Aula 01 Transformao de Tenses

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R.C. 
Hibbeler
Resistência dos Materiais
Transformação de 
Tensão
OBJETIVOS
TENSÕES EM UM SISTEMA DE 
COORDENADAS PARTICULAR
TENSÕES EM UM SISTEMA DE 
COORDENADAS COM ORIENTAÇÃO 
DIFERENTE
1) Transformação no Estado Plano de Tensões
•Estado triplo de tensões – não é comum na engenharia;
•Simplificação – Estado Plano de Tensões
x y xy
ATENÇÃO!
'
'
YY
XX




Produzem a mesma 
resultante
ANÁLISE: FORÇA x TENSÃO - DIFERENÇAS
•Componentes de força: intensidade e direção;
•Componentes de Tensão: intensidade e direção + 
orientação (mais complicada)
PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
ILUSTRAÇÃO
•Diagrama de corpo livre;
ou
•Equações de transformação de tensões
2) Equações Gerais de Transformação de 
Tensões para o Estado Plano
Convenção de Sinal
Tensão normal 
positiva atua para fora 
de todas as faces e a 
tensão de 
cisalhamento positiva 
atua para cima na face 
direita do elemento.
Orientação do plano inclinado
•Eixo z: regra da mão 
direita;
•Giro: sentido anti-
horário;
Componentes das Tensões Normal e de Cisalhamento
•A partir das equações de equilíbrio:









2cos2
2
22cos
22
22cos
22
''
'
'
xy
yx
yx
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
sen
sen
sen













EXEMPLO 01 – O estado plano de tensões é 
representado pelo elemento mostrado na figura abaixo. 
Determinar o estado plano de tensão no ponto em 
outro elemento, orientado a 30 no sentido horário à 
posição mostrada.
3) Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento 
Máxima no Plano
Na prática da engenharia:
•Orientação dos planos onde a  é máxima e 
mínima (Tensões principais - 1 e 2 );
•Orientação dos planos onde a  é máxima (máx) ; 
Processo:
•Diferenciar a equação de x’ em relação a  e 
igualar a zero.
  2/
2
yx
xy
ptg 




2p1 e 2p2 , defasados de 180;
p1 e p2 , defasados de 90;
2
2
2,1
22
xy
yxyx  




 



 
xy
yx
ctg 


2/
2


2c e 2p , defasados de 90;
c e p , defasados de 45;
Os planos para a tensão de cisalhamento máxima são 
determinados orientando-se um elemento a 45 da 
posição do elemento que define os planos da tensão 
principal.
2
2
2
xy
yx
máx 

 




 

2
yx
méd




Tensão normal nos planos da 
tensão de cisalhamento máxima.
ATENÇÃO!
•As tensões principais representam a tensão normal máxima e 
a mínima no ponto;
•Quando o estado de tensão é representado pelas tensões 
principais, nenhuma tensão de cisalhamento atua sobre o 
elemento;
•O estado de tensão no ponto também é representado em 
termos de tensão de cisalhamento máxima no plano. Nesse 
caso, também atuará sobre o elemento uma tensão normal 
média;
•O elemento que representa a tensão de cisalhamento máxima 
no plano com as tensões normais médias associadas é 
orientado a 45 do elemento que representa as tensões 
principais.
EXEMPLOS 02, 03, 04 e 05
4) Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões






2cos2
2
22cos
22
''
'
xy
yx
yx
xy
yxyx
x
sen
sen








• Eliminando  das equações;
• x; y e xy constantes conhecidas.
 
2
2
22
''
2
'
2
2
:
xy
yx
yx
méd
yxmédx
R
onde
R










 




• Eixos:  positivo para a direita e  positivo para baixo;
• Círculo de raio R e centro C(méd,0) no eixo .
• Definir eixos  e ;
• Conhecidos x; y e xy, marcar o C;
• Obter o R: eixo x’ coincide com x;
• =0; x’=x; x’y’=xy (Ponto A –
referência)
• Conhecidos os pontos C e A, traçar o círculo.
• Uma rotação =90 do eixo x’ no elemento corresponde 
a uma rotação 2 no círculo na mesma direção;
• Processo de construção – texto xerox.