
5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por: 


=
T
BD expµ 
Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a 
viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma:D
T
B ln1ln +=µ 
Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de 
intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a 
partir da Eq. original. 
 
6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num 
reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. (d=0,96) 
 
7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume 
do tanque. (V=1,52m3) 
 
8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2. 
Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Qual a 
densidade do mercúrio. (d=13,6) 
 
9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água 
salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca) 
 
10. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos específico 
igual a 850kgf/m3. 
 
11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando 
se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m) 
 
12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa 
especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-11 
13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão 
atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. 
 
14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se 
mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal 
(101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. 
(h=760mmHg) 
 
 
15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a 
pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório. 
 
16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 
760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 
 
17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 
40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. 
 
 
18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que 
contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor 
destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. 
 
19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que 
apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U 
conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. 
Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no 
manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta: 
Pmam=21,1kPa) 
 
 
20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa 
água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine 
a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros. 
 
21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão 
igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m3) 
 
22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido 
no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 
210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N). 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE 
 
 
 ((CCAAPP 22)) 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-13 
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) 
 
[1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido. 
 
• Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. 
• Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com 
a tensão de cisalhamento no centro das placas ? 
• Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? 
• Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de 
cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica 
de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área move-se a uma velocidade 
de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de 
velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa. 
 
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A 
separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A 
densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: 
• ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido 
• ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) 
• ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
 
 
 
 
(1) (2) (3) 
dy
duµτ =
y 
x 
 
y 
V=2,5m/s 
h=100mm 
0 
U=0,3m/s 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-14 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é 
dada pela equação 
 



 

−=
2
1
2
3
h
yV
u 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e 
h=5mm determinar: 
a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = 
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y oafastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o 
diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com 
viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade 
(dv/dy=u/y). 
 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de 
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente 
de velocidades é dado por: 
 




=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2max
pipi
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-15 
Solução – Problema 1 
 
[1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. 
 
(a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. 
(b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com 
a tensão de cisalhamento no centro das placas ? 
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? 
(d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. 
 
 
 
 
(a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. 
 
(b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). 
 
 
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = 
constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). 
 
(d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: 
 
 u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. 
 
 Para y=0 (centro do canal) τ=0. 
 
 Para y=ymax (paredes) τ=τmax. 
 
 Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky) 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-16 
Solução – Problema 2 
 
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar 
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em 
y= -100mm. 
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. 
 
 
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s 
 
como 2byaV += achamos que a=2,5m/s 
 
Para y=-100 mm V=0 com 2byaV += achamos 
 
( )
2
22
2505,2
250
1,0
5,20
yV
y
aVb
−=
−=
−
=
−
=
 
O gradiente de velocidade é dada por: ydy
du 500−= 
Tensão de cisalhamento em y=0 : 
0 x500x08,0x10 3- ===
dy
duµτ 
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 
2
 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10
m
N
dy
du
−=== µτ 
 
Solução – Problema 3 
 
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 
850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 
0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de 
velocidade (dv/dy=u/y). 
21 FFF += 
2
2
5
3 N.s/m06473,010615,7850 ===
−
s
m
x
m
kgρνµ 
 
1
1 y
uA
dy
duAAF µµτ ≡== 
2
2 y
uAF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. 
 
 
N
m
s
m
x
m
sN
xmx
y
uAF 62,0
0125,0
15,0
.06473,04,022 2
2 ==

= µ 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-17 
Solução – Problema 4 
 
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre 
elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena 
largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no 
líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa 
é igual a 0,88 Determinar: 
 (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) 
(b) A viscosidade cinemática do líquido 
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) 
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
(e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
 
Hipóteses: 
• Distribuição linear da velocidade 
• Escoamento em regime permanente 
• Viscosidade constante 
 
 
(a) 1 cP = Pa s /1000 
 
 s 105,6
1000
 )65,0( 4 Pax
cP
sPa
cP −==µ 
 
 1 cP = Pa s /1000 
 
 
)/(105,6
1000 
)/()65,0( 4 mskgx
cP
mskg
cP −==µ 
 
(b) A viscosidade dinâmica 
 
s
m
x
m
kg
x
ms
kg
x 2
3
3
4
1039,7
100088,0
105,6
−
−
===
ρ
µν 
 
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: 
 
bmyyu +=)( 
 
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) 
 
