ELETROMAG - CAP 7

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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 59 
 
Capítulo VII 
 
CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 
 
7.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
 
O campo magnético d H
�
 produzido pelo elemento de 
corrente contínua Ld
�
I no ponto P (ver figura) é: 
 
2R4
I
pi
×
=
RaLdHd
��
�
 ⇒ ∫
pi
×
=
2R4
I RaLdH
��
�
 (A/m) 
onde 
I dL K dS J dv
� � �
= = (ver figura) 
dL
dK I= = densidade superficial de corrente (A/m) 
dS
dJ I= = densidade (volumétrica) de corrente (A/m2) 
 
Exemplo: Calcular o campo magnético H
�
 num ponto P 
devido a um filamento retilíneo infinito com 
corrente I. 
 
Solução: ( ) ( ) 2/3222/322
zz
z
adz
z
)aza(adz
Hd
+ρpi
ρ
=
+ρpi
−ρ×
=
φρ
4
I
4
I �����
 
( ) ( )
+∞
∞−
φφ∞+
∞− 







+ρρpi
ρ
=
+ρ
∫
pi
ρ
= 2/12222/322
z
az
z
adz
H
��
�
4
I
4
I
φ
piρ
= aH �
�
2
I
 
 
7.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO) 
 
“A integral de linha de H ao longo de qualquer percurso fechado é exatamente igual à corrente 
enlaçada pelo percurso”. A expressão matemática é dada por: 
 
� �
H dL• =∫ I
 (I = corrente total enlaçada, sentido convencional) 
 
Amperiana (def.): É um percurso (caminho) especial com as seguintes propriedades: 
(i) É um percurso fechado; 
(ii) Em cada um de seus pontos H� é tangencial ou H� é normal ao percurso. Assim, 
se 0LdHLdH =⇒⊥ • ; (Neste caso H� é normal à amperiana) 
se dLHLdHLd//H =⇒ • (Neste caso H� é tangencial à amperiana) 
(iii) Em todos os pontos onde Ld//H , a magnitude de H� é constante. 
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Cálculo de H
�
, aplicando a lei circuital de Ampère (e amperiana), para alguns casos especiais: 
 
a) Condutor retilíneo ∞∞∞∞ com corrente I 
 
∫ = enlaçadaILdH
��
. 
I=φρ∫ φ
pi
=φ
φφ adaH
2
0
��
. ⇒ I=φ∫ρ
pi
φ dH
2
0
 
piρ
=φ 2
IH ⇒ φ
piρ
= aH �
�
2
I
 
 
 
b) Película plana ∞∞∞∞ com corrente com densidade superficial uniforme xxaKK �
�
= 
∫ = enlaçadaILdH
��
. 
dyKLdH x
L
0
A
D
D
C
C
B
B
A
∫=∫+∫+∫+∫
��
. 
LK0LH0LH xyy =+++ ⇒ 2KH xy = 
 
Nota: Forma geral para obtenção do campo H
�
 devido a 
uma película plana ∞ com corrente uniforme: 
naK2
1H �
��
×=
 ( H� independe da distância) 
onde na
�
 é versor normal ao plano orientado para o lado que se deseja obter H� . 
 
Ex.: Acima do plano da figura anterior: ( ) yyxyxzxx HaK21aK21aaK21H
������
=−=−=×= 
 
Atenção: Provar que o campo magnético H
�
 na região entre 2 superfícies infinitas condutoras e 
paralelas com densidades de corrente uniformes iguais e de sentidos opostos é dado por: 
naKH
���
×=
 ( H� = 0 nas regiões externas às 2 superfícies) 
 
 
c) Linha de transmissão coaxial com corrente total +I uniformemente distribuída no condutor 
central e –I no condutor externo 
∫ = enlaçadaILdH
��
. onde φ= aHH
��
 e φφρ= adLd
��
 
Para uma amperiana circular de raio ρ, tal que: 
ρ < a ⇒ 2a2
H
pi
ρ
=φ I (no condutor central) 
a < ρ < b ⇒ 
piρ
=φ 2
H I (no dielétrico) 
b < ρ < c ⇒ 22
22
c
cI
b2
H
−
ρ−
piρ
=φ (condutor externo) 
ρ > c ⇒ 0H =φ (fora: blindagem magnética) 
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d) Solenóide de comprimento ∞∞∞∞ com uma distribuição superficial de corrente φ= aKK a
��
 
 
 
