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ELETROMAG - CAP 7

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H ∂∂∂∂∂∂=×∇
���
��
 
 
Nota: Ver no FORMULÁRIO GERAL as outras expressões do rotacional ( H�� ×∇ ) nos sistemas 
de coordenadas cilíndricas e esféricas. 
 
Aplicando novamente a definição do cálculo da componente do rotacional na direção do eixo x, 
porém agora para o vetor campo magnético, e considerando a lei circuital de Ampère, obtemos: 
 
( ) x
0zy
12341
0zy
x J
zylimzy
LdH
limaH.rot =∆∆
∆
=
∆∆
∫ •
=•
→∆∆→∆∆
xI
��
��
 
 
onde ∆Ix = corrente envolvida pelo percurso 12341, ou corrente que atravessa a área ∆Sx = ∆y∆z. 
 
De maneira análoga, obtém-se: ( ) yy JaH.rot =• �� 
( ) zz JaH.rot =• �� 
 
Daí, concluímos que o rotacional do vetor campo magnético resulta (na magnetostática) no vetor 
densidade de corrente, ou seja: 
 
JH
���
=×∇
 (Forma pontual da lei circuital de Ampère) 
 
Propriedades do operador rotacional: 
 
1) A divergência do rotacional de qualquer função ou campo vetorial é sempre nula. 
 ( ) 0A =×∇•∇ ���
 
 
Seja, por exemplo, HA �� = . Da expressão JH ��� =×∇ chegamos a 0J =•∇ �� . 
 
2) O rotacional do gradiente de qualquer função ou campo escalar é sempre nulo. 
 ( ) 0f =∇×∇ ��
 
Seja, por exemplo, f = -V. Da expressão V∇−= ��E chegamos a 0E =×∇ �� . 
 
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7.4 – TEOREMA DE STOKES 
 
Pela definição de rotacional, temos: 
 
( ) nS aHSLdH �
��
��
•×∇≈
∆
∫ • ∆
 
 ( ) SaHLdH nS ∆•×∇≈∫ • ∆ ����� 
 ( ) SHLdH S ����� ∆•×∇≈∫ • ∆ 
 
Somando a circulação de todos os ∆S da superfície S, chegamos na expressão matemática do 
teorema de Stokes: 
 
( )
C S
H dL H dS• = ∇× •∫ ∫
�� � � �
� 
 
Notas: 1 - O contorno C envolve a superfície S. Os vetores dL
�
 (de C) e dS
�
 devem satisfazer a 
“regra da mão direita” (com o polegar apontando dS
�
 e os outros dedos apontando dL
� ); 
 2 - O teorema de Stokes é válido para qualquer campo vetorial, e não somente o campo H
�
. 
 
7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (ΦΦΦΦ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B� ) 
 
A densidade de fluxo magnético B
�
 é definida para o vácuo de permeabilidade magnética µo (sendo 
µo = 4pi ×10-7 H/m ) e o campo magnético H
�
, como: 
 
HB o
��
µ=
 (Unidade: Wb/m2) 
 
Nota: B
�
 é definido em outros meios somente a partir da seção 8.6 desta apostila. 
 
O fluxo magnético Φ que atravessa uma área S é obtido integrando B
�
 sobre a área S, isto é: 
 
Φ = •∫
� �
B dSS (Unidade: Wb) 
 
 
Exemplo: Calcular o fluxo magnético Φ entre o condutor interno (raio ρ = a) e o condutor externo 
(raio ρ = b) de uma linha coaxial de comprimento L no vácuo. 
 
Solução: φ
piρ
= aH �
�
2
I
 na região a < ρ < b 
φ
piρ
µ
=µ= aHB �
��
2
I
 
φφ ρ
piρ
µ
∫∫=∫=Φ adzdaSdB bL0
S
����
..
2
I
a
 
 
a
b
2
IL ln
pi
µ
=Φ
 [Wb] 
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Analogias entre as equações da eletrostática e da magnetostática 
ELETROSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA 
1) Densidade de fluxo elétrico 
ED o
��
ε= (no vácuo) 
1) Densidade de campo magnético 
HB o
��
µ= (no vácuo) 
2) Fluxo elétrico 
SdDS
��
•=ψ ∫ 
2) Fluxo magnético 
SdBS
��
•=Φ ∫ 
3) Lei de Gauss da eletrostática 
intST QSdD =•=ψ ∫
��
 
3) Lei de Gauss da magnetostática 
0dSBS =•∫
�
 
4) Divergência da densidade de fluxo elétrico 
vD ρ=•∇
��
 
4) Divergência da densidade de fluxo magético 
0B =•∇
��
 
5) Rotacional do campo elétrico 
0E =×∇
��
 
5) Rotacional do campo magnético 
JH
���
=×∇ 
6) Circulação do campo elétrico 
0LdE =•∫
��
 
6) Circulação do campo magnético 
SdJILdH S
����
•==• ∫∫ 
 
 
 
7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS 
 
O potencial escalar magnético Vm é definido, analogamente ao potencial eletrostático, a partir de: 
 
mVH ∇−=
��
 (Unidade de Vm: A ou Aespira) 
 
Esta expressão é definida somente na região onde 0J =
�
. (Por quê?) 
 