Para y=d u=U e por tanto m= U/d 
 
Desta forma o perfil de velocidade é dado como: 
 
y
d
Uyu 

=)( 
 
O gradiente é dado por: 
 
ctes
x
d
U
dy
du
====
−11000
3,0
10003,0
 
 
 
 
 
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
 
 
Pa
m
N
sms
kg
x
d
U
dy
du
y
yx 65,065,0
11000105,6 2
4
0
==

==
= −
=
µµτ 
 
• A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no 
sentido negativo (-) dos x 
 
 
 
• A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no 
sentido positivo dos x 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-18 
Solução – Problema 5 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é 
dada pela equação 
 



 

−=
2
1
2
3
h
yV
u 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e 
h=5mm determinar: 
c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
Utilizando a lei universal 
 
τ µ=
du
dy 
 
A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento 
devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, 
 
y
h
V
h
yV
dy
du
22
320
2
3 −=

 

−= 
 
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, 
 
Paou
m
N
m
x
s
m
xx
m
Ns
h
Vh
h
V
hy 691 691005,0
16,0392,13)(3 222 =





==−−=
−=
µµτ 
 
esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior 
apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. 
 
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. 
 
O gradiente de velocidade eportanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia 
de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-19 
Solução – Problema 6 
 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = 
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2yyU = Desta forma ( ) .4y
dy
ydU
= 
A tensão de cisalhamento é dada por: 
y
u
∂
∂= µτ 2
3 0016,0)2,0(4102)(
m
N
xxx
dy
ydU
===
−µτ 
 
Solução – Problema 7 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é 
de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e 
o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na 
descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). 
 
y
uDL
dy
duAAF µpiµτ === 
 ( )
s
cm
s
m
xxx
xx
DL
Fy
u 87,20287,0
5,832,02,0
00005,098,9100
====
piµpi
 
 
Solução – Problema 8 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de 
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente 
de velocidades é dado por: 
 




=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2max
pipi
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
Pa
sxPax
xx
x
x
x
x
b
U
dy
du
dy
du
mmy
mmy
0257,0 
068,1428.108,1 
707106,01000
0,72
0,9 
0,72
5,3
cos
2
5
max
5,3
5,3
=
=



 

=



 



==
=
−
=
=
piµ
pipiµµτ
µτ
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-20 
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) 
 
[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a 
inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e massa específica 830 
kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com 
o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida 
para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 (b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N 
 [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm 
tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260 
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s. 
 
Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com 
uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa 
superior considerando esta com superfície igual a 1,0m2. 
R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N 
 
 
[3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de 
óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem 
densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tensão de 
cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a 
velocidade da placa móvel? 
R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s 
 
[4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um 
comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no 
óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por FVW =& 
onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo 
SAE 30 

=
sm
kg
.
29,0µ R: 72,5 W. 
 
 [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por: 


 

−=
2
max
21)(
h
y
uyu onde umax representa a velocidade 
máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente 
de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento. 
Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa 
superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A 
tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força 
de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m2. (d) 0,138 N 
 Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade 
dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-21 
[6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado 
por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade 
média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que 
V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) 
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuição da 
velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m2) 



 

−=
2
1
2
3)(
h
yVyu 
 
[ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A 
velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm. 
R: (a) 0,01 Pa.s 
 [8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma 
altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149,5mm. Este 
corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s 
dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. Entre o tubo e o 
cilindro existe uma película de óleo. Determine (a) tensão de 
cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade 
dinâmica do óleo. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s 
 
[9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo 
lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo 
apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro do 
eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a 
Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2 Pa.s 
R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm 
 
 
[10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com 
0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23,9 
Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra. 
 
[11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é 
arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de uma luva de 60,2mm. No 
espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e 
viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. 
(a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida 
para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) Determinar a força 
requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N 
 
 
[12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de 
uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe 
óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 
0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e 
(b) potência originado nesta condições de operação. 
R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kWMecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
MMAANNOOMMEETTRRIIAA 
 
(( CCAAPP 33 )) 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-23 
1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.3) 
 
[1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a 
densidade do fluido igual a 8,5. 
 
