O Curso de Cálculo com Aplicações

3.2.
A reta rx que liga os pontos p = (x,− 14C ) e F = (0, 14C ) e´ ortogonal a` reta tangente
Tx ao gra´fico de y = Cx
2 em P = (x, Cx2).
Ademais, rx e Tx se intersectam emMx := (
x
2
, 0), que e´ o ponto me´dio do segmento
de p e F .
Em suma, Tx e´ a reta mediatriz do segmento ligando p e F .
As Figuras a seguir ilustram a Afirmac¸a˜o:
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 267
4
2
0
-4
-2
x
420-4 -2
Fig: y = x
2
4
, tangente y = x− 1 em P = (2, 1),
onde F = (0, 1), M = (1, 0) e p = (2,−1).
4
0
-8
2
-2
x
40
-6
-4
-4 2-2
Fig: A Figura de antes e ademais a tangente y = 3
2
x− 9
4
em P = (3, 1), M = (3
2
, 0) e p = (3,−1).
Demonstrac¸a˜o.
Ja´ sabemos que a reta tangente Tx tem equac¸a˜o:
y = (2Cx) · x− Cx2.
E a reta rx ligando p e F tem coeficiente angular:
1
4C
− −1
4C
0− x =
−1
2Cx
,
logo rx e Tx sa˜o ortogonais.
Por passar por F = (0, 1
4C
) a equac¸a˜o de rx e´:
rx : y =
−1
2Cx
· x+ 1
4C
.
Avaliando ambas as equac¸o˜es de retas em Mx = (
x
2
, 0) vemos que Tx e rx conteˆm
Mx = (
x
2
, 0).
3. A PARA´BOLA E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 268
Ademais as coordenadas deMx sa˜o me´dia aritme´tica das coordenadas de (x,− 14C )
e (0, 1
4C
), logo Mx e´ ponto me´dio do segmento que os une.
�
Agora vamos extrair consequeˆncias da Afirmac¸a˜o 3.2.
Note que os triaˆngulos retaˆngulos ∆F P Mx e ∆p P Mx sa˜o congruentes: de fato,
PF = Pp ja´ que P esta´ na para´bola, FMx = Mxp por Mx ser ponto me´dio e PMx
ser lado comum a ambos.
Logo os aˆngulos ∠F P Mx e ∠Mx P p sa˜o congruentes.
Considere em torno de P os aˆngulos ∠Mx P p e seu aˆngulo oposto pelo ve´rtice.
Como sa˜o congruentes, temos que o aˆngulo que a reta vertical pP faz com a tangente
Tx e´ congruente com o aˆngulo ∠F P Mx.
PF
M
p
Em O´tica se postula que a luz se reflete numa curva da seguinte forma:
o aˆngulo de incideˆncia que se forma entre o raio de luz e a tangente da curva e´
igual ao aˆngulo (na˜o orientado) formado pelo raio refletido e a tangente da curva.
Pelo que vimos acima, isso quer dizer que raios de luz que chegam verticalmente
devem refletir na para´bola y = Cx2 e passar todos pelo ponto F = (0, 1
4C
) que por
isso merece o nome de foco, por concentrar a luz. Esse fato e´ usado em antenas,
microfones, espelhos de formato parabo´lico, para concentrar ondas, som, calor, luz
em um ponto, que e´ o Foco.
Como na˜o posso plotar retas verticais, na˜o pude fazer o Exemplo a seguir na
posic¸a˜o vertical. Tive que colocar na horizontal. E so´ pude usar metade da para´bola,
para ter um gra´fico. Enta˜o a Figura a seguir ilustra a concentrac¸a˜o de 5 raios hori-
zontais refletidos no Foco:
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 269
2,5
1,5
2
1
0
x
0,8
0,5
0,20,4 10,60
Figura: Brac¸o da para´bola x = y
2
4
refletindo 5 raios horizontais no Foco F = (1, 0).
4. Prova anal´ıtica da propriedade do foco
Vou dar uma prova anal´ıtica do fato de que os raios verticais que incidem numa
para´bola sa˜o todos refletidos para o foco.
A afirmac¸a˜o a seguir sera´ u´til em outros contextos6:
Afirmac¸a˜o 4.1. Seja (x, y) ponto do gra´fico de y = f(x) em que o gra´fico na˜o tem
inclinac¸a˜o zero.
Se uma reta vertical por esse ponto e´ refletida no gra´fico de tal modo que o aˆngulo
de incideˆncia que forma com a reta tangente e´ igual ao aˆngulo que a reta refletida
forma coma reta tangente, enta˜o a equac¸a˜o da reta refletida e´:
y = (
f ′(x)2 − 1
2f ′(x)
) · x+ f(x)− (f
′(x)2 − 1
2f ′(x)
) · x.
Demonstrac¸a˜o.
Na figura a seguir em azul esta˜o os aˆngulos de incideˆncia e de reflexa˜o, supostos
iguais (congruentes). A reta horizontal e´ h.
Tambe´m t e n sa˜o as retas tangente e normal. Dois aˆngulos retos da˜o indicados.
6Aprendi isso no Tomo 3 do Traite´ des courbes speciales remarquables, planes et gauches, de F.