Outras expressões (obtidas por analogia com o potencial eletrostático): 
 
0Jem0Vm
2
==∇
��
 (Equação de Laplace para materiais homogêneos magnetizáveis) 
 
LdHV abab,m
��
•−= ∫ (Depende de percurso específico para ir de “b” até “a”) 
 
O potencial vetor magnético A
�
 é um campo vetorial tal que: 
 
� � �
B A= ∇ × que satisfaz 
� �
∇ • =B 0 (Unidade de A
�
: Wb/m) 
 
Outras expressões (obtidas por analogia com o potencial eletrostático): 
 
∫ pi
µ
=
R4
LdA
�
� I
 (Comparar com ∫ piε
ρ
=
R4
dLLV . Note que a direção de A
�
 é a mesma de Ld
�
) 
 
JA2
���
µ−=∇ (Comparar com a Equação de Poisson 
ε
ρ
−=∇ v2V
�
) 
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Exemplo: Para a região entre o condutor interno (raio ρ = a) e o 
condutor externo (raio ρ = b) da linha (ou cabo) 
coaxial do exemplo anterior, calcular: 
(a) Vm por mVH ∇−=
��
 
(b) LdHV
P
fRe
mP
��
•∫−= 
(c) A
�
 por BA
���
=×∇ 
 
Solução: 
 
(a) mVH ∇−=
��
 ⇒ φφ φ∂
∂
ρ
−=
piρ
a
V1
a
2
I m ��
 ⇒ 
pi
−=φ 2
I
d
dVm
 ⇒ C
2
IVm +φ
pi
−= 
 
Adotando Vm = 0 em φ = 0 (referência), obtemos C = 0 ⇒ φ
pi
−=
2
IVm 
 
Seja um ponto P(a < ρ <b, φ = pi/4, z) situado na região entre os condutores (dielétrico) do 
cabo coaxial. Este pode ser atingido de várias maneiras, partindo da referência, mantendo os 
mesmos valores de ρ e z, e deslocando-se de um ângulo φ = ±2npi+pi/4, isto é, φ = pi/4, 
9pi/4, 17pi/4, ..., no sentido anti-horário, ou, φ = -7pi/4, -15pi/4, ... no sentido horário. 
 
Assim, o potencial VmP, com relação a referência de potencial zero em φ = 0, possui 
múltiplos valores em P, dependendo do percurso usado para chegar até P. Por exemplo: 





 pi
pi
−=
42
IVmP ou 




 pi
pi
−=
4
9
2
IVmP ou 




 pi−
pi
−=
4
7
2
IVmP , etc... 
 
Daí, pode-se concluir que o potencial escalar magnético representa um campo não-
conservativo. Lembre-se que o potencial eletrostático entre 2 pontos não depende do 
percurso ou caminho entre estes, representando assim um campo conservativo. 
 
(b) Adotando Vm = 0 em φ = 0 (referência), o potencial no ponto P(a < ρ <b, φ, z) é: 
LdHV
P
fRe
mP
��
•∫−= ⇒ φ∫
pi
−=φρ•
piρ∫
−=
φ
=φ
φφ
φ
=φ
d
2
I
ada
2
IV
00
mP
��
 ⇒ φ
pi
−=
2
IVmP 
 
(c) BA �
��
=×∇ ⇒ φφ
ρ
piρ
µ=






ρ∂
∂
−
∂
∂
a
2
I
a
A
z
A
z ��
 ⇒ 
piρ
µ=
ρ∂
∂
−
2
IAz
 
Integrando: ∫∫ ρ
ρ∂
pi
µ−=∂
2
IA z ⇒ C2
IAz +ρ
pi
µ
−= ln 
Tomando Az = 0 em ρ = b (referência), obtemos: b2
IC ln
pi
µ
= ⇒ 
ρpi
µ
=
b
2
IAz ln 
Vetorialmente: zzz a
b
2
I
aAA ��
�
ρpi
µ
== ln
 
 
Atenção: Note que A
�
 tem o mesmo sentido de za
�
 (sentido da corrente no condutor central 
pois ρ < b). Também A
�
 decresce com o aumento de ρ desde ρ = a até ρ = b. 
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7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
7.1) a) Demonstrar que o