Mecanica vetorial exercicios resolvidos

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1. Calcular o momento da força de 600N em torno do ponto O na base do poste 
ilustrado. 
 
 
O Primeiro passo é traçar os eixo x e y. 
 
O ponto (0) será nosso ponto de referência. 
 
|
𝑂 = (0,0,0)
𝐴 = (2,4,0)
𝐹 = (600 cos 40) − (600 sin 40)
| 
 
|
�⃗⃗� 𝑂 = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ 𝐹 
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝐴 − 𝑂)
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,4,0)
| 
 
|�⃗⃗� 𝑂 = |
𝑖 𝑗 𝑘
2 4 0
600 cos 40 600 sin 40 0
|| |
�⃗⃗� 𝑂 = 0𝑖 + 0𝑗 + (2 ∗ 385,7 − 4 ∗ 459,6)
�⃗⃗� 𝑂 = −2609,8 𝑘 ⃗⃗⃗ (𝑁.𝑚)
| 
 
2. Calcular o momento no ponto A, causado pela força de 160kN, conforme ilustrado. 
 
 
Como no exercício anterior, vamos definir os eixo x e y. Após definirmos os eixos 
vamos identificar os pontos A e P e a força F. 
 
|
|
𝐴 = (4 ; −4,5; 0) 
𝑃 = (2 + 15 cos 30 ; 15 sin 30) 
𝑃 = (15 ; 7,5) 
𝐹 = (𝐹 cos 60) − (𝐹 sin 60) 
𝐹 = (80𝑖 ; −138.6𝑗 ) 
|
|
 |
�⃗⃗� 𝑂 = 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ 𝐹 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑃 − 𝐴)
𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (11 ; 12)
| 
 
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|�⃗⃗� 𝐴 = |
𝑖 𝑗 𝑘
11 12 0
80 −138,6 0
|| �⃗⃗� 𝐴 = −2484,6 �⃗� (𝑁.𝑚) 
 
3. O poste AB é sustentado por 3 cabos. Determine o momento em relação a C da força 
exercida pelo cabo BE no ponto B, sabendo que a força no cabo BE é de 840N. 
 
 
1° Definindo os pontos: 2º Achando o Vetor Unitário 
|
|
𝐴 = (3 ; 0 ; 0) 
𝐵 = (3 ; 6 ; 0) 
𝐶 = (0 ; 2 ; 3) 
𝐷 = (6 ; 6 ; 0) 
𝐸 = (6 ; 0 ; 2) 
𝐹 = 840 𝑁 
𝐹 = 𝐹 ∗ 𝑢𝐹 ⇛ 𝐹 = 𝐹 ∗ 𝑢𝐵𝐸̅̅ ̅̅ 
|
|
|
|
𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = (𝐸 − 𝐵)
𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = (3 ; −6 ; 2)
𝑢𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = 
(3 ; −6 ; 2)
√(32 + (−6)2 + 22)
𝑢𝐵𝐸̅̅ ̅̅ = (
3
7
;
−6
7
;
2
7
)
|
|
 
 
Calculando a Força F e suas componentes retangulares. 
 
 ||
𝐹 = 𝐹 ∗ 𝑢𝐵𝐸̅̅ ̅̅
𝐹 = 840 (
3
7
;
−6
7
;
2
7
)
𝐹 = (360𝑖 ; −720𝑗 ; 240�⃗� )
|| 
 
Calculando o momento em C. 
 
|
�⃗⃗� 𝐶 = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ 𝐹 
𝐶𝐵 = (𝐵 − 𝐶)
𝐶𝐵 = (3 ; 4 ; −3)
| �⃗⃗� 𝐶 = |
𝑖 𝑗 𝑘
3 4 −3
360 −720 240
| 
 
�⃗⃗� 𝐶 = −1200𝑖 − 1800𝑗 − 3600�⃗� (𝑁.𝑚) 
 
O Módulo do Momento em C é: 
 
|�⃗⃗� 𝐶| = √((−1200)2 + (−1800)2 + (−3600)2) 
 
|�⃗⃗� 𝐶| = 4200 N.m 
 
 
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4. A barra AB é submetida a uma força de 60N orientada de C para B. Determine o 
momento criado por F em relação a A. 
 
