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Aspectos Probabilisticos Resumo

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Aspectos Probabil´ısticos Relativos a Ac¸o˜es Ambientais
SH Sphaier
1 Definic¸o˜es Ba´sicas
Para o estudo da elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar num determinado ponto em relac¸a˜o a um
n´ıvel me´dio de refereˆncia vamos definir algumas grandezas caracter´ısticas (ver figura 1):
- Zero Ascendente (Descendente) - Diz-se que ζ(t) tem um zero ascendente (descendente)
em t, se ζ(t0) = 0 e ζ˙(t) > 0 (< 0)
- Crista (Cava) - Posic¸a˜o de ζ(t) em que ζ˙(t) tem um zero descendente (ascendente).
- Ma´ximos (Mı´nimos) - A ordenada de ζ(t), em relac¸a˜o ao n´ıvel me´dio, quando ζ(t) e´
uma crista (cava).
- Altura de onda cava-crista - diferenc¸a entre o ma´ximo e o mı´nimo precedente Hcc.
- Altura de onda de zero ascendente - Ma´xima diferenc¸a de valores de ζ(t) entre dois zeros
ascendentes consecutivos Hz.
- Per´ıodo de crista - e´ o intervalo de tempo entre duas cristas sucessivas.
- Per´ıodo de zero-ascendente - e´ o intervalo de tempo entre dois zeros ascendentes con-
secutivos.
1.1 Distribuic¸o˜es Associadas ao Comportamento do Navio no Mar
1.1.1 Distribuic¸o˜es de Gauss
Antes de nos atermos ao estudo probabil´ıstico de um registro do mar, vamos introduzir o
que chamamos largura de banda. Um registro de elevac¸o˜es de um ponto do mar ao longo
do tempo pode visto como a composic¸a˜o de va´rias func¸o˜es senos e cossenos, com um par
1
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
Figura 1: Definic¸o˜es
Texto Preliminar, SH Sphaier 3
para distintas frequeˆncias e com suas amplitudes. Pode tambe´m ser visto tambe´m como a
composic¸a˜o de cossenos dotados de fases:
ζ(t) =
N∑
n=1
[an cos(σnt) + bn sin(σnt)] =
N∑
n=1
cn cos(σnt+ α)
onde c2n = a
2
n + b
2
n e α = arctan bn/an
Dizemos que o sinal e´ de banda larga de as frequeˆncias σn = 2pi/Tn, onde Tn sa˜o os
per´ıodos teˆm coeficientes cn com intensidade significante para uma grande faixa de per´ıodos.
Caso os valores de cn sejam bem mais intensos em uma pequena faixa de per´ıodos, dizemos
que o sinal e´ de banda estreita.
Nesta mesma linha de racioc´ınio podemos pensar em sinais com concentrac¸a˜o de fortes
intensidade em torno de dois per´ıodos. Dizemos que o mar e´ bimodal. Podemos estender este
conceito para mar trimodal e etc.
De particular importaˆncia e´ a distribuc¸a˜o normal, por ser esta a forma com a qual di-
versos fenoˆmenos da natureza encontram-se distribu´ıdos e particularmente na engenharia na
engenharia oceaˆnica. Deve-se antecipar que ao se estudar a elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar,
verifica-se que esta varia´vel aleato´ria e´ normalmente distribu´ıda.
A distribuic¸a˜o normal e´ dada pela seguinte expressa˜o:
pX(x) =
1√
2piσ
e
−(x− µ)
2
2σ2
e assim
PX(x) =
1√
2piσ
∫ x
−∞
e
−(x− µ)
2
2σ2 dx
onde µ e σ sa˜o os paraˆmetros da distribuic¸a˜o (ver figuras 2 e 3). As principais propriedades
que podemos destacar sa˜o:
1. ∫ ∞
−∞
e−x
2
dx =
√
pi
2. ∫ ∞
−∞
pX(x)dx = 1
3. ∫ ∞
−∞
xpX(x)dx = µ
Texto Preliminar, SH Sphaier 4
Figura 2: Func¸a˜o de densidade de probabilidade de Gauss
4. ∫ ∞
−∞
(x− µ)2pX(x)dx = σ2
Pode-se mostrar que o valor ma´ximo se da´ para x = µ e a curva apresenta pontos de
inflexa˜o para x = µ± σ.
Texto Preliminar, SH Sphaier 5
Figura 3: Func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade de Gauss
Texto Preliminar, SH Sphaier 6
1.1.2 Distribuic¸o˜es de Rayleigh
Outra distribuic¸a˜o importante no estudo de corpos operando no mar e´ a distribuic¸a˜o de
Rayleigh. Esta e´ a distribuic¸a˜o que as varia´veis ma´ximos e alturas cava-crista de um registro
seguem quando o sinal e´ de banda estreita.
As func¸o˜es de densidade e de distribuic¸a˜o pX(x) e PX(x) teˆm a forma:
pX(x) =
x
r
e−x
2/2r
PX(x) = 1− e−x2/2r
onde r e´ o paraˆmetro da distribuic¸a˜o de Rayleigh (ver figura 4). Como veremos adiante,
para os ma´ximos e as alturas de um sinal de banda estreita, o paraˆmetro da distribuic¸a˜o de
Rayleigh r esta´ relacionado com a variaˆncia da varia´vel aleato´ria elevac¸o˜es.
Figura 4: Func¸a˜o de densidade de probabilidade de Rayleigh
O valor x1/n da varia´vel aleato´ria X, cuja probabilidade de ser excedido e´ 1/n, e´ dado por
1
n
=
∫ ∞
x1/n
p(x)dx = 1−
∫ x1/n
0
p(x)dx = 1− P (x1/n)
e o valor me´dio de x de 1-ene´simo das mais altas observac¸o˜es e´ dado por
x¯1/n =
∫∞
x1/n
xp(x)dx∫∞
x1/n
p(x)dx
= n
∫ ∞
x1/n
xp(x)dx
Texto Preliminar, SH Sphaier 7
No caso espec´ıfico da varia´vel aleato´ria em estudo ser a varia´vel picos (ma´ximos) x =
ζm, que no caso de um processo de banda estreita pode considerar-se ter distribuic¸a˜o de
probabilidade segundo a lei de Rayleigh, teremos para o valor ζm 1/n
1− P (ζm 1/n) =
∫ ∞
ζm 1/n
x
m0
e−x
2/(2m0) =
1
n
onde m0 = r e´ o paraˆmetro da distribuic¸a˜o de Rayleigh que, como veremos, e´ igual a variaˆncia
do processo das elevac¸o˜es.
Enta˜o ζ2m 1/n = 2m0 lnn
Deve ser entendido que o valor ζm 1/n e´ o valor da varia´vel aleato´ria ζm cuja chance de