 
Para o solenóide infinitamente longo e a amperiana retangular ABCD temos: 
∫ = enlaçadaILdH
��
. ⇒⇒⇒⇒ dLKLdH a
d
0
A
D
D
C
C
B
B
A
∫∫∫∫∫ =+++
��
. ⇒⇒⇒⇒ dK000dH a=+++ 
Portanto: aKH = ⇒⇒⇒⇒ zaaKH
��
=
 
 
Se o solenóide for de comprimento finito d com N espiras nas quais flui uma corrente I, 
temos: 
d
Ka
NI
= ⇒ zad
 H �
� NI
=
 (Bem dentro do solenóide) 
 
 
e) Toróide ideal com distribuição superficial de corrente zaaKK
��
= em 0z,o =−ρ=ρ a , 
sendo ρρρρo o raio médio e a o raio da seção transversal do anel toroidal 
 
∫ = enlaçadaILdH
��
. (Lei circuital de Ampère) 
 
Para uma amperiana circular de raio ρ, tal que: 
ρ < ρo – a ⇒ 0H =φ (fora do anel) 
ρo – a < ρ < ρo + a ⇒ ρ
−ρ
=φ
ao
aKH 
Vetorialmente: φφ ρ
−ρ
= aKH oa
�� a
 
 
ρ > ρo + a ⇒ 0H =φ (fora do anel) 
 
Se este toróide possuir N espiras nos quais flui uma corrente I, temos: 
 
( )a
NI
−ρpi
=
o
a 2
K ⇒ φ
piρ
= a
2
 H �
� NI
 (Bem dentro do toróide) 
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7.3 – ROTACIONAL 
 
Seja um vetor (ou campo vetorial) qualquer expresso por: zzyyxx aAaAaAA
����
++= 
 
Definição: A componente do rotacional de A
�
 na direção da normal (versor na
� ) de uma área ∆S é 
dado por: 
( )
S
LdA
limaA.rot
0S
n ∆
•∫
=•
→∆
��
��
 
onde Ld
�
 representa o vetor diferencial de comprimento integrado ao longo do perímetro da área ∆S 
 
Para determinar uma expressão matemática para o rotacional no sistema de coordenadas 
cartesianas, seja o vetor A� aplicado no vértice da área ∆S = ∆y∆z que se situa mais próximo da 
origem, ou vértice 1 da figura mostrada ao lado. 
Neste caso, pela definição acima, temos: 
( )
zy
LdA
limaA.rot 12341
0zy
x ∆∆
∫ •
=•
→∆∆
��
��
 
 
Desenvolvendo separadamente ∫ •
12341
LdA
��
, temos: 
 
LdALdA
1
4
4
3
3
2
2
112341
����
•∫+∫+∫+∫=∫ • 
zAyz
z
A
Azy
y
AAyALdA z
y
y
z
zy
12341
∆−∆






∆
∂
∂
+−∆




 ∆
∂
∂
++∆≅∫ •
��
 
zy
z
A
y
ALdA yz
12341
∆∆






∂
∂
−
∂
∂
≅∫ •
��
 
 
Substituindo acima, obtemos, no limite, a componente do 
rotacional de A
�
 na direção do eixo x: 
( ) 






∂
∂
−
∂
∂
=•
z
A
y
A
aA.rot yzx
��
 
 
Semelhantemente, obtemos as componentes do rotacional 
de A
�
 nas direções dos eixos y e z, isto é: 
( ) 





∂
∂
−
∂
∂
=•
x
A
z
A
aA.rot zxy
��
 (ver figura) 
( ) 






∂
∂
−
∂
∂
=•
y
A
x
A
aA.rot xyz
��
 (ver figura) 
 
Combinando os 3 componentes (na forma vetorial), 
chegamos ao vetor que representa o rotacional de A
�
, 
sendo expresso por: 
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z
xy
y
zx
x
yz a
y
A
x
A
a
x
A
z
A
a
z
A
y
AA.rot ���
�








∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+







∂
∂
−
∂
∂
= 
 
Para o vetor campo magnético zzyyxx aHaHaHH
����
++= e usando a notação de rotacional com o 
vetor nabla, pode-se escrever: 
HH.rot
���
×∇= 
 
Em coordenadas cartesianas, e somente neste sistema de coordenadas, o rotacional de um vetor 
pode ser obtido através do seguinte determinante: 
 
zyx
zyx
HHH
z/y/x/
aaaH ∂∂∂∂∂∂=×∇
���
��
 
 
Nota: Ver no FORMULÁRIO GERAL as outras expressões do rotacional ( H�� ×∇ ) nos sistemas 
de coordenadas cilíndricas e esféricas. 
 