 
1° Definindo os pontos: 2º Achando o Vetor Unitário 
|
|
𝐴 = (0 ; 0 ; 0) 
𝐵 = (1 ; 3 ; 2) 
𝐶 = (3 ; 4 ; 0)
𝐹 = 60 𝑁 
𝐹 = 𝐹 ∗ 𝑢𝐹 ⇛ 𝐹 = 𝐹 ∗ 𝑢𝐶𝐵̅̅ ̅̅ 
|
|
|
|
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = (𝐵 − 𝐶)
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = (−2 ; −1 ; 2)
𝑢𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 
(−2 ; −1 ; 2)
√((−2)2 + (−1)2 + 22)
𝑢𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = (
−2
3
;
−1
3
;
2
3
)
|
|
 
 
Calculando a Força F e suas componentes retangulares. 
 
 ||
𝐹 = 𝐹 ∗ 𝑢𝐵𝐸̅̅ ̅̅
𝐹 = 60 (
−2
3
;
−1
3
;
2
3
)
𝐹 = (−40𝑖 ; −20𝑗 ; 40�⃗� )
|| 
 
Calculando o momento em C. 
 
|
�⃗⃗� 𝐴 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∧ 𝐹 
𝐴𝐵 = (𝐵 − 𝐴)
𝐴𝐵 = (1 ; 3 ; 2)
| �⃗⃗� 𝐶 = |
𝑖 𝑗 𝑘
1 3 2
−40 −20 40
| 
 
�⃗⃗� 𝐴 = 160𝑖 − 120𝑗 + 100�⃗� (𝑁.𝑚) 
 
O Módulo do Momento em C é: 
 
|�⃗⃗� 𝐴| = √((160)2 + (−120)2 + (100)2) 
 
 
 
|�⃗⃗� 𝐴| = 223,6 N.m 
 
 
 
 
 
 
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5. Determine o momento de F em relação ao eixo BC. 
 
𝑢𝐵𝐶 =
(𝐶 − 𝐵)
 (𝐶 − 𝐵) 
= 𝑗 
𝐹𝑥 = 400. 𝑐𝑜𝑠30° = 346,41𝑁 
𝐹𝑦 = 400. 𝑠𝑒𝑛30° = 200𝑁 
𝑀𝐵𝐶 = 𝑢𝐵𝐶 . (𝜏𝐵𝐴.𝐹) = 
0 1 0
0 0 −2,5
346,41 200 0
 = −866𝑁𝑚 
 
𝑀𝐵𝐶 = 𝑀𝐵𝐶 .𝑢𝐵𝐶 = −866𝑗𝑁𝑚 
 
 
6. Determine o momento da força de 100N, aplicada em A, em relação ao eixo que 
passa por OC. 
 
 
O primeiro passo é definir todos os pontos. 
 
|
𝐴 = (3; 5; 0)
𝐵 = (0; 5; 4)
𝐶 = (0; 1; 1)
𝑂 = (0; 0; 0)
| 
 
O Segundo passo é calcular o vetor 𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹𝜆𝐴𝐵 
 
𝜆𝐴𝐵 =
(𝐵 − 𝐴)
 (𝐵 − 𝐴) 
→ 𝜆𝐴𝐵 =
(−3; 0; 4)
√((−3)2 + (0)2 + 42)
→ 𝜆𝐴𝐵 = (
−3
5
;
0
5
;
4
5
) 
 
 
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𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 100 (
−3
5
;
0
5
;
4
5
) → 𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −60𝑖 + 0𝑗 + 80�⃗� 
 
7. Uma força de 500N forma os ângulos de 60°, 45° e 120°, respectivamente, com os 
eixos x, y, e z. encontre os componentes Fx, Fy e Fz da força. 
 
