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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 71 Capítulo VIII FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA 8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO BvQF ��� ×= (Unidade da força: N) Se ambos os campos elétrico e magnético estão presentes, a força sobre uma carga pontual Q, chamada força de Lorentz, é: ( )BvEQF ���� ×+= em N, ou ( )BvEf v ���� ×+ρ= em N/m3 8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE ( ) ( ) ( ) BdtvIBvIdtBvdQFd ������� ×=×=×= ⇒ BLIdFd ��� ×= Para um condutor retilíneo, com .cteB = � , obtemos: BLIF ��� ×= Módulo da força F � : θ= senLIBF onde θ é o ângulo entre os vetores L � e B � Sentido da força F � : Regra do produto vetorial, indo de L � para B � . Nota: Caso os vetores L � e B � sejam perpendiculares (θ =90o), pode-se usar a conhecida “Regra dos 3 dedos da mão esquerda” para obter o sentido de F � . Assim, com o dedo indicador apontando B � e o dedo médio apontando L � (ou I), obtém-se o dedo polegar apontando o sentido de F � . Exemplo: Determinar as forças de repulsão entre 2 condutores filamentares retilíneos longos e paralelos, separados por uma distância d por onde fluem correntes I iguais e opostas. Solução: Os sentidos das forças estão indicados na figura. As duas forças possuem mesmo módulo, o qual é obtido do seguinte modo (no vácuo): LBF I= onde d2 HB oo pi µ=µ= I Logo: L d2 F o I I pi µ= ⇒ d2L F o pi µ = 2I [N/m] CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 72 8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE Densidade do fluxo magnético no ponto 2 devido ao elemento diferencial de corrente no ponto 1: 2 12 R11 o2o2 R4 aLdI HdBd 12 pi × µ=µ= �� �� Relembrando, a força diferencial em um elemento diferencial de corrente é expressa por: BLIdFd ��� ×= Substituindo B � por 2Bd � , e 22 LdILId �� = , a quantidade diferencial da força diferencial no elemento diferencial de corrente no ponto 2 torna-se: ( ) 2222 BdLdIFdd ��� ×= Substituindo 2Bd � : ( ) 2 12 R11 o222 R4 aLdI LdIFdd 12 pi × µ×= �� �� ( ) 2 12 R1 2 21 o2 R aLd Ld 4 IIFdd 12 �� �� × × pi µ= ⇒ ∫ ∫ × × pi µ= 2 12 R1 2 21 o2 R aLd Ld 4 IIF 12 �� �� Nota: A segunda integral é necessária para obter o campo magnético em 2 devido à corrente no ponto 1. Pelo demonstrado, é melhor dividir o problema de calcular a força magnética em duas partes: primeiro calcula-se o vetor campo magnético, e depois calculamos a força. 8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA Para a espira infinitesimal retangular da figura e da definição de torque ( FrT ��� ×= ) , obtém-se: BSdTd ��� ×= I (Unidade de T� : Nm) Definindo o momento magnético diferencial da espira como: Sdmd �� I= (Unidade de m� : Am2) podemos escrever o torque na espira como sendo: BmdTd ��� ×= De uma maneira geral, para B � constante em toda área S, temos: BmBST ����� ×=×= I Notas: • As equações acima são também válidas para qualquer forma de espira de corrente, como por exemplo a espira circular. • O torque na espira ( T� ) atua de tal maneira a alinhar o momento magnético ( m� ) produzido pela espira com o campo magnético externo ( B� ). e Realce CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 73 8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS Existem 3 tipos de momentos magnéticos em um átomo causados por: 