Aplicando novamente a definição do cálculo da componente do rotacional na direção do eixo x, 
porém agora para o vetor campo magnético, e considerando a lei circuital de Ampère, obtemos: 
 
( ) x
0zy
12341
0zy
x J
zylimzy
LdH
limaH.rot =∆∆
∆
=
∆∆
∫ •
=•
→∆∆→∆∆
xI
��
��
 
 
onde ∆Ix = corrente envolvida pelo percurso 12341, ou corrente que atravessa a área ∆Sx = ∆y∆z. 
 
De maneira análoga, obtém-se: ( ) yy JaH.rot =• �� 
( ) zz JaH.rot =• �� 
 
Daí, concluímos que o rotacional do vetor campo magnético resulta (na magnetostática) no vetor 
densidade de corrente, ou seja: 
 
JH
���
=×∇
 (Forma pontual da lei circuital de Ampère) 
 
Propriedades do operador rotacional: 
 
1) A divergência do rotacional de qualquer função ou campo vetorial é sempre nula. 
 ( ) 0A =×∇•∇ ���
 
 
Seja, por exemplo, HA �� = . Da expressão JH ��� =×∇ chegamos a 0J =•∇ �� . 
 
2) O rotacional do gradiente de qualquer função ou campo escalar é sempre nulo. 
 ( ) 0f =∇×∇ ��
 
Seja, por exemplo, f = -V. Da expressão V∇−= ��E chegamos a 0E =×∇ �� . 
 
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7.4 – TEOREMA DE STOKES 
 
Pela definição de rotacional, temos: 
 
( ) nS aHSLdH �
��
��
•×∇≈
∆
∫ • ∆
 
 ( ) SaHLdH nS ∆•×∇≈∫ • ∆ ����� 
 ( ) SHLdH S ����� ∆•×∇≈∫ • ∆ 
 
Somando a circulação de todos os ∆S da superfície S, chegamos na expressão matemática do 
teorema de Stokes: 
 
( )
C S
H dL H dS• = ∇× •∫ ∫
�� � � �
� 
 
Notas: 1 - O contorno C envolve a superfície S. Os vetores dL
�
 (de C) e dS
�
 devem satisfazer a 
“regra da mão direita” (com o polegar apontando dS
�
 e os outros dedos apontando dL
� ); 
 2 - O teorema de Stokes é válido para qualquer campo vetorial, e não somente o campo H
�
. 
 
7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (ΦΦΦΦ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B� ) 
 
A densidade de fluxo magnético B
�
 é definida para o vácuo de permeabilidade magnética µo (sendo 
µo = 4pi ×10-7 H/m ) e o campo magnético H
�
, como: 
 
HB o
��
µ=
 (Unidade: Wb/m2) 
 
Nota: B
�
 é definido em outros meios somente a partir da seção 8.6 desta apostila. 
 
O fluxo magnético Φ que atravessa uma área S é obtido integrando B
�
 sobre a área S, isto é: 
 
Φ = •∫
� �
B dSS (Unidade: Wb) 
 
 
Exemplo: Calcular o fluxo magnético Φ entre o condutor interno (raio ρ = a) e o condutor externo 
(raio ρ = b) de uma linha coaxial de comprimento L no vácuo. 
 
Solução: φ
piρ
= aH �
�
2
I
 na região a < ρ < b 
φ
piρ
µ
=µ= aHB �
��
2
I
 
φφ ρ
piρ
µ
∫∫=∫=Φ adzdaSdB bL0
S
����
..
2
I
a
 
 
a
b
2
IL ln
pi
µ
=Φ
 [Wb] 
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Analogias entre as equações da eletrostática e da magnetostática 
ELETROSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA 
1) Densidade de fluxo elétrico 
ED o
��
ε= (no vácuo) 
1) Densidade de campo magnético 
HB o
��
µ= (no vácuo) 
2) Fluxo elétrico 
SdDS
��
•=ψ ∫ 
2) Fluxo magnético 
SdBS
��
•=Φ ∫ 
3) Lei de Gauss da eletrostática 
intST QSdD =•=ψ ∫
��
 
3) Lei de Gauss da magnetostática 
0dSBS =•∫
�
 
4) Divergência da densidade de fluxo elétrico 
vD ρ=•∇
��
 
4) Divergência da densidade de fluxo magético 
0B =•∇
��
 
5) Rotacional do campo elétrico 
0E =×∇
��
 
5) Rotacional do campo magnético 
JH
���
=×∇ 
6) Circulação do campo elétrico 
0LdE =•∫
��
 
6) Circulação do campo magnético 
SdJILdH S
����
•==• ∫∫ 
 
 
 
7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS 
 
O potencial escalar magnético Vm é definido, analogamente ao potencial eletrostático, a partir de: 
 
mVH ∇−=
��
 (Unidade de Vm: A ou Aespira) 
 
Esta expressão é definida somente na região onde 0J =
�
. (Por quê?) 
 