𝐹𝑥 = 500 cos 60 
𝐹𝑥 = 250 𝑁 
 
𝐹𝑦 = 500 cos 45 
𝐹𝑦 = 353.4 𝑁 
 
𝐹𝑧 = 500 cos 120 
𝐹𝑧 = 250 𝑁 
 
 
8. A força F tem os componentes Fx=90N, Fy= -135N, Fz=270N. Determine sua 
intensidade F e os ângulos 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 e 𝜃𝑧 que essa força forma com os eixos coordenados. 
𝐹 = 90𝑖 − 135𝑗 + 270�⃗� 
 
|𝐹 | = √902 + (−135)2 + 2702 
 
𝐹 = 315 𝑁 
 
𝜃𝑥 = cos
−1 (
𝐹𝑥
𝐹
) ;→ 𝜃𝑥 = cos
−1 (
90
315
) → 73.40° 
𝜃𝑦 = cos
−1 (
𝐹𝑦
𝐹
) ;→𝜃𝑦 = cos
−1 (
−135
315
) ;→ 115.37° 
𝜃𝑦 = cos
−1 (
𝐹𝑧
𝐹
) ;→ 𝜃𝑦 = cos
−1 (
270
315
) ;→ 31° 
 
9. Um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. 
A tração no cabo é de 2500N. Determine (a) os componentes 𝐹𝑥, 𝐹𝑦 e 𝐹𝑧 da força atuante 
sobre o parafuso, e (b) os ângulos 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 e 𝜃𝑧 que definem a força. 
 
 
𝐴 = (40; 0;−30) 
𝐵 = (0; 80; 0) 
𝐹 = 2500 𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o vetor AB 
𝐴𝐵 = (𝐵 − 𝐴) 
𝐴𝐵 = (−40; 80; 30) 
 
 
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Calculando o vetor 𝐹 
𝐹 𝐴𝐵 = 𝐹𝜆𝐴𝐵 
 
Calculando o vetor 𝜆𝐴𝐵 
𝜆𝐴𝐵 =
𝐴𝐵
 𝐴𝐵 
→ 𝜆𝐴𝐵 =
(−40; 80; 30)
√((−40)2 + (80)2 + (30)2)
→ 𝜆𝐴𝐵 = (
−40
94.3
;
80
94.3
;
30
94.3
) 
 
𝐹 = 2500 (
−40
94.3
;
80
94.3
;
30
94.3
) → 𝐹 = (−1060.4𝑖 + 2120.9𝑗 + 795. �⃗� )𝑁𝑚 
 
𝜃𝑥 = cos
−1 (
𝐹𝑥
𝐹
) ;→ 𝜃𝑥 = cos
−1 (
−1060.4
2500
) → 115.1° 
𝜃𝑦 = cos
−1 (
𝐹𝑦
𝐹
) ;→𝜃𝑦 = cos
−1 (
2120.9
2500
) ;→ 32° 
𝜃𝑦 = cos
−1 (
𝐹𝑧
𝐹
) ;→ 𝜃𝑦 = cos
−1 (
270
315
) ;→ 71.5° 
 
10. Uma seção de um muro de concreto pré-moldado é temporariamente segura pelos 
cabos mostrados. Sabendo que a tração é de 3780N no cabo AB e 5400 no cabo AC, 
determine a intensidade e a direção da resultante das forças exercidas pelos cabos AB e 
AC na estaca A. 
1° Definir os pontos 
 
𝐴 = (4.8; 0;−3.3) 
𝐵 = (0; 2.4; 0) 
𝐶 = (0; 2.4; −8.1) 
𝐹𝐴𝐵 = 3780 𝑁 
𝐹𝐴𝐶 = 5400 𝑁 
 
2° calculando AB e AC 
 
𝐹 𝐴𝐵 = 𝐹𝜆𝐴𝐵 
 
𝐴𝐵 = (𝐵 − 𝐴) = (−4.8; 2.4; 3.3) 
 