Gomes Teixeira, 1971, Chelsea Publishing Company
4. PROVA ANALI´TICA DA PROPRIEDADE DO FOCO 270
n
t
y = f(x)
h
Na figura a seguir veja: α = f ′(x) o aˆngulo que a reta tangente t faz com o eixo
horizontal, β o aˆngulo que o raio refletido faz com o eixo horizontal, α1 o aˆngulo que
a normal faz com a vertical e α2 o aˆngulo que o raio refletido faz com a normal.
n
t
y = f(x)
h
α
α
β
1
α
 2 
Note que que α1 e´ congruente com α. Ademais, da hipo´tese sai que α2 ≡ α1 E
da´ı:
α2 ≡ α1 ≡ α.
Enta˜o
β =
pi
2
+ α1 + α2 =
pi
2
+ 2 · α.
Na linha a seguir uso algumas identidades trigonome´tricas:
tan(β) = tan(
pi
2
− (−2α)) = cot(−2α) = − cot(2α) = − 1
tan(2α)
.
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 271
Ou seja, usando agora a fo´rmula da tangente de 2α,
tan(β) = − 1
( 2 tan(α)
1−tan(α)2 )
.
Enta˜o o coeficiente angular da reta refletida e´:
tan(β) =
tan(α)2 − 1
2 tan(α)
=
f ′(x)2 − 1
2f ′(x)
e o coeficiente linear e´ imediato.
�
No caso da para´bola y = C · x2 a equac¸a˜o da reta refletida, de acordo com a
Afirmac¸a˜o 4.1, e´ enta˜o:
y = (
4C2x2 − 1
4Cx
) · x+ Cx2 − 4C
2x2 − 1
4C
=
= (
4C2x2 − 1
4Cx
) · x+ 1
4C
,
portanto todas passam por (0, 1
4C
), o foco.
5. A Elipse e sua propriedade refletiva
Afirmac¸a˜o 5.1. Um ponto P = (x, y) satisfaz a equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
= 1
se e somente se
PF1 + PF2 = 2a,
onde F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) sa˜o os dois focos e
a2 = b2 + c2
.
Observe que esta Afirmac¸a˜o 5.1 da´ um me´todo pra´tico para trac¸ar uma elipse: fixe
dois pontos F1 e F2, com dois pregos, e ligue-os por um corda˜o maior que a distaˆncia
F1F2. Com um la´pis estique o corda˜o e agora mova o la´pis, sempre mantendo o
barbante esticado, trac¸ando pontos P . Voceˆ trac¸ara´ uma elipse, pois F1P + PF2 e´
constante.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 5.1)
Como notamos apo´s a Definic¸a˜o 2.3, uma elipse pode ser definida com relac¸a˜o a
dois pares Foco/diretriz: F, r ou F ′r′.
Para qualquer ponto P da elipse temos
PF = e · P r e PF ′ = e · P r′,
onde r, r′ sa˜o as retas diretrizes.
5. A ELIPSE E SUA PROPRIEDADE REFLETIVA 272
F F ’
ρ ρa a
r r ’
Logo
PF + PF ′ = e · r r′,
onde r r′ e´ a distaˆncia entre essas duas retas (paralelas).
Ou seja, que PF + PF ′ ≡ C e´ constante para pontos na elipse.
Na descric¸a˜o que demos, a excentricidade e da elipse verifica:
a =
eρ
1− e
ou seja, 2a− 2ae = 2eρ e portanto
2a = e · (2a+ 2p).
Ora, como nos lembra a Figura acima:
2a+ 2ρ = r r′
e´ a distaˆncia entre as duas retas diretrizes da elipse. Logo
PF + PF ′ ≡ 2a.
A Afirmac¸a˜o 2.2 e a simetria no eixo x da˜o que as coordenadas dos focos sa˜o
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde
c =
√
a2 − b2.
�
A elipse tem a nota´vel propriedade seguinte:
se P e´ um ponto da elipse e PF1, PF2 duas semiretas que ligam P aos focos,
enta˜o os aˆngulos formados por PF1 e a tangente em P e o formado por PF2 e a
tangente em P sa˜o iguais.
Em outras palavras, se um raio de luz sai de um foco e reflete na elipse enta˜o
ele passa no outro foco.
Para provar isso, notamos primeiro o seguinte:
CAPI´TULO 20. AS COˆNICAS E SUAS PROPRIEDADES REFLETIVAS 273
Afirmac¸a˜o 5.2. Se uma reta so´ intersecta uma elipse num u´nico ponto P , enta˜o
essa reta e´ a reta tangente a` elipse em P .
Demonstrac¸a˜o.
Considerarei apenas pontos da elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 com coordenada y > 0, ou seja,
onde posso representar a elipse pelo gra´fico de
y = b ·
√
1− x
2
a2
,
pois para os outros e´ ana´logo, usando outros gra´ficos do tipo y = y(x) ou x = x(y).
Uma reta y = A · x+B que passa por (x, b ·
√
1− x2
a2
) tem equac¸a˜o:
y = Ax+ (b ·
√
1− x
2
a2
− Ax).
Se a intersecto com a elipse x
2
a
+ y
2
b2
= 1 obtemos: