O Curso de Cálculo com Aplicações

e acima do eixo dos x,
• se dado y pudermos descobrir qual x gerou y = f(x),
enta˜o podemos dizer que entendemos o comportamento da f(x).
Estaremos capacitados a fazer previso˜es sobre o fenoˆmeno modelado por essa
func¸a˜o.
Esses sa˜o alguns dos objetivos do Ca´lculo.
Nas pro´ximas Sec¸o˜es passamos lembrar / definir essas noc¸o˜es.
1. Func¸o˜es e seus domı´nios
Os filo´sofos sempre se espantaram com o fato de que as coisas mudam, e se ques-
tionaram tanto sobre o que muda como sobre o que permanece nessas mudanc¸as.
Os matema´ticos tambe´m compartilham desse espanto e sempre se perguntaram,
ao ver que ha´ mudanc¸as, como as coisas mudam.
A resposta a essa pergunta pode ser tanto qualitativa como quantitativa, as duas
sa˜o interessantes. Por exemplo e´ qualitativa quando um astroˆnomo afirma que certo
cometa voltara´ a passar algum dia. E´ quantitativa no caso de Halley, que previu o
ano em que certo cometa voltaria, usando as ferramentas do Ca´lculo.
Se um fenoˆmeno (a temperatura de um sistema, por exemplo) depende de um so´
paraˆmetro (o tempo, por exemplo) e´ natural descrever sua evoluc¸a˜o num gra´fico da
func¸a˜o que associa a cada momento x a temperatura T (x). Esse gra´fico formara´ uma
21
1. FUNC¸O˜ES E SEUS DOMI´NIOS 22
curva no plano.
0,8
1
0,4
0
0,6
0,2
x
210-1-2
Figura: O gra´fico de y = T (x) forma uma curva no plano.
Mas e´ claro que conhecemos fenoˆmenos z = F (x, y) que dependem de dois fatores
e para descrever esse fenoˆmeno precisariamos de gra´ficos que formam superf´ıcies no
espac¸o, ao inve´s de curvas no plano. E em geral os fenoˆmenos dependem de va´rios
paraˆmetros (em qu´ımica, por exemplo, quantidades de reagentes, pressa˜o, ph, etc).
Figura: O gra´fico de z = F (x, y) forma uma superf´ıcie no espac¸o
Os conceitos que aprenderemos neste curso se adaptam facilmente para superf´ıcies,
mas vamos nos restringir a gra´ficos que sa˜o curvas. Ou como se diz, faremos o Ca´lculo
de 1 varia´vel.
A seguir vamos comec¸ar a estabelecer conceitos qualitativos sobre gra´ficos que
sa˜o importantes no Curso. O manejo correto desses conceitos e´ fundamental para a
compreensa˜o do resto do curso.
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 23
2. Func¸a˜o
Uma func¸a˜o e´ uma regra que associa a cada ponto1 de um conjunto (o domı´nio
da func¸a˜o) um ponto de um outro conjunto fixado (o contra-domı´nio). Dito de outro
modo, uma reta vertical trac¸ada passando por um ponto do domı´nio de uma func¸a˜o
y = f(x) corta seu gra´fico exatamente em 1 ponto. Por isso, por exemplo, um c´ırculo
na˜o e´ gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x).
O subconjunto do contradomı´nio formado por pontos que sa˜o efetivamente valores
da func¸a˜o formam a imagem da func¸a˜o. Por exemplo,
f : R→ R, f(x) = x2
tem como domı´nio e contradomı´nio os nu´meros Reais, mas sua imagem sa˜o apenas
os Reais na˜o-negativos2.
Quando dizemos que f : I → J e´ sobrejetiva isto quer dizer que na˜o somente
a imagem f(I) verifica f(I) ⊂ J , mas que de fato verifica f(I) = J . Ou seja, que
efetivamente todo ponto de J foi atingido pela f . Por exemplo, f(x) = x2 so´ e´
sobrejetiva vista como func¸a˜o f : R→ R≥0.
E´ importante notar na definic¸a˜o de func¸a˜o que so´ ha´ um valor associado a cada
ponto do domı´nio. Se houver ambiguidade na atribuic¸a˜o do valor enta˜o dizemos que a
func¸a˜o na˜o esta´ bem-definida naquele ponto. Por exemplo, quando perguntamos qual
e´ a ra´ız quadrada de 9 ha´ uma ambiguidade: pode ser que tomemos a ra´ız positiva 3
ou a ra´ız negativa −3.
Na˜o confunda a definic¸a˜o de func¸a˜o com outra, a de func¸a˜o injetiva: uma func¸a˜o
e´ injetiva quando na˜o associa o mesmo valor a dois pontos distintos de seu domı´nio.
Por exemplo, f : [0, 3]→ R, f(x) = x2 e´ injetiva mas f : [−3, 3]→ R, f(x) = x2 na˜o
e´ injetiva.