𝜆𝐴𝐵 =
𝐴𝐵
 𝐴𝐵 
→ 𝜆𝐴𝐵 =
(−4.8; 2.4; 3.3)
√((−4.8)2 + (2.4)2 + (3.3)2)
→ 𝜆𝐴𝐵 = (
−4.8
6.3
;
2.4
6.3
;
3.3
6.3
) 
 
𝐹 𝐴𝐵 = 3780 (
−4.8
6.3
;
2.4
6.3
;
3.3
6.3
) → 𝐹 𝐴𝐵 = (−2880.3𝑖 + 1440𝑗 + 1980. �⃗� )𝑁𝑚 
 
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𝐹 𝐴𝐶 = 𝐹𝜆𝐴𝐶 
 
𝐴𝐶 = (𝐶 − 𝐴) = (−4.8; 2.4; −4.8) 
 
𝜆𝐴𝐶 =
𝐴𝐶
 𝐴𝐶 
→ 𝜆𝐴𝐶 =
(−4.8; 2.4; −4.8)
√((−4.8)2 + (2.4)2 + (−4.8)2)
→ 𝜆𝐴𝐵 = (
−4.8
7.88
;
2.4
7.88
;
−4.8
7.88
) 
 
𝐹 𝐴𝐶 = 5400 (
−4.8
7.2
;
4
7.2
;
3.3
7.2
) → 𝐹 𝐴𝐶 = (−3600𝑖 + 1800𝑗 − 3600. �⃗� )𝑁𝑚 
 
�⃗� = 𝐹 𝐴𝐵 + 𝐹 𝐴𝐶 → 𝑅 = (−6480𝑖 + 3240𝑗 − 1620�⃗� )𝑁𝑚 
|�⃗� | = √((−6480)2+(3240)2 + (−1620)2) 
𝑅 = 7423.8𝜃𝑥 = cos
−1 (
𝐹𝑥
𝐹
) ;→ 𝜃𝑥 = cos
−1 (
−6480
7423.8
) → 150.8° 
𝜃𝑦 = cos
−1 (
𝐹𝑦
𝐹
) ;→𝜃𝑦 = cos
−1 (
3240
7423.8
) ;→ 64.1° 
𝜃𝑦 = cos
−1 (
𝐹𝑧
𝐹
) ;→ 𝜃𝑦 = cos
−1 (
−1620
3240
) ;→102.6° 
 
11. Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por 
parafusos em B, C e D. Se a tração no cabo AB é 2100N, determine os componentes da 
força exercida pelo cabo no parafuso em B. 
 
 
 
 
1° Definir os pontos 
 
𝑂 = (0; 0; 0; ) 
𝐴 = (0; 20; 0) 
𝐵 = (−4; 0; 5) 
𝐶 = (12; 0; 3.6) 
𝐷 = (−4; 0;−14.8) 
𝐹𝐴𝐵 = 2100 𝑁 
 
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2° calculando AB 
 
𝐹 𝐴𝐵 = 𝐹𝜆𝐴𝐵 
 
𝐴𝐵 = (𝐵 − 𝐴) = (0;−24; 5) 
 
𝜆𝐴𝐵 =
𝐴𝐵
 𝐴𝐵 
→ 𝜆𝐴𝐵 =
(−4;−20; 5)
√((−4)2 + (−20)2 + (5)2)
→ 𝜆𝐴𝐵 = (
−4
21
;
−20
21
;
5
21
) 
 
𝐹 𝐴𝐵 = 2100 (
−4
21
;
−20
21
;
5
21
) → 𝐹 𝐴𝐵 = (400𝑖 + 2000𝑗 − 500. �⃗� )𝑁𝑚 
 
12. Uma peça de máquina de peso W é temporariamente sustentada por cabos AB, AC e 
ADE é fixado no anel em A, passa pela roldana em D, retorna através do anel e é fixado 
no suporte em E. Sabendo que W = 1400 N, determine a tração em cada cabo. (Dica: a 
tração é a mesma em todas as porções de ADE.) 
 