B de acima líquido de coluna da Pressão = P(B)
) (/5,12
) (/12508
5,181,910006,8
 
2
2
2
2
kPaoumkN
PaoumN
xxx
hgd
ghp
águamercurio
B
=
=
=
=
=
ρ
ρ
 
 Manômetro piezométrico simples 
 
 
 
[2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão 
de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. O 
manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. 
Determinar: 
 
a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m. 
b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m. 
 
 
 
p gh ghA = −ρ ρman 2 1 
 
a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4 
 
 = 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar) 
 
b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4 
 
 = -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar) 
 
A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-24 
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U. Determinar 
a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. 
 
pC = pD 
 
pC = pA + ρg hA 
 
pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 
 
 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 
 
 = -7284 + 61852 
 
 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) 
 
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A 
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do 
manômetro. 
 
 
 
• Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão 
atmosférica. 
• Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a 
atmosférica. 
• Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa 
é uma pressão relativa a atmosfera. 
 
 
 
Desta forma utilizando pressões relativas: 
 ( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+
 
 ( ) ( ) yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ 
 
Resolvendo: 
 ( ) ( )
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000
==
=
=+++
=+−+−+ yxxxxxxx
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-25 
[ 5 ] Com base na figura ao lado, determine: 
A pressão absoluta no ponto A; 
 
 
PA (Rel) = ρH2O . g . hH2O 
 
PA (Rel) = 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m ≅ 49 kPa 
 
PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) 
 
PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa 
 
PA (Abs) ≅ 270 kPa 
 
 
[ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine: 
a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água; 
b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. 
 
 
 
a) 
PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) 
 
PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa ≅ 134,68 kPa 
 
PA (Rel) = ρGas. g . hgas = 680 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m = 33,354 kPa 
 
ρGas = d x ρágua à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3 
 
 
b) 
PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g . hágua 
 
 
PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa ≅ 144,5 kPa 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-26 
[ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine: 
 
a) a massa específica do azeite de oliva; 
b) a densidade do azeite de oliva. 
 
Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa. 
 
 a) 
 PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg 
 
 PA (Abs)=PAtm +ρóleo.g.hóleo +ρH2O.g.hH2O +ρaz.oliva.g.haz.oliva +ρHg.g.hHg 
 
 
olivaaz
HgHgOHOHóleoóleoATMF
olivaaz hg
hghghgPP
.
.
.
......
22
ρρρ
ρ
−−−−
= 
( ) ( ) ( )[ ]{ }
m
s
m
Pa
oa
9,2.81,9
4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300
2
.
++−−
=ρ 
 
3
2
2
.
/1370
9,2.81,9
.
38982
mkg
m
s
m
sm
kg
olivaaz ≅≅ρ 
 
 
 
 
 
 
3
34
4
/890000189,0 mkg
m
kg
xxdd Càáguaóleoóleo
Càágua
óleo
óleo ===⇒= °
°
ρρ
ρ
ρ b) 
 
37,1
/1000
/1370
.3
3
4
.
.
=⇒==
°
olivaaz
Càágua
olivaaz
olivaaz d
mkg
mkgd
ρ
ρ
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-27 
[8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e 
B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. 
 
 
 
kPaPP
PghghghP
BA
BtetraHgóleoA
28,37
321
−=−
=−++ ρρρ
 
 
Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A 
 
 
[ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi 
conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A 
deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a 
velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de 
pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6. 
 
 
 
 
 
( ) kPaxPP
PggxgxxgP
BA
BaaaaA
52
1000
81,9)7503696,13360(
1000
750
1000
3606,13
1000
360
1000
≈+−=−
=−

 −−

−

+ ρρρρ
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-28 
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap3) 
[ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a 
pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo 
do tanque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a 
água e o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89. 
Densidade do mercúrio 13,6. 
 
[ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque 
subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68 
determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina-
água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque. 
R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa 
 (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa 
 
 
 
 
[3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro 
em U conectado como mostrado na figura. O manômetro utiliza 
benzeno com massa específica igual 879 kg/m3. Determinar: 
 
(a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão. 
(b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação. 
R: PA - PB = 463 Pa (de A para B ) 
 
 
[4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 
294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do 
mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. 
Massa específica da água: 1000 kg/m3; 
Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 
[5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig. 
considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. 
Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A 
densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. 
R: 22cm 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-29 
 
 
 
[ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na 
Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3. Massa especifica do 
mercúrio 13550kg/m3. Determine a pressão manométrica no 
ponto A. R: 20,92 kPa. 
 
[ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado 
contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão 
(relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual 
será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. 
R: y=626mm 
 
[8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da 
pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo 
do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa 
específica do mercúrio = 13600kg/m³. 
(a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B 
(b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros 
de coluna de água ? 
R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20 
 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre 
as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA) 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-30 
 
[10] Determine a pressão na tubulação com água (A) 
considerando que o manômetro em U esta aberto para a 
atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso especifico 
igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e h2=10cm. 
R: 8,0 kPa 
 
[ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo, 
quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. Considere as 
densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm 
 
[ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13,6). 
R: (a) 2,75 kPa 
 [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém água, 
tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 
13,6. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma 
pressão absoluta igual a 180 kPa. A pressão absoluta em A é 
igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da 
coluna de água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B. 
Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. 
R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa 
 
[14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre 
o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
((CCaapp.. 44 )) 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-32 
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemática dos Fluidos (Cap4) 
 
[ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r Onde x e y em metros 
 
1. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
2. Regime permanente ou não permanente ? 
3. Determinar o ponto de estagnação 
4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
[ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 
 ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −=r 
 
[ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 
 
( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
 
[ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
 
(1) Determinar o vetor da aceleração total. 
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) 
(3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) 
 
[ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++=r 
 
[ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−=r 
 
[ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades 
dada pela equação: 
( ) 

 +=→
L
x
utzyxV 21,,, 0 . 
Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e 
na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na 
saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. 
 
[ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r 
 
(a) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. 
(b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. 
(c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. 
(d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. 
(e) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
[ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: 
 
jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++=r 
 
(a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
(b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. 
(c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=r Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=r 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,0
8,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,1
8,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=r 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-34 
Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −=r 
Solução: 
 
Será fluido incompressível se: 
0=•∇ V
r
 ou 0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u 
Será fluido compressível 
0≠•∇ V
r
 ou 0≠
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u 
 
 
0
2
4
4
32
=
−=
=
w
xyv
yxu
 Derivando 
0
8
8
3
3
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
w
xy
y
v
xy
x
u
 e somando obtemos 088 33 =−=
∂
∂+
∂
∂
xyxy
y
v
x
u 
 
Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível 
 
Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 
 
( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
 
0
8,05,1
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 
0
8,0
8,0
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
w
y
v
x
u
 008,08,0 =+−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u 
 
 
Resposta: fluido incompressível 
 
Atividade: Dado o vetor velocidade 
 
 ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++=r 
 
(a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente(b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). 
(c) Determine a aceleração local da partícula. 
(d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível 
(e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-35 
Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
 
(1) Determinar o vetor da aceleração total. 
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) 
(3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) 
 
 
(1) Determinar o vetor da aceleração total. 
 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
ap ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==
rrrrr
r observamos que é regime permanente: 0=
∂
∂
t
V
r
 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 
0
ˆ8,0
ˆ8,0
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
V
j
y
V
i
x
V
r
r
r
 
( )
0
ˆ)64,02,1()ˆ8,0)(8,05,1(
ˆ)64,04,0()ˆ8,0(8,05,0
=
∂
∂
+−=−−=
∂
∂
+=+=
∂
∂
z
V
w
jyjy
y
V
v
ixix
x
V
u
r
r
r
 
 
jyix
Dt
VD
ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++=
r
 
 
Resposta: jyixap ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++=
r 
 
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) 
 
ji
Dt
VD
ji
Dt
VD
jxix
Dt
VD
ˆ)72,0(ˆ)68,1(
ˆ)92,12,1(ˆ)28,14,0(
ˆ)364,02,1(ˆ)264,04,0(
+=
+−++=
+−++=
r
r
r
 
 
Resposta: jiap ˆ)72,0(ˆ)68,1()0,3,2( +=
r 
 
(3) Determinar o módulo da aceleração em (2,3,0) 
 
22222 /83,172,068,1)0,3,2( smaaaa yxpp =+=+==
r 
 
Resposta: 2/83,1)0,3,2( smap = 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-36 
Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional 
 ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++=r 
 