Outras expressões (obtidas por analogia com o potencial eletrostático): 
 
0Jem0Vm
2
==∇
��
 (Equação de Laplace para materiais homogêneos magnetizáveis) 
 
LdHV abab,m
��
•−= ∫ (Depende de percurso específico para ir de “b” até “a”) 
 
O potencial vetor magnético A
�
 é um campo vetorial tal que: 
 
� � �
B A= ∇ × que satisfaz 
� �
∇ • =B 0 (Unidade de A
�
: Wb/m) 
 
Outras expressões (obtidas por analogia com o potencial eletrostático): 
 
∫ pi
µ
=
R4
LdA
�
� I
 (Comparar com ∫ piε
ρ
=
R4
dLLV . Note que a direção de A
�
 é a mesma de Ld
�
) 
 
JA2
���
µ−=∇ (Comparar com a Equação de Poisson 
ε
ρ
−=∇ v2V
�
) 
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Exemplo: Para a região entre o condutor interno (raio ρ = a) e o 
condutor externo (raio ρ = b) da linha (ou cabo) 
coaxial do exemplo anterior, calcular: 
(a) Vm por mVH ∇−=
��
 
(b) LdHV
P
fRe
mP
��
•∫−= 
(c) A
�
 por BA
���
=×∇ 
 
Solução: 
 
(a) mVH ∇−=
��
 ⇒ φφ φ∂
∂
ρ
−=
piρ
a
V1
a
2
I m ��
 ⇒ 
pi
−=φ 2
I
d
dVm
 ⇒ C
2
IVm +φ
pi
−= 
 
Adotando Vm = 0 em φ = 0 (referência), obtemos C = 0 ⇒ φ
pi
−=
2
IVm 
 
Seja um ponto P(a < ρ <b, φ = pi/4, z) situado na região entre os condutores (dielétrico) do 
cabo coaxial. Este pode ser atingido de várias maneiras, partindo da referência, mantendo os 
mesmos valores de ρ e z, e deslocando-se de um ângulo φ = ±2npi+pi/4, isto é, φ = pi/4, 
9pi/4, 17pi/4, ..., no sentido anti-horário, ou, φ = -7pi/4, -15pi/4, ... no sentido horário. 
 
Assim, o potencial VmP, com relação a referência de potencial zero em φ = 0, possui 
múltiplos valores em P, dependendo do percurso usado para chegar até P. Por exemplo: 





 pi
pi
−=
42
IVmP ou 




 pi
pi
−=
4
9
2
IVmP ou 




 pi−
pi
−=
4
7
2
IVmP , etc... 
 
Daí, pode-se concluir que o potencial escalar magnético representa um campo não-
conservativo. Lembre-se que o potencial eletrostático entre 2 pontos não depende do 
percurso ou caminho entre estes, representando assim um campo conservativo. 
 
(b) Adotando Vm = 0 em φ = 0 (referência), o potencial no ponto P(a < ρ <b, φ, z) é: 
LdHV
P
fRe
mP
��
•∫−= ⇒ φ∫
pi
−=φρ•
piρ∫
−=
φ
=φ
φφ
φ
=φ
d
2
I
ada
2
IV
00
mP
��
 ⇒ φ
pi
−=
2
IVmP 
 
(c) BA �
��
=×∇ ⇒ φφ
ρ
piρ
µ=






ρ∂
∂
−
∂
∂
a
2
I
a
A
z
A
z ��
 ⇒ 
piρ
µ=
ρ∂
∂
−
2
IAz
 
Integrando: ∫∫ ρ
ρ∂
pi
µ−=∂
2
IA z ⇒ C2
IAz +ρ
pi
µ
−= ln 
Tomando Az = 0 em ρ = b (referência), obtemos: b2
IC ln
pi
µ
= ⇒ 
ρpi
µ
=
b
2
IAz ln 
Vetorialmente: zzz a
b
2
I
aAA ��
�
ρpi
µ
== ln
 