 
 
 
 
𝐴 = (0;−2.4; 0) 
𝐵 = (−2.7; 0;−3.6) 
𝐶 = (0; 0; 1.8) 
𝐷 = (1.2; 0;−0.3) 
𝐸 = (−2.4; 0; 1.2) 
𝑊 = 1400 𝑁 
 
𝐴𝐵 = (𝐵 − 𝐴) → 𝑇𝐴𝐵 = (−2.7; 2.4; −3.6) 
𝐴𝐶 = (𝐶 − 𝐴) → 𝑇𝐴𝐵 = (0; 2.4; 1.8) 
𝐴𝐷 = (𝐷 − 𝐴) → 𝑇𝐴𝐷 = (1.2; 2.4;−0.3) ; 𝟐𝑻𝑨𝑫 = (𝟐. 𝟒; 𝟒. 𝟖 − 𝟎. 𝟔) 
𝐴𝐸 = (𝐸 − 𝐴) → 𝑇𝐴𝐸 = (−2.4; 2.4; 1.2) 
 
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∑ = 0
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠(𝑋;𝑌;𝑍)
 
 
13. Um caixote de 750 Kg é sustentado por três cabos, como mostra a figura. Determine 
a tração em cada cabo. 
 
1° Achando os pontos. 
 
𝐴 = (0;−1.2; 0) 
𝐵 = (−0.72; 0;−0.54) 
𝐶 = (0; 0; 0.64) 
𝐷 = (0.8; 0;−0.54) 
𝑊 = 𝑚𝑔 → 𝑊 = 750 ∗ 9.8 
𝑊 = −7350 𝑁 
 
𝐴𝐵 = (𝐵 − 𝐴) → 𝐴𝐵 = (−0.72; 1.2; −0.54) 
𝐴𝐶 = (𝐶 − 𝐴) → 𝐴𝐶 = (0; 1.2; 0.64) 
𝐴𝐷 = (𝐷 − 𝐴) → 𝐴𝐷 = (0.8; 1.2; −0.54) 
 
Sabemos que 𝐹 = 𝐹𝜆𝐴𝐵 logo: 𝜆𝐴𝐵 = (
𝐴𝐵
 𝐴𝐵 
) 
 
�⃗� 𝐴𝐵 = 𝑇𝜆𝐴𝐵 → �⃗� 𝐴𝐵 = 𝑇𝐴𝐵(−0.48; 0.8; −0.36) 
�⃗� 𝐴𝐶 = 𝑇𝜆𝐴𝐶 → �⃗� 𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶(0; 0.8823; 0.4705) 
�⃗� 𝐴𝐷 = 𝑇𝜆𝐴𝐷 → �⃗� 𝐴𝐷 = 𝑇𝐴𝐷(0.5194; 0.7792;−0.3506) 
 
∑ = 0
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠(𝑋;𝑌;𝑍)
 
 
−0.48𝑇𝐴𝐵 + 0𝑇𝐴𝐶 + 0.5194𝑇𝐴𝐷 = 0 
0.8𝑇𝐴𝐵 + 0.8823𝑇𝐴𝐶 + 0.7792𝑇𝐴𝐷 = 7350 
−0.36𝑇𝐴𝐵 + 0.4705𝑇𝐴𝐶 − 3506𝑇𝐴𝐷 = 0 
 
 
𝑇𝐴𝐵 = 2.622 𝐾𝑁 
 
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𝑇𝐴𝐶 = 3.812 𝐾𝑁 
𝑇𝐴𝐷 = 2.423 𝐾𝑁 
 
 
14. Uma placa retangular é sustentada por três cabos, como mostra a figura. Sabendo 
que a tração no cabo 𝐴𝐶 é de 67,5 𝑁, determine o peso da placa. 
 
 
 𝐴 = (0; 1.2; 0) 
 𝐵 = (−0.8; 0; 0.9) 
 𝐶 = (1.125; 0; 0.9) 
 𝐷 = (0.625; 0;−0.9) 
 𝑊 =? 
 
 𝐴𝐵 = (𝐵 − 𝐴) → 𝐴𝐵
= (−0.8;−1.2; 0.9) 
 𝐴𝐶 = (𝐶 − 𝐴) → 𝐴𝐶
= (1.125;−1.2; 0.9) 
 𝐴𝐷 = (𝐷 − 𝐴) → 𝐴𝐷
= (0.625;−1.2;−0.9) 
 
 
 
 
𝜆𝐴𝐵 =
𝐴𝐵
 𝐴𝐵 
→ 𝜆𝐴𝐵 =
(−0.8;−1.2; 0.9)
√((−0.8)2 + (−1.2)2 + (0.9)2)
→ 𝜆𝐴𝐵
= (−0.4706;−0.7059; 0.5294) 
 
𝜆𝐴𝐶 =
𝐴𝐶
 𝐴𝐶 
→ 𝜆𝐴𝑐 =
(1.125;−1.2; 0.9)
√((1.125)2 + (−1.2)2 + (0.9)2)
→ 𝜆𝐴𝑐 = (0.6;−0.6713; 0.48) 
 
𝜆𝐴𝐶 =
𝐴𝐶
 𝐴𝐶 
→ 𝜆𝐴𝑐 =
(0.625;−1.2;−0.9)
√((0.625)2 + (−1.2)2 + (−0.9)2)
→ 𝜆𝐴𝑐
= (0.3846;−0.7385;−0.5539) 
 
Sabemos que 𝐹 = 𝐹𝜆𝐴𝐵 logo: 𝜆𝐴𝐵 = (
𝐴𝐵
 𝐴𝐵 
) 
 
�⃗� 𝐴𝐵 = 𝑇𝜆𝐴𝐵 → �⃗� 𝐴𝐵 = 𝑇𝐴𝐵(−0.4706;−0.7059; 0.5294) 
�⃗� 𝐴𝐶 = 𝑇𝜆𝐴𝐶 → �⃗� 𝐴𝐶 = 67.5(0.6; −0.64; 0.48) → �⃗⃗� 𝑨𝑪 = (𝟒𝟎. 𝟓;−𝟒𝟑. 𝟐; 𝟑𝟐. 𝟒) 
�⃗� 𝐴𝐷 = 𝑇𝜆𝐴𝐷 → �⃗� 𝐴𝐷 = 𝑇𝐴𝐷(0.3846;−0.7385;−0.5539) 
 
∑ = 0
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠(𝑋;𝑌;𝑍)
 
 
(−0.4706)𝑇𝐴𝐵 + 40.5 + (0.3846)𝑇𝐴𝐷 = 0 
(−0.7059)𝑇𝐴𝐵 − 𝟒𝟑. 𝟑𝟏 − 0.7385𝑇𝐴𝐷 + 𝑃 = 0 
(0.5294)𝑇𝐴𝐵 + 𝟑𝟐. 𝟒 − 0.5539𝑇𝐴𝐷 = 0 
 
(−0.4706)𝑇𝐴𝐵 + (0.3846)𝑇𝐴𝐷 = −40.5 
 
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(−0.7059)𝑇𝐴𝐵 − (0.7385)𝑇𝐴𝐷 + 𝑃 = 43.2 
(0.5294)𝑇𝐴𝐵 − (0.5539)𝑇𝐴𝐷 = −32.40 
 
𝑇𝐴𝐵 = 611.98 𝑁 
𝑇𝐴𝐶 = 67.5 𝑁 
𝑇𝐴𝐷 = 643,53 𝑁 
 𝑃 = 950.45 𝑁 
 
 
15. Uma placa retangular é sustentada por três cabos, como mostra a figura. Sabendo 
que a tração no cabo 𝐴𝐷 é de 540 𝑁, determine o peso da placa. 
 