Rotacional 0
2
1 ≠∇= Vx
r
r
ω Irrotacional 
 
k
y
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
w
ˆ
2
1
ˆ
2
1
ˆ
2
1 


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂=ωv 
 
( )
( )kw
jxv
yxu
ˆ10
ˆ)3(
12
4
3
=
=
=
 
( )
( )
( ) 01212
2
1
2
1
000
2
1
2
1
00
2
1
33 =−=



∂
∂−∂
∂=
=−=



∂
∂−∂
∂=
−=
xx
y
u
x
v
x
w
z
u
z
z
y
y
x
ω
ω
ω
ω
ω
 
 
Resposta: Irrotacional 
 
Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional 
 ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−=r 
 
 
( )
( )2
2
12
)44(
6
zw
zxv
yxu
=
−−=
=
 
( ) 240
2
1
2
1
−=−=



∂
∂−∂
∂=
x
x
z
v
y
w
ω
ω
 
( ) 000
2
1
2
1
=−=



∂
∂−∂
∂=
y
y
x
w
z
u
ω
ω
 
( ) ( )22 3264
2
1
2
1
xx
y
u
x
v
z
z
+−=−−=



∂
∂−∂
∂=
ω
ω
 
 
 
 
 
Resposta: Rotacional 
 
0=xω
0=yω
0=zω
0=ωr
0≠xω 0=yω 0≠zω
0≠ωr
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-37 
 Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de 
velocidades dada pela equação: 
( ) 

 +=→
L
x
utzyxV 21,,, 0 . 
Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada 
e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na 
saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. 
 
a) Unidimensional ( ) i
L
x
uutzyxV ˆ21,,, 0 

 +==→ 
t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
ap ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==
→→→→→
→
... 
Como 0
t
V =
∂
∂
→
 , então, o escoamento é em Regime Permanente; 


 +

=









 +=∂
∂==
→→
→
L
x
L
u
L
u
L
x
u
x
V
u
Dt
VD
ap
21..2.2.21.
2
00
0 (aceleração da partícula do fluido) 
 
b) ( ) ( ) 

 +



=

 +

==
→
→
mm
sm
L
x
L
u
Dt
VD
ap 3,0
0.21.
3,0
/3.221..2
22
0
 
2/60 smap =
→
 (aceleração na entrada do bocal) 
( ) ( )

 +


=

 +

==
→
→
m
m
m
sm
L
x
L
u
Dt
VD
ap 3,0
3,0.21.
3,0
/3.221..2
22
0
 
2
p s/m180a =
→
 (aceleração na saída do bocal) 
 
c) ( )
s
m
m
m
s
m
L
x
uuV 9
3,0
3,0.21.3210 =

 +=

 +==→ (velocidade na saída do bocal) 
 
 
c) Neste exercício, a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo. 
 
( ) i
L
x
uutzyxV ˆ21,,, 0 

 +==→ 
( ) 

 +

=∂
∂=⇒=
→
→
→
→
L
x
L
u
x
V
ua
Dt
VD
tzyxa pp
21..2.,,,
2
0
 
0=
∂
∂
→
t
V
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-38 
Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por: 
 ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++=r 
 
(a) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). 
(b) Determine a aceleração local da partícula. 
(c) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível 
(d) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
Solução 
 
(1) Velocidade na partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). 
 
(a) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
smV
kjiV
kjiV
kzxjxyzizyV
/3,28
ˆ24ˆ12ˆ9
ˆ1.2.3ˆ1.3.2.2ˆ1.3
ˆ3ˆ2ˆ
3222
3222
=
++=
++=
++=
r
r
r
 
 
 
(2) Aceleração local da partícula. 
 
(b) 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrrr
 
 
Resposta : Aceleração local da partícula: 0=
∂
∂
t
V
r
 (a aceleração local da partícula é nula) 
 
(c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível 
 
z
w
y
v
x
uV
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
r
 
 0320 32 ≠++=∇ xxzV
r
 Por tanto se trata de fluido compressível. 
 
(d) Escoamento é rotacional ou irrotacional. ? 
 