 
Atenção: Note que A
�
 tem o mesmo sentido de za
�
 (sentido da corrente no condutor central 
pois ρ < b). Também A
�
 decresce com o aumento de ρ desde ρ = a até ρ = b. 
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7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
7.1) a) Demonstrar que ocampo magnético H� num ponto P devido a um filamento retilíneo de 
comprimento finito (extremidades A e B), com corrente I no sentido indicado, é dado por: 
( ) φαα
piρ
aH �
�
 
4 21
sensen +=
I
, sendo: 
α1, α2 = ângulos positivos medidos conforme indicados, 
φa
�
 = vetor unitário que define o sentido do campo no pto P, 
ρ = menor distância, na perpendicular, do ponto P ao segmento 
AB ou ao seu prolongamento. 
b) A partir da expressão de H� acima, determinar seus valores nos pontos C(0, 4, 0), D(3, 4, 
0) e E(-3, 4, 0), se o filamento for colocado sobre o eixo x, com suas extremidades A e B 
posicionadas, respectivamente, em (-3, 0, 0) e (3, 0, 0). 
c) A partir da expressão de H� acima, determinar seus valores nos mesmos pontos C, D e E, 
com o filamento sobre o eixo x, porém, agora com sua extremidade A posicionada na 
origem e sua extremidade B estendendo ao infinito. 
Respostas: a) Demonstração; 
b) zC 40
3
aH
pi
I
= [A/m], zD 208
133
aH
pi
I
= [A/m], zE 208
133
aH
pi
I
= [A/m]; 
c) zC 16 aH pi
I
= [A/m], zD 10 aH pi
I
= [A/m], zE 40 aH pi
I
= [A/m]; 
 
7.2) Um filamento de corrente muito longo está situado sobre a reta x = 5 e z = 0, possuindo uma 
corrente de 20pi [A], orientada no sentido positivo do eixo y. Determinar o campo magnético 
H
�
 (na forma vetorial) nos seguintes pontos: 
 a) O(0,0,0); b) P(0,0,5); c) Q(5,0,5); d) S(5,5,5). 
Respostas: a) zO 2 aH = [A/m]; b) zxP aaH += [A/m]; 
c) xQ 2 aH = [A/m]; d) xS 2 aH = [A/m]. 
 
7.3) Uma corrente filamentar I, no vácuo, sobre o eixo z, flui no sentido positivo do eixo. Seja um 
percurso retangular ABCDA sobre o plano z = 0, com vértices nos pontos A(a,a,0), B(-a,a,0), 
C(-a,-a,0) e D(a,-a,0). Determinar, para este percurso e utilizando o menor caminho, os 
seguintes valores: 
a) VmAB ; b) VmBC ; c) VmCD ; d) VmDA ; 
e) VmAB + VmBC + VmCD + VmDA → Concluir a respeito do valor obtido; 
f) VmAC por 2 caminhos (via B e depois via D) → Comparar os valores e concluir a respeito. 
Respostas: a) 
4
IVmAB = ; b) 4
IVmBC = ; c) 4
IVmCD = ; d) 4
IVmDA = ; 
e) IVVVV mDAmCDmBCmAB =+++ = corrente enlaçada; 
f) 
2
IV 1mAC = ≠ 2
IV 2mAC −= ⇒ Logo o sistema não é conservativo. 
 
7.4) Encontre a indução magnética no centro de um triângulo equilátero de lado a, conduzindo 
uma corrente I. 
Resposta: 
a 2
I9
B o
pi
µ
= . 
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7.5) Um toróide no espaço livre com seção transversal retangular é formado pela interseção dos 
planos z=0 e z=3 [cm] e os cilindros ρ=5 [cm] e ρ=7,5 [cm]. Uma densidade superficial de 
corrente flui na superfície interna do toróide sendo dada por z300aK
��
=int [A/m]. 
Determinar: 
a) O valor total da corrente Itotal na superfície interna do toróide; 
b) As densidades superficiais de corrente (forma vetorial) nas outras 3 superfícies do toróide, 
identificando-as por extK
�
, topoK
�
 e baseK
�
; 
c) O campo magnético H� dentro do toróide; 
d) O fluxo magnético total Φ total que circula dentro do toróide. 
 
Respostas: a) Itotal = 30pi [A]; b) zext 200aK −= [A/m], ρρ aK
15
topo = [A/m], 
ρρ
aK 15base −= [A/m]; c) φρ aH
15
= [A/m]; d) Φ total = 0,23 [µWb]. 
 