1o) Rotação (spin) do elétron em torno de seu próprio eixo: spinm � 2o) Rotação do núcleo em torno de seu próprio eixo: núcleom � 3o) Movimento circular (órbita) do elétron em torno do núcleo: orbm � Dependendo da combinação desses momentos magnéticos pode-se classificar 6 tipos diferentes de material, conforme mostrado na seguinte tabela. CLASSIFICAÇÃO DO MATERIAL MOMENTOS MAGNÉTICOS B µµµµR VALORES USUAIS ALGUNS EXEMPLOS E COMENTÁRIOS 1 – Diamagnético 0mm spinorb =+ �� Bint < Bapl, Bint ≅ Bapl µR < 1, µR ≅ 1 H, He, NaCl, Cu, Au, Si, Ge, S, grafite, gases inertes. 2 – Paramagnético pequenospinorb mm =+ �� Bint > Bapl, Bint ≅ Bapl µR > 1, µR ≅ 1 K, O, Al, Be, tungstênio, terras- raras, vários sais. 3 – Ferromagnético orbspin mm �� >> Bint >> Bapl µR >> 1 103<µR <106 Fe, Co, Ni, ligas. Domínios magnéticos fortes 4 – Antiferromagnético orbspin mm �� >> Bint ≅ Bapl µR ≅ 1 Óxido de magnésio. Momentos adjacentes se opõem e cancelam 5 – Ferrimagnético orbspin mm �� > Bint > Bapl µR > 1 10<µR <103 Ferrites. Momentos adjacentes desiguais paralelos e opostos 6 – Superparamagnético orbspin mm �� > Bint > Bapl µR > 1 1 < µR < 10 Fitas magnéticas de gravação. Matriz não magnética. 8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA Magnetização M � é definido como sendo o momento magnético total por unidade de volume, isto é: v mlimm v 1limM total 0v vn 1i i0v ∆ =∑ ∆ = →∆ ∆ =→∆ � �� (Unidade: A/m – mesma unidade de H) onde n é o número de dipolos magnéticos por unidade de volume ∆v A lei circuital de Ampère relaciona o campo magnético H � com a corrente de condução I que produz este campo, isto é: ∫ •= LdH �� I Por analogia, pode-se também relacionar o campo M � com uma corrente, Im, que produz este campo, sendo esta corrente chamada de corrente de magnetização. ∫ •= LdM �� mI A lei circuital de Ampère em termos da corrente total, IT, é expressa por: ∫ •µ = LdB o � � TI onde: IT = I + Im = soma das correntes de condução e de magnetização µo = 4pi×10-7 = permeabilidade magnética do vácuo (unidade: H/m) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 74 Substituindo as correntes pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que relaciona os 3 campos B � , H � e M � em qualquer tipo de meio: MHB o �� � += µ ⇒ ( )MHB o ��� +µ= (Análoga a PED o ��� +ε= ) Para um meio linear e isotrópico, pode-se relacionar M � linearmente com H � por: HM m �� χ= (Análoga a EP oe �� εχ= ) sendo χm chamada de susceptibilidade magnética (constante adimensional). Substituindo M � na expressão geral, e arranjando os termos, obtemos a conhecida relação: HB �� µ= onde: oRµµ=µ = permeabilidade magnética absoluta (unidade: H/m) mR 1 χ+=µ = permeabilidade magnética relativa (constante adimensional) Nota: Por analogia com JH ��� =×∇ , pode-se chegar a: mJM ��� =×∇ e ( ) To JB ��� =µ×∇ . 8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO Aplicando a lei de Gauss do campomagnético ao pequeno cilindro da figura e fazendo ∆h→0: 0SdBS =•∫ �� ⇒ 0SBSB 2n1n =∆−∆ ⇒ 2n1n BB = Logo, a componente normal da densidade de fluxo magnético é contínua, isto é, não se altera. Aplicando a lei circuital de Ampère ao pequeno circuito fechado da figura, fazendo ∆h→0, temos: enlaçadaILdH =•∫ �� ⇒ LKLHLH 2t1t ∆=∆−∆ ⇒ KHH 2t1t =− Logo, a componente tangencial do campo magnético sofre uma descontinuidade de K, isto é, altera- se de K quando existe uma distribuição superficial de corrente na fronteira entre os 2 meios. Em forma vetorial, a expressão para o campo magnético acima é dada por: ( ) KaHH 12n21 ���� =×− (Nota: 12na� = versor normal à fronteira dirigido da região 1 para a 2) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 75 Se não existe distribuição de corrente na fronteira, isto é, se K = 0, obtém-se: 2t1t HH = Logo, a componente tangencial do campo magnético é contínua, isto é, não se altera quando não existe uma distribuição superficial de corrente (K) na fronteira entre os 2 meios. 8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO A análise de circuitos magnéticos é feita por analogia com circuitos elétricos de corrente contínua constante. O quadro abaixo indica a analogia entre as equações desses circuitos. CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO 1) Intensidade de campo elétrico VE ∇−= �� 1) Intensidade de campo magnético mVH ∇−= �� 2) Diferença de potencial elétrico ∫ •= B A AB LdEV �� 2) Diferença de potencial magnético ∫ •= B A AB,m LdHV �� 3) Lei de Ohm, forma pontual EJ �� σ= 3) Densidade de fluxo magnético HB �� µ= 4) Corrente elétrica ∫ •= S SdJ �� I 4) Fluxo magnético Φ = •∫ � � B dSS 5) Resistência (R) S LR σ = 5) Relutância (ℜ) S L µ =ℜ 6) Lei de Ohm IV R= 6) Lei de Ohm para circuitos magnéticos Φℜ=mV 7) Lei de Kirchhoff das malhas ∫ =• 0LdE �� 7) Lei circuital de Ampère ∫ =• enlaçadaILdH �� ou ∫ =• NILdH �� Exemplo: Seja um toróide de núcleo de ar, de área de seção reta S = 6 cm2, raio médio rm = 15 cm, envolvido por um enrolamento com N = 500 espiras onde circula uma corrente I = 4 A. Calcular a intensidade do campo magnético H no interior do toróide. Solução 1: Usando a equação do circuito elétrico análogo: LHNFmm =Φℜ== I Wb/Aesp1025,1 106104 10152 S r2 S L 9 47 2 o m o ×= ×××pi ××pi = µ pi = µ =ℜ −− − Wb106,1 1025,1 4500NFmm 6 9 −×= × × = ℜ = ℜ =Φ I 23 4 6 m/Wb1067,2 106 106,1 S B − − − ×= × × = Φ = CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 76 m/Aesp2120 104 1067,2BH 7 3 o = ×pi × = µ = − − Solução 2: Usando a lei circuital de Ampère: ∫ =• enlaçadaILdH �� ⇒ INr2H m =pi× ⇒ mr2 NH pi = I ⇒ m/Aesp2120 10152 4500H 2 =××pi × = − Exemplo: Seja um toróide de núcleo de aço-silício (figura abaixo) de área de seção reta S = 6 cm2, raio médio rm = 15 cm, com um entreferro ar� = 2 mm, o qual está envolvido por um enrolamento com N = 500 espiras. Calcular a corrente I que deve circular no enrolamento para que a densidade de fluxo magnético em todo o núcleo seja B = 1 Wb/m2. Solução: Escrevendo a equação do circuito elétrico análogo: Φℜ+Φℜ== araçoNFmm I ou, ar,maço,m VVNFmm +== I ou, araraçoaço LHLHNFmm +== I Daí, N LHLH araraçoaço + =I Fazendo Baço = B = 1 Wb/m2 e levando na curva do aço-silício (ver figura acima) obtemos: 200Haço = Aesp/m Fazendo Bar = B = 1 Wb/m2, obtemos: CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 77 5 7 o ar ar 109577,7 104 1BH ×= ×pi = µ = − Aesp/m Logo, ( ) A56,3 500 002,0109577,7002,015,02200 5 = ××+−×pi× =I Nota: Se desejarmos considerar o aumento da área da seção transversal por onde passa o fluxo no ar (devido ao espalhamento de fluxo quando o mesmo passa do ferro para o ar), utiliza-se o fator de espraiamento k, fazendo ferroar kSS = , sendo k > 1. 