A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
15 pág.
ELETROMAG - CAP 8

Pré-visualização | Página 2 de 4

magnético ao pequeno cilindro da figura e fazendo ∆h→0: 
 
0SdBS =•∫
��
 ⇒ 0SBSB 2n1n =∆−∆ ⇒ 2n1n BB = 
 
Logo, a componente normal da densidade de fluxo magnético é contínua, isto é, não se altera. 
 
Aplicando a lei circuital de Ampère ao pequeno circuito fechado da figura, fazendo ∆h→0, temos: 
 
enlaçadaILdH =•∫
��
 ⇒ LKLHLH 2t1t ∆=∆−∆ ⇒ KHH 2t1t =− 
 
Logo, a componente tangencial do campo magnético sofre uma descontinuidade de K, isto é, altera-
se de K quando existe uma distribuição superficial de corrente na fronteira entre os 2 meios. Em 
forma vetorial, a expressão para o campo magnético acima é dada por: 
 ( ) KaHH 12n21 ���� =×− (Nota: 12na� = versor normal à fronteira dirigido da região 1 para a 2) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 75 
Se não existe distribuição de corrente na fronteira, isto é, se K = 0, obtém-se: 2t1t HH = 
 
Logo, a componente tangencial do campo magnético é contínua, isto é, não se altera quando não 
existe uma distribuição superficial de corrente (K) na fronteira entre os 2 meios. 
 
 
8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO 
 
A análise de circuitos magnéticos é feita por analogia com circuitos elétricos de corrente contínua 
constante. O quadro abaixo indica a analogia entre as equações desses circuitos. 
 
CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO 
1) Intensidade de campo elétrico 
VE ∇−=
��
 
1) Intensidade de campo magnético 
mVH ∇−=
��
 
2) Diferença de potencial elétrico 
∫ •=
B
A
AB LdEV
��
 
2) Diferença de potencial magnético 
∫ •=
B
A
AB,m LdHV
��
 
3) Lei de Ohm, forma pontual 
EJ
��
σ= 
3) Densidade de fluxo magnético 
HB
��
µ= 
4) Corrente elétrica 
∫ •= S SdJ
��
I 
4) Fluxo magnético 
Φ = •∫
� �
B dSS 
5) Resistência (R) 
S
LR
σ
= 
5) Relutância (ℜ) 
S
L
µ
=ℜ 
6) Lei de Ohm 
IV R= 
6) Lei de Ohm para circuitos magnéticos 
Φℜ=mV 
7) Lei de Kirchhoff das malhas 
∫ =• 0LdE
��
 
7) Lei circuital de Ampère 
∫ =• enlaçadaILdH
��
 ou ∫ =• NILdH
��
 
 
 
Exemplo: Seja um toróide de núcleo de ar, de área de seção reta 
S = 6 cm2, raio médio rm = 15 cm, envolvido por um 
enrolamento com N = 500 espiras onde circula uma 
corrente I = 4 A. Calcular a intensidade do campo 
magnético H no interior do toróide. 
 
Solução 1: Usando a equação do circuito elétrico análogo: 
LHNFmm =Φℜ== I 
Wb/Aesp1025,1
106104
10152
S
r2
S
L 9
47
2
o
m
o
×=
×××pi
××pi
=
µ
pi
=
µ
=ℜ
−−
−
Wb106,1
1025,1
4500NFmm 6
9
−×=
×
×
=
ℜ
=
ℜ
=Φ I 
23
4
6
m/Wb1067,2
106
106,1
S
B −
−
−
×=
×
×
=
Φ
= 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 76 
m/Aesp2120
104
1067,2BH 7
3
o
=
×pi
×
=
µ
=
−
−
 
 
 
Solução 2: Usando a lei circuital de Ampère: 
∫ =• enlaçadaILdH
��
 ⇒ INr2H m =pi× ⇒ 
mr2
NH
pi
=
I
 ⇒ m/Aesp2120
10152
4500H 2 =××pi
×
=
−
 
 
 
 
Exemplo: Seja um toróide de núcleo de aço-silício (figura abaixo) de área de seção reta S = 6 cm2, 
raio médio rm = 15 cm, com um entreferro ar� = 2 mm, o qual está envolvido por um 
enrolamento com N = 500 espiras. Calcular a corrente I que deve circular no enrolamento 
para que a densidade de fluxo magnético em todo o núcleo seja B = 1 Wb/m2. 
 