3. Func¸o˜es definidas a partir de outras func¸o˜es
3.1. Func¸a˜o inversa. Imagine uma func¸a˜o que desfaz o efeito de outra func¸a˜o.
Por exemplo, uma da´ a a velocidade de um carro em func¸a˜o do tempo trascorrido
v = v(t). Sua inversa diria para cada velocidade v qual o tempo necessa´rio para
atingir essa velocidade t = t(v) (o que da´ uma medida da poteˆncia do motor do carro,
por ex.)
Ou por exemplo, a temperatura de um objeto vai caindo com o tempo. Sabendo
quanto caiu a temperatura T (t) como determinar o tempo t transcorrido ?
Para se ter uma func¸a˜o inversa f−1, a func¸a˜o f necessariamente tem que ser
injetiva !
Se na˜o, vejamos: se y = f(x1) = f(x2) com x1 6= x2, o que deve fazer f−1 com y
? Envia´-lo em x1 = f
−1(y) ou em x2 = f
−1(y) ? Isso e´ uma ambiguidade inaceita´vel
para f−1.
Vamos mais tarde falar do sentido geome´trico da func¸a˜o inversa.
1Para mim os nu´meros Reais formam um reta, portanto uso nu´mero ou ponto indistintamente.
2Va´rias vezes no curso usaremos isso: o quadrado de um nu´mero Real nunca e´ negativo
4. DIFERENTES DOMI´NIOS DE FUNC¸O˜ES 24
3.2. Composic¸a˜o de func¸o˜es. Dentre os modos mais u´teis de se produzir um
func¸a˜o interessante a partir de func¸o˜es simples esta´ a composic¸a˜o de func¸o˜es.
A ide´ia e´ simples e fundamental: o resultado de uma func¸a˜o g(x) vira entrada de
uma segunda func¸a˜o f .
A notac¸a˜o usual e´: se f : I → J e g : J → K enta˜o (f ◦ g) : I → K faz
(f ◦ g)(x) := f( g(x) ).
E´ claro que se pode compor um nu´mero qualquer de func¸o˜es.
Pense em quantos exemplos encontramos disso na natureza, nas reac¸o˜es qu´ımicas,
nas indu´strias, em que um processo complicado e´ dividido em va´rias etapas simples
concatenadas.
Neste Curso procedermos assim tambe´m: vamos primeiro entender os casos mais
simples e depois, via composic¸a˜o de func¸o˜es, entender os mais complicados.
3.3. O que e´ a A´rea sob um gra´fico ? Podemos usar o gra´fico de uma func¸a˜o
para definir outra. Por exemplo, tomo a diagonal y = x como gra´fico e me pergunto
pela A´rea do triaˆngulo determinado pela origem, o eixo horizontal e um segmento
vertical de (x, 0) ate´ (x, x). A` medida que x avanc¸a no eixo dos x, a A´rea do triaˆngulo
obtido aumenta e poder´ıamos tentar descrever como essa A´rea depende de x isso num
outro gra´fico.
Na definic¸a˜o do Logaritmo Natural, faremos exatamente isso, mas a a´rea em
questa˜o sera´ delimitada sob o gra´fico de 1/x e na˜o sob y = x.
x=1 x
Figura: A´rea sob um o gra´fico, de x = 1 ate´ x.
Precisaremos saber primeiro, o que e´ a A´rea sob um gra´fico curvado como 1/x.
Isso que foge do que sabemos do Ensino Me´dio, que sa˜o a´reas de regio˜es elementares
como triaˆngulos, quadrados, trape´zios, setores circulares, etc. So´ entenderemos isso
plenamente na Parte 2 do curso, com o conceito de Integral.
4. Diferentes domı´nios de func¸o˜es
A princ´ıpio o domı´nio de uma func¸a˜o pode ser qualquer conjunto, mas neste Curso
usaremos como domı´nios quase sempre:
• todos os Reais R, ou
• intervalos de nu´meros reais, incluindo semi-retas ou
• apenas os Naturais N ⊂ R.
CAPI´TULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CA´LCULO 25
Mas e´ claro que em certas situac¸o˜es os domı´nios tambe´m podem ser a unia˜o de
va´rios intervalos (como se vera´ por exemplo na Sec¸a˜o 2.3 do Cap´ıtulo 6), somente os
nu´meros Racionais Q ⊂ R, etc.
5. Gra´fico descont´ınuo, mas que mesmo assim e´ gra´fico
Ha´ gra´ficos que sofrem um salto abrupto, mas que mesmo assim sa˜o gra´ficos.
Por exemplo, o gra´fico da func¸a˜o f : R→ R, definida condicionalmente por
f(x) = x− 2, se x < 2 e f(x) = x2 se x ≥ 2.
O ponto 2 de seu domı´nio e´ um ponto catastro´fico: se estamos em pontos que sa˜o um
pouquinho menores que 2 a func¸a˜o tem valores pro´xima do zero. Mas se mexemos
um pouco a coordenada x, chegando em x = 2 ou acrescentando algo positivo muito
pequeno ao 2, o valor da func¸a˜o ja´ pula para ≥ 22 = 4.
x=2
y=4
Figura: O gra´fico de func¸a˜o descont´ınua no ponto x = 2
Outro modo de ver o que acontece e´ que,