0)22(
2
1
2
1
)92(
2
1
2
1
)40(
2
1
2
1
22
22
=−=


∂
∂−∂
∂
≠−=


∂
∂−∂
∂
≠−=


∂
∂−∂
∂
yzzyz
y
u
x
v
zxzy
x
w
z
u
xyz
z
v
y
w
 
 
Resposta: Escoamento rotacional 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-39 
 
Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r 
 
(f) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. 
(g) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. 
(h) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. 
(i) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. 
(j) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
SOLUCAO 
 
(A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. 
Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z 
(v,w). 
 kwjvV ˆˆ +=r 
(B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente. 
Para ser escoamento em 3D em regime permanente. ),,,( tzyxVV =r 
 
Neste caso: kzywjzyuV ˆ),(ˆ),( +=r 
 
Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente) 
 
 ( C) Determinar a aceleração da partícula 
 
 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrrr
 )()( ConvectivapLocalpp aaa
rrr
+= 
Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local énula: 0=∂
∂
t
V
r
 
 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrr
 
 
0=
∂
∂
x
V
u
r
 (escoamento bidimensional com u=0) 
 
kyzzyjyzy
y
V
v ˆ)6)(4(ˆ)3)(4( 323 −−+−−−=
∂
∂
r
 
 
kyzy
z
V
w ˆ)3)(3( 22=∂
∂ r 
 
 
( ) ( ) kzykyzzyjzyy
Dt
VD
ˆ)9(ˆ246ˆ123 42425 ++−+=
r
 
 
 
( ) ( )kyzzyjzyy
Dt
VD
ˆ243ˆ123 2425 +++=
r
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-40 
 
 
( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. 
 
Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: 
 
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
z
w
y
v
x
uV
r 
 
 0=
∂
∂
x
u 23y
y
v −=∂
∂ 23y
z
w =
∂
∂ 
 
Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. 
 
033 22 =+−=
∂
∂+
∂
∂=∇ yy
z
w
y
vV
r 
 
(E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r 
 
Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). 
 
kzywjzyvV ˆ),(ˆ),( +=r P 
 
Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: 
 
 
k
y
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
w
ˆ
2
1
ˆ
2
1
ˆ
2
1 


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂=ωv 
 
 
i
z
v
y
w
ˆ
2
1 


∂
∂−∂
∂=ωv 
 
yz
y
w 6=
∂
∂ 
 
4−=
∂
∂
z
v 
 
Desta forma o escoamento é rotacional já que 0≠ωv 
 
ixz ˆ)46(
2
1
−=ω
v 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-41 
 
Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: 
 
jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++=r 
 
(d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
(e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. 
(f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-42 
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) 
 
[1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: kji xzytxttzyxV ˆˆ2ˆ 32),,,( +−=
r . Determinar: 
(a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. 
(b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. 
( c ) Aceleração total da partícula 
(d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) 
(e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). 
 
 
[2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kji tyxztV ˆ2ˆˆ3 ++=
r 
 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. 
 
[3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kji zxxyzzyV ˆ3ˆ2ˆ22 32 ++=
r 
(a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional 
(b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. 
 
[4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kzji etaytaxV ˆ2ˆ23ˆ2
2
+−=
r 
 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. 
[5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k
y
zxj
y
zxi
y
zxV ˆ3ˆ2ˆ 2
223
2
3
−−=
r 
 Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. 
 
[6] Dado o campo de velocidades kji zzxyxV ˆ2ˆˆ2 12)44(6 +−−=
r Determine o campo de velocidades angular 
ou rotacional. 
 
[7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. 
 
(a) xu −= yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4−= 
 
(d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2+= txxyv 4+= (c) 324 yxu = 42xyv −= 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
CCOONNSSEERRVVAAÇÇÃÃOO DDAA MMAASSSSAA 
 
(( CCaapp.. 55 )) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-44 
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) 
 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque 
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes 
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é 
dada pela equação: 
 
i
R
rUV ˆ1
2
max 


 

−=r 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o 
fluxo de massa da tubulação. 
 
 
 
[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para 
escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é 
igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as 
entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção 
(2). 
 
 
 
 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-45 
 
 
Solução Exemplo 1 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de 
uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa 
especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa 
instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
Equação Básica 0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
Hipóteses: 
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem 
dependentes do tempo. 
(2) Escoamento uniforme na seção (1). 
 
 Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. 
( ) 0=∫+∫ ∀ sc AdVvcdt
rrρρ∂
∂ 
• Como ∀=∀∫
vc
d 
0=∫+∀ sc AdVt
rrρρ∂
∂ 
 
• O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). 
∫=∫ 1Asc AdVAdV
rrrr
ρρ 
 
• Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). 
 
• Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 
 
1111
AVAdV
A
ρρ =∫ rr 
 
( ) 0111 =+∀∂
∂ AV
t
ρρ 
• Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: 
 
( ) 111 AVt ρρ −=∂
∂∀ 
 
( )
∀
−=
∂
∂ 111 AV
t
ρρ 
 
( )
( )
( ) smkgm
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/48,2
05,0
10001000
65
1000
31113,6
33
2
3


−=





−=∂
∂ ρ 
• Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0). 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-46 
Solução Exemplo 2 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: 
 
i
R
rUV ˆ1
2
max 


 

−=r 
 
Onde r é a distanciaradial a partir do eixo central do tubo. 
Determine o fluxo de massa da tubulação. 
 
Solução: 
A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
 
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
 
Hipóteses: 
• Escoamento permanente 
• Escoamento incompressível 
• Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
∫∫∫ === AdVAdVAdVm rrrrrr& ρρρ 222111 
 
A
u
R
uR
um
RRR
R
RR
R
rr
rdr
R
r
rdr
R
r
um
drr
R
r
um
pirdrdA
RR
R
R
224
2
442
1
42
1
42
1
:integral a Resolvendo
12
)2(1
 2 : tubodo seção da área de elemento o doConsideran
max2max
2
max
222242
0
242
0
2
0
2
max
0
2
max
ρpiρpiρ
piρ
piρ
==


=
=

 −=


 

−=


 

−=


 

−



 

−=



 

−=
=
∫
∫
∫
&
&
&
 
Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 
2
maxuu = 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-47 
Solução Exemplo 3 
[3] Dados 
Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 
Fluxo de massa em (3): 
s
kg
m 603 =& (+) 
Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s 
Velocidade em (1) 
s
miV ˆ0,31 =
r 
Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 
 
 
A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
Hipóteses: 
(1) Escoamento permanente 
(2) Escoamento incompressível 
(3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 
0
4331
=+++= ∫∫∫∫∫
AAAAsc
AdVAdVAdVAdVAdV
rrrrrrrrrr
ρρρρρ 
Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 
1
1
1111
1
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 
 
222
2
22
2
mAVAVAdV
AA
&
rr
=±== ∫∫ ρρρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção 
 
∫∫ ===
3
33333
3 AA
mAVAVAdV &
rr
ρρρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 
 
4
4
4444
4
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 
 
04321 =+++=∫ mmmmAdV
sc
&&&&
rr
ρ 
skgmx
s
m
x
m
kgAVm /6002,00,31000 23111 −==−= ρ& (-) entrando no v.c. 
skgm /603 =& (+) saindo do v.c. 
skg
s
m
x
m
kgQAVm /3003,01000
3
34444 −===−= ρρ& (-) entrando no v.c. 
0306060 24321 =−++−=+++ mmmmm &&&&& 
s
kg
m 302 =& Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. 
Para determinar a velocidade em (2): 
222 AVm ρ=& 
sm
xA
mV /6,0
05,01000
30
2
2
2 === ρ
& na forma vetorial: 
s
mjV ˆ6,02 −=
r (aponta em sentido negativo do eixo y) 
Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-48 
Solução Exemplo 4 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. 
Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) 
devido ao enchimento do reservatório dada por: 
 
 
 
Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2. 
 
resres A
VAVA
A
QQ
t
dh
mmd
t
221121
21 0
+=+=
∂
=−−∀
∂
∂
&&ρ
 
 ( ) ( )
sm
xx
A
VDVD
t
dh
res
/0172,0
18,0
6,0075,09,0025,0
44
22
2
2
21
2
1 =
+
=+=
∂
pipi 
 
021 =−− mmdt
dhAres &&ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO 
 
(( CCaapp..55 )) 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-50 
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) 
 
[1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
 
[2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. 
 
[3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária 
para manter o cotovelo no lugar. 
 
 
[4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo 
em que atua. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-51 
 
[ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força 
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A 
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com 
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 
 
Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N 
 
 
 
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de 
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa 
especifica da água 1000 kg/m3). 
 
 
 
 
 
 
 
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na 
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a 
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. 
 
 
Obs. O fluido escoa de (1) para (2). 
 
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado 
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade 
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-52 
Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
 Dados: 
Velocidade do jato: smiV /ˆ15=r Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Determinar: Força resultante. 
 
 
Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. 
Equações Básicas 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂ 
 Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. 
 
∫=
sc
s AdVVF
rrrr
ρ 
 Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. 
ApRApF atmxatmx −+= Por tanto xx RF =

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