7.6) Calcular o campo magnético H� no ponto P 
da figura, admitindo que os fios são muito 
longos. 
 
Resposta: z
1
2
1
2
I
aH 





+⋅=
pia
 
 
 
7.7) Dado z2y2x2 z1xzy1x2yz aaaH )()( +−++=
�
 
a) Determinar ∫ • dLH ao longo do contorno quadrado indo de P(0, 2, 0) a A(0, 2+b, 0) a 
B(0, 2+b, b) a C(0, 2, b) a P(0, 2, 0); 
b) Determinar H×∇ ; 
c) Mostrar que ( )xH×∇ = 






∆
•∫
→∆ S0S
dLH
lim em P. 
 
Respostas: a) ∫ • dLH 3
248
4
32 bbb −−−= ; 
b) z22y2x2 )zzy2( )zyz2( )y)1x(2( aaaH −++++−=×∇ ; 
c) Demonstração (Notar que ∆S = b2 e que em P, x = 0, y = 2, z = 0). 
 
7.8) Seja uma espira circular de raio ρ = a, situada no plano z = 0, na qual circula uma corrente I 
no sentido anti-horário. Determinar no ponto P(0,0,h): 
a) O campo magnético H� ; 
b) O potencial magnético Vm, supondo a referência de potencial zero no infinito. 
Respostas: a) ( ) ( ) z2/3z2/3 a2a2H
���
22
2
22
2
ah
aI
az
aI
+
=
+
= ; b) 








+
−=
22m ah
hIV 1
2
 
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7.9) Determinar no ponto P da figura abaixo, as contribuições para a intensidade do campo 
magnético H
�
causadas por I (sentido anti-horário) para: 
a) A seção semi-circular de raio a; 
b) Os 2 condutores horizontais de comprimento l, 
c) O condutor vertical de comprimento 2a, 
d) Repetir o item (b) supondo l >> a, 
e) Repetir o item (c) supondo l >> a. 
 
Respostas: a) za4
IH �
�
a
= ; b) za
2
IH �
�
22 ala
l
+pi
= ; c) za
2
IH �
�
22 all
a
+pi
= ; 
d) za2
IH �
�
api
= ; e) za2
IH �
�
2l
a
pi
= 
 
7.10) Dado φθ θ+θ= ar180a
r10H
2
���
cos
sen
, no espaço livre, determinar: 
a) H
��
×∇ ; 
b) a corrente que sai da superfície cônica θ = 30o, 0 ≤ φ ≤ 2pi, 
0 ≤ r ≤ 2, usando um dos lados do teorema de Stokes; 
c) usando o outro lado do teorema de Stokes, verificar o resultado 
anterior. 
 
Respostas: a) φθ θ+θ−θ
θ
=×∇ ar30a360a180H r
�����
sen
cos
sen
cos2
; 
b) 1o lado: A19593360SdHS −=pi−==•×∇∫ I
���
; 
c) 2o lado: A19593360LdH −=pi−==•∫ I
��
 
 
7.11) Três superfícies infinitas de corrente localizam-se, no vácuo, da seguinte maneira: xa100 A/m 
em z = 0, xa50− A/m em z = 4 m, e xa50− A/m em z = –4 m. 
a) Sendo Vm = 0 em P(1, 2, 3), ache Vm em Q(1,5; 2,6; 3,7). 
b) Sendo 0A = em P(1, 2, 3), ache A em Q(1,5; 2,6; 3,7). 
Sugestão: Use a componente apropriada de AB ×∇= e o seu conhecimento acerca da 
direção do vetor A . 
 
Respostas: a) A30V100y50V mQm =⇒−= ; 
b) ( ) m/Wba0,44Aa150z50A xQxoo µ−=⇒µ+µ−= 
 
7.12) Partindo da identidade vetorial ( ) AAA 2∇−•∇∇≡×∇×∇ , e utilizando coordenadas 
cartesianas, mostre zz
2
yy
2
xx
22 aaaA AAA ∇+∇+∇≡∇ , podendo A ser um vetor 
qualquer. 
 
Resposta: Demonstração. 
 
7.13) Demonstre que o potencial vetor magnético para dois fios compridos, retos e paralelos, que 
conduzem a mesma corrente I, em sentidos opostos, é: L
1
2o
r
rln
2
I
aA �
�






pi
µ
= , onde r2 e r1 são 
as distâncias dos fios ao ponto desejado e La
�
 é o vetor unitário paralelo aos fios. 
 
Resposta: Demonstração. 
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Anotações do Capítulo VII