8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO A energia total armazenada no campo magnetostático no qual B � é relacionado linearmente com H � é obtida por: ∫ •= volH dvHB2 1W �� [J] (Análoga a: ∫ •= volE dvED2 1W �� ) Notas: a) Fazendo HB �� µ= , ou µ = BH � � obtemos: ∫ µ= vol 2 H dvH2 1W ou ∫ µ = vol 2 H dv B 2 1W b) A densidade de energia (em J/m3) é dada por: µ =µ=•= 2 2H B 2 1H 2 1HB 2 1 dv dW �� 8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA Auto-indutância ou indutância própria ou simplesmente indutância, L, de um circuito fechado (espira ou bobina) é definida como a razão entre o fluxo total enlaçado pelo circuito (Λ) e a corrente (I) que produz este fluxo. (Ver figura). II Φ = Λ = NL (Unidade: Henry, H) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 78 Nota: A equação da indutância pode também ser obtida a partir da energia no campo magnético (WH) devido a corrente I que flui no circuito fechado. Assim, temos: 2I HW2L = ⇒ 2IL 2 1WH = Indutância mútua, M, entre 2 circuitos fechados é definida como a razão entre o fluxo total enlaçado pelos 2 circuitos e a corrente que produz este fluxo. (Ver figura). 11 II 12212 12 NM Φ=Λ= (Unidade: Henry, H) Nota: Em termos de energia mútua, temos: ( ) ( )dvHH1dvHB1M vol 21 vol 2112 ∫ •µ=∫ •= ���� 2121 IIII onde: 1B � , 1H � = campo que resulta de I1 (com I2 = 0) 2H � = campo que resulta de I2 (com I1 = 0) Na obtenção de M21, o lado direito da expressão acima não varia, pois o produto escalar é comutativo. Portanto, 2112 MM = Exemplo: A figura mostra 2 solenóides coaxiais de raios r1 e r2, r1 < r2, com n1 e n2 espiras/m. Determinar (em H/m) as auto-indutâncias L1 e L2 e as indutâncias mútuas M12 e M21. Solução: Da seção 7.2, e sendo N = no espiras, n = no espiras/m: zz ana NH �� � � II == bem dentro do solenóide 0H = � fora do solenóide Assim, para o solenóide 1 (interno) temos: >ρ <ρ= = 1 1z1z 1 1 r r para para 0 ana N H �� � � 1 1 I I Similarmente, para o solenóide 2 (externo) temos: >ρ <ρ= = 2 2z2z 2 2 r r para para 0 ana N H �� � � 2 2 I I CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 79 a) Cálculo de L1 e M12 em H/m (supondo I2 = 0): 111 III 11111 1 nNL Φ=Φ=Λ= � onde 2110110111 rnSHSB piµ=µ==Φ 1I Logo: 21 2 10 1 rn L piµ= � [H/m] 111 III 12212212 12nNM Φ=Φ=Λ= � onde 211011011112 rnSHSB piµ=µ==Φ=Φ 1I Logo: 2121012 rnn M piµ= � [H/m] b) Cálculo de L2 e M21 em H/m (supondo I1 = 0): 222 III 22222 2 nNL Φ=Φ=Λ= � onde 2220220222 rnSHSB piµ=µ==Φ 2I Logo: 22 2 20 2 rn L piµ= � [H/m] 222 III 21121121 21 nNM Φ=Φ=Λ= � onde 21201201221 rnSHSB piµ=µ==Φ 2I Logo: �� 122 1210 21 MrnnM =piµ= [H/m] Atenção: Adotando agora n1 = 50 espiras/cm e n2 = 80 espiras/cm; r1 = 2 cm e r2 = 3 cm, para os 2 solenóides coaxiais da figura, calcular os valores numéricos de L1 e L2 e M12 e M21. m/mH5,39L250104L 12271 =⇒×pi×××pi= − m/mH4,227L380104L 2 227 2 =⇒×pi×××pi= − m/mH2,63MM28050104MM 2112272112 ==⇒×pi××××pi== − CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 80 8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8.1) Assume-se que o material ferromagnético da figura possui permeabilidade constante igual a µ. Sendo S1 = S2 = S3 = S = a área da seção reta em qualquer parte do núcleo, �1, �2 e �3 = os comprimentos médios do braço esquerdo, braço central e braço direito, respectivamente (com �1 = �3 = 2 � e �2 = �), determinar: a) A indutância L2 da bobina de N2 espiras do braço central; b) A indutância mútua M21 entre as duas bobinas. Respostas: a) �2 S N L 2 2 2 µ = ; b) �4 S NN M 2121 µ = . 8.2) Um condutor retilíneo muito longo estende-se sobre o eixo y, possuindo uma corrente I1, no sentido indicado. Um condutor de forma retangular rígida, com corrente I2 no sentido ABCDA, é posicionado no plano xy ao lado do condutor retilíneo, conforme mostrado na figura. Determinar: a) Os vetores forças sobre cada um dos lados do condutor retangular; b) O vetor força resultante sobre o condutor retangular; c) O fluxo total devido a I1 que atravessa o condutor retangular; d) A indutância mútua entre os 2 condutores. Respostas: a) x21oAB a 2 b aF pi µ II −= , y 21o BC 2 2 aF ln pi µ II = , x 21oCD a 4 b aF pi µ II = , y 21oDA 2 2 aF ln pi µ II −= ; b) x21oR a 4 b aF pi µ II −= ; c) 2 2 b1o ln pi µ I =Φ ; d) 2 2 b M o12 ln pi µ = . 8.3) Duas placas infinitas, formadas de materiais magnéticos homogêneos, lineares e isotrópicos, de espessuras 3 e 4 [mm], localizam-se no vácuo conforme a figura abaixo. Se �a z tem a direção indicada e � � � �H a a a1 2 3= + +x y z [kA/m] na região (1), ache o ângulo entre o campo vetorial � H e o vetor unitário �a z nas regiões (1), (2), (3) e (4). Respostas: θ1 = θ4 = 36,70o, θ2 = 56,14o; θ3 = 65,91o. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 81 8.4) Um condutor filamentar infinito situa-se sobre o eixo z e conduz uma corrente I1 no sentido za � + . Um segmento reto de condutor sólido se estende de PA(–�, l, 0) a PB(+�, 1, 0). Determinar: a) O campo magnético H� gerado pelo condutor infinito em um ponto genérico sobre o segmento condutor; b) O valor diferencial de força dF que surge devido ao campo magnético H� do item (a) atuando em um ponto genérico no segmento condutor quando este conduz uma corrente I2 no sentido xa � + ; c) O torque resultante totalT � sobre o segmento condutor em relação ao ponto P0 (0, 1, 0). Respostas: a) ) )( 1(x 2 xI 2 xy1 + − = pi aa H ; b) z2 21o 1(x 2 xdxII adF )+ = pi µ ; c) ( ) y21ototal arctg II aT �� − − = pi µ . 8.5) Um eletroimã com a armadura de ferro em forma de ∪ produz força suficiente para manter uma barra de ferro suspensa. Seja µR = 1800 para o ferro da armadura e da barra, e os ampères-espiras aplicados à bobina NI = 1 [kA]. O comprimento médio total ao longo da armadura e da barra é de 1 [m] com uma seção transversal de 0,1 [m2]. Uma lâmina de cobre de 1 [mm] entre a armadura e a barra previne o contato ferro-a-ferro. Adotando µcobre = µo, determinar: a) fluxo magnético produzido pelo eletroimã; b) A massa da barra de ferro (g = 9,8 m/s2). Respostas: a) Φ = 0,0492 [Wb]; b) m = Φ2/(µo g S) = 1965,6 [Kg]. 8.6) Uma espira condutora circular de raio a está localizada sobre o plano z = 0 e nela circula uma corrente I na direção φ+ a � . Para um campo uniforme ( ) 2aaBB yxo ��� += , calcular a magnitude (módulo) e a direção (vetor unitário) do torque na espira. Respostas: Io 2BaT pi= � ; ( ) 2aaa yxT ��� +−= . 8.7) Seja uma bobina solenoidal (solenóide) de N espiras, com núcleo de ar, raio da seção reta igual a a e comprimento do núcleo igual a �. a) Determinar, usando a Lei Circuital de Ampère, a expressão que fornece o campo magnético resultante no interior do solenóide; b) Determinar, utilizando a definição de indutância, a expressão que fornece a indutância própria da bobina solenoidal. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 82 Respostas: a) � � �H a= NI z ; b) L No = µ pi2 2 a � . 8.8) Um toróide, que possui seção transversal quadrada, é limitado pelas superfícies z = 0, z = 20 [mm], ρ = 30 [mm] e ρ = 50 [mm]. A superfície em ρ = 30 [mm] conduz uma corrente distribuída cuja densidade superficial é � �K a= −10 z [kA/m]. Determinar: a) As densidades superficiais de correntes correspondentes às outras três superfícies, isto é ( ) � K ρ=50 , ( ) � K z=0 e ( ) � K z=20 ; b) O campo magnético �H no interior do toróide; c) A energia total armazenada (WH) no interior do toróide, cuja permeabilidade relativa é µR = 20. Respostas: a) ( ) z50 6aK �� = =ρ [kA/m], ( ) ρ= ρ= aK �� 300 0z [A/m] e ( ) ρ= ρ−= aK �� 300 20z [A/m]; b) � �H a= − 300 ρ φ [A/m]; c) WH = 72,6 [mJ]. 8.9) A figura mostra uma bobina com N = 400 espiras enrolada num núcleo de material ferromagnético formado com 2 materiais diferentes: (1) ferro fundido e (2) aço fundido. Determinar a corrente I na bobina, se a densidade de fluxo magnético no ferro fundido é B1 = 0,5 T. Nota: Ver em anexo as curvas B-H destes materiais. Resposta: I = 2,41 A 8.10) Determinar o módulo da intensidade de campo magnético no interior de um material para o qual: a) a densidade de fluxo magnético é 4 mWb/m2 e a permeabilidade relativa é 1,008; b) a suscetibilidade magnética é –0,006 e a magnetização é 19 A/m; c) temos 8,1×1028 átomos/m3, cada átomo possui um momento de dipolo de 4×10-30 A.m2 e χm = 10-4. Respostas: a) H = 3.160 [A/m]; b) H = 3.170 [A/m]; c) H = 3.240 [A/m]. 8.11) Em um certo material magnético φρ= a5H 3 A/m e µ = 4×10-6 H/m. Determinar, para ρ = 2 m: a) J ; b) mJ c) TJ Respostas: a) . za80J = [A/m2]; b) zm a6,174J = [A/m2]; c) zT a6,254J = [A/m2] CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 83 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA84 8.12) a) Usando a lei circuital de Ampère, demonstrar que o campo magnético H� produzido por uma lâmina de corrente com densidade superficial de corrente K � uniforme é expresso por: NaK2 1H � �� ×= sendo: Na � = versor normal à lâmina orientado para o lado desejado b) Uma espira retangular condutora está posicionada sobre o plano z = 0 conforme mostra a figura ao lado, sendo seus vértices em A(1,2,0), B(3,2,0), C(3,6,0) e D(1,6,0). Uma pequena corrente I circula no sentido anti- horário na espira, que está submetida a uma densidade de fluxo magnético B � produzido por 2 lâminas de corrente x1 a400K �� = A/m em z = 3 m, e z2 a300K �� −= A/m em y = 0, no espaço livre. Determinar: b.1) O campo vetorial total B� sobre a espira devido as 2 lâminas de corrente; b.2) As forças resultantes sobre os 4 lados da espira e força total resultante; b.3) O torque total resultante T� em relação ao centro da espira, usando a fórmula FrT ��� ×= . (Nota: Supor as forças aplicadas nos centros de cada lado da espira); b.4) O torque total resultante T� , usando a fórmula BST � �� ×= I . Respostas: a) Demonstração; b.1) xoyo a150a200B ��� µ+µ= b.2) 0F = � , CDzoAB Fa400F ��� −=µ= I , BCzoDA Fa600F ��� −=µ= I ; b.3) yoxo a1200a1600T ��� II µ+µ−= ; b.4) yoxo a1200a1600T ��� II µ+µ−= (igual ao obtido no item anterior) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 85 Anotações do Capítulo VIII
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