 
Solução: 
 
Escrevendo a equação do circuito elétrico análogo: 
Φℜ+Φℜ== araçoNFmm I 
 
ou, 
ar,maço,m VVNFmm +== I 
 
ou, 
araraçoaço LHLHNFmm +== I 
 
Daí, 
N
LHLH araraçoaço +
=I 
 
Fazendo Baço = B = 1 Wb/m2 e levando na curva do aço-silício (ver figura acima) obtemos: 
200Haço = Aesp/m 
 
Fazendo Bar = B = 1 Wb/m2, obtemos: 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 77 
5
7
o
ar
ar 109577,7
104
1BH ×=
×pi
=
µ
=
−
 Aesp/m 
 
Logo, 
( ) A56,3
500
002,0109577,7002,015,02200 5
=
××+−×pi×
=I 
 
Nota: Se desejarmos considerar o aumento da área da seção transversal por onde passa o fluxo no 
ar (devido ao espalhamento de fluxo quando o mesmo passa do ferro para o ar), utiliza-se o 
fator de espraiamento k, fazendo ferroar kSS = , sendo k > 1. 
 
8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO 
 
A energia total armazenada no campo magnetostático no qual B
�
 é relacionado linearmente com H
�
 
é obtida por: 
 
∫ •= volH dvHB2
1W
��
 [J] (Análoga a: ∫ •= volE dvED2
1W
��
) 
 
Notas: a) Fazendo HB �� µ= , ou 
µ
=
BH
�
�
 obtemos: 
∫ µ= vol
2
H dvH2
1W
 ou ∫ µ
= vol
2
H dv
B
2
1W
 
 
b) A densidade de energia (em J/m3) é dada por: 
 
µ
=µ=•=
2
2H B
2
1H
2
1HB
2
1
dv
dW ��
 
 
8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 
 
Auto-indutância ou indutância própria ou simplesmente indutância, L, de um circuito fechado 
(espira ou bobina) é definida como a razão entre o fluxo total enlaçado pelo circuito (Λ) e a corrente 
(I) que produz este fluxo. (Ver figura). 
 
II
Φ
=
Λ
=
NL
 (Unidade: Henry, H) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 78 
Nota: A equação da indutância pode também ser obtida a partir da energia no campo magnético 
(WH) devido a corrente I que flui no circuito fechado. Assim, temos: 
 
2I
HW2L = ⇒ 2IL
2
1WH = 
 
 
Indutância mútua, M, entre 2 circuitos fechados é definida como a razão entre o fluxo total 
enlaçado pelos 2 circuitos e a corrente que produz este fluxo. (Ver figura). 
 
11 II
12212
12
NM Φ=Λ=
 (Unidade: Henry, H) 
 
Nota: Em termos de energia mútua, temos: 
 
( ) ( )dvHH1dvHB1M
vol
21
vol
2112 ∫ •µ=∫ •=
����
2121 IIII
 
 
onde: 
1B
�
, 1H
�
 = campo que resulta de I1 (com I2 = 0) 
2H
�
 = campo que resulta de I2 (com I1 = 0) 
 
Na obtenção de M21, o lado direito da expressão 
acima não varia, pois o produto escalar é 
comutativo. 
Portanto, 
 
2112 MM = 
 
 
Exemplo: A figura mostra 2 solenóides coaxiais de raios r1 e r2, r1 < r2, com n1 e n2 espiras/m. 
Determinar (em H/m) as auto-indutâncias L1 e L2 e as indutâncias mútuas M12 e M21. 
 
Solução: Da seção 7.2, e sendo N = no espiras, n = no espiras/m: 
zz ana
NH ��
�
�
II == bem dentro do solenóide 
0H =
�
 fora do solenóide 
 
Assim, para o solenóide 1 (interno) temos: 




>ρ
<ρ=
=
1
1z1z
1
1
r
r
para
para
0
ana
N
H
��
�
� 1
1 I
I
 
 
Similarmente, para o solenóide 2 (externo) temos: 




>ρ
<ρ=
=
2
2z2z
2
2
r
r
para
para
0
ana
N
H
��
�
� 2
2 I
I
 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 79 
a) Cálculo de L1 e M12 em H/m (supondo I2 = 0): 
 
111 III
11111
1
nNL Φ=Φ=Λ= � onde 2110110111 rnSHSB piµ=µ==Φ 1I 
Logo: 21
2
10
1 rn
L
piµ=
�
 [H/m] 
111 III
12212212
12