 
 𝐴 = (0; 1.2; 0) 
 𝐵 = (−0.8; 0; 0.9) 
 𝐶 = (1.125; 0; 0.9) 
 𝐷 = (0.625; 0;−0.9) 
 𝑊 =? 
 
 𝐴𝐵 = (𝐵 − 𝐴) → 𝐴𝐵
= (−0.8;−1.2; 0.9) 
 𝐴𝐶 = (𝐶 − 𝐴) → 𝐴𝐶
= (1.125;−1.2; 0.9) 
 𝐴𝐷 = (𝐷 − 𝐴) → 𝐴𝐷
= (0.625;−1.2;−0.9) 
 
 
 
 
 
𝜆𝐴𝐵 =
𝐴𝐵
 𝐴𝐵 
→ 𝜆𝐴𝐵 =
(−0.8;−1.2; 0.9)
√((−0.8)2 + (−1.2)2 + (0.9)2)
→ 𝜆𝐴𝐵
= (−0.4706;−0.7059; 0.5294) 
 
𝜆𝐴𝐶 =
𝐴𝐶
 𝐴𝐶 
→ 𝜆𝐴𝑐 =
(1.125;−1.2; 0.9)
√((1.125)2 + (−1.2)2 + (0.9)2)
→ 𝜆𝐴𝑐 = (0.6;−0.6713; 0.48) 
 
𝜆𝐴𝐶 =
𝐴𝐶
 𝐴𝐶 
→ 𝜆𝐴𝑐 =
(0.625;−1.2;−0.9)
√((0.625)2 + (−1.2)2 + (−0.9)2)
→ 𝜆𝐴𝑐
= (0.3846;−0.7385;−0.5539) 
 
Sabemos que 𝐹 = 𝐹𝜆𝐴𝐵 logo: 𝜆𝐴𝐵 = (
𝐴𝐵
 𝐴𝐵 
) 
 
�⃗� 𝐴𝐵 = 𝑇𝜆𝐴𝐵 → �⃗� 𝐴𝐵 = 𝑇𝐴𝐵(−0.4706;−0.7059; 0.5294) 
�⃗� 𝐴𝐶 = 𝑇𝜆𝐴𝐶 → �⃗� 𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶(0.6; −0.64; 0.48) 
�⃗� 𝐴𝐷 = 𝑇𝜆𝐴𝐷 → �⃗� 𝐴𝐷 = 540(0.3846;−0.7385;−0.5539) → �⃗⃗� 𝑨𝑫
= (𝟐𝟎𝟕. 𝟕;−𝟑𝟗𝟖. 𝟖;−𝟐𝟗𝟗. 𝟏) 
 
 
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∑ = 0
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠(𝑋;𝑌;𝑍)
 
 
(−0.4706)𝑇𝐴𝐵 + 0.6𝑇𝐴𝐶 + 207.7 = 0 
(−0.7059)𝑇𝐴𝐵 − 0.64𝑇𝐴𝐶 − 398.8 + 𝑃 = 0 
(0.5294)𝑇𝐴𝐵 + 0.48 − 299.1 = 0 
 
(−0.4706)𝑇𝐴𝐵 + 0.6𝑇𝐴𝐶 = −207.7 
(−0.7059)𝑇𝐴𝐵 − 0.64𝑇𝐴𝐶 + 𝑃 = 398.8 
(0.5294)𝑇𝐴𝐵 + 0.48 = 299.10 
 
𝑇𝐴𝐵 = 513.6 𝑁 
𝑇𝐴𝐶 = 56.66 𝑁 
𝑇𝐴𝐷 = 540𝑁 
 𝑃 = 797.61 𝑁