Cálculo Numérico - Exercícios Interpolação (com gabarito)

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EXERCI´CIOS: INTERPOLAC¸A˜O
1.- Considere a tabela:
x 1 3 4 5
f(x) 0 6 24 60
a) Determine o polinoˆmio de interpolac¸a˜o, na forma de Lagrange, sobre todos
os pontos.
b) Calcule f(3.5).
RESPOSTA: a)P3(x) = x3 − 3x2 + 2x, b) f(3.5) ' P3(3.5) = 13.125.
2.- Construir o polinoˆmio de interpolac¸a˜o, na forma de Lagrange, para a func¸a˜o
y = sinpix, escolhendo os pontos: x0 = 0, x1 = 16 e x2 =
1
2 .
RESPOSTA: P2(x) = −2.994x2 + 3.497x.
3.- A integral el´ıptica completa e´ definida por:
K(k) =
∫ pi/2
0
dx
(1− k2 sin2 x)1/2 .
Por uma tabela de valores desta integral, encontramos:
K(1) = 1.5708, K(2) = 1.5719, K(3) = 1.5739.
Determinar K(2.5), usando um polinoˆmio de interpolac¸a˜o, na forma de La-
grange, sobre todos os pontos.
RESPOSTA: P2(x) = 0.0005x2 − 0.0003x + 1.5706 ⇒ K(2.5) ' P2(2.5) =
1.5730.
4.- Sabendo-se que e ' 2.72, √e ' 1.65 e que a equac¸a˜o x − e−x = 0 tem
uma raiz em [0, 1], determinar o valor desta raiz usando a fo´rmula de Lagrange
sobre treˆs pontos.
RESPOSTA: Tomando x0 = 0; x1 = 0.5 e x2 = 1.0 ⇒ P2(x) = −0.31x2 +
1.943x− 1. Fazendo P2(x) = 0 ⇒ x¯ ' 0.5693.
5.- Calcular e3.1 usando a fo´rmula de Lagrange sobre treˆs pontos e a tabela:
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
ex 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
RESPOSTA: Tomando x0 = 3; x1 = 3.2 e x2 = 3.4 ⇒ P2(x) = 12.25x2 −
53.7x+ 70.93 ⇒ f(3.1) ' P2(3.1) = 22.1825.
6.- Seja a func¸a˜o tabelada:
x -2 -1 1 2
f(x) 0 1 -1 0
a) determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a fo´rmula Newton (diferenc¸as
divididas).
b) calcular f(0.5).
1
RESPOSTA: a) P3(x) = 13 (x
3 − 4x), b) f(0.5) ' P3(0.5) = −0.625.
7.- Dada a func¸a˜o tabelada:
x 0 1 1.5 2.5 3.0
f(x) 1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
a) determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a fo´rmula Newton (diferenc¸as
divididas) sobre dois pontos (interpolac¸a˜o linear).
b) determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a fo´rmula de Newton (dife-
renc¸as divididas) sobre treˆs pontos (interpolac¸a˜o quadra´tica).
c) calcular f(0.5) usando os itens a) e b).
RESPOSTA: a) Tomando os pontos: x0 = 0 e x1 = 1 ⇒ P1(x) = −0.5x + 1,
b) Acrescentando o ponto x2 = 1.5, obtemos: P2(x) = P1(x) + (x2 − x)(0.2)⇒
P2(x) = 0.2x2 − 0.7x+ 1, c) f(0.5) ' P1(0.5) ' 0.75, f(0.5) ' P2(0.5) ' 0.7.
8.- A func¸a˜o
y =
∫ ∞
x
e−t
t
dt
e´ dada pela seguinte tabela:
x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
f(x) ∞ 4.0379 3.3547 2.9591 2.6813 2.4679 2.2953
Atrave´s da fo´rmula de Newton (diferenc¸as divididas), calcule y para x = 0.0378
usando polinoˆmio de segundo e terceiro grau.
RESPOSTA: Tomando os pontos: x0 = 0.03; x1 = 0.04 e x2 = 0.05 ⇒
P2(x) = 72x2 − 27.82x + 3.7289. Para x = 0.0378 ⇒ y ' P2(0.0378) ' 2.7802,
Acrescentando o ponto x3 = 0.06, obtemos: P3(x) = P2(x) + (x3 − 0.12x2 +
0.0047x − 0.00006)(4400) ⇒ P3(x) = 4400x3 − 456x2 − 7.14x + 3.4649. Para
x = 0.0378⇒ y ' P3(0.0378) ' 2.7811.
9.- Sabendo-se que a equac¸a˜o x4 + 6x2 − 1 = 0 tem uma raiz em [0, 1], de-
terminar o valor aproximado dessa raiz usando polinoˆmio de interpolac¸a˜o de
Newton (diferenc¸as divididas) sobre treˆs pontos.
RESPOSTA: Tomando x0 = 0; x1 = 0.5 e x2 = 1.0 e calculando f(x) nestes
pontos, obtemos: P2(x) = 7.74x2−0.75x−1. Fazendo P2(x) = 0⇒ x¯ ' 0.4108.
10.- Dada a func¸a˜o y = sinx tabelada:
x 1.2 1.3 1.4 1.5
f(x) 0.932 0.964 0.985 0.997
a) calcular o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a fo´rmula de Newton (diferenc¸as
divididas).
b) calcular o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a fo´rmula de Newton-Gregory
(diferenc¸as progressivas).
c) calcular sin 1.35.
RESPOSTA: Usando todos os pontos obtemos: a) P3(x) = P2(x) = −0.5x2 +
1.55x−0.21, b) P3(x) = P2(x) = −0.5x2+1.55x−0.21, c) sen1.35 ' P2(1.35) =
0.97125.
2
11.- Dada a tabela:
x -2 -1 0 1
f(x) 15 0 -1 0
Calcular f(0.5) usando polinoˆmio de Newton em diferenc¸as divididas sobre to-
dos os pontos.
RESPOSTA: P3(x) = −2x3 + x2 + 2x− 1⇒ f(0.5) ' P3(0.5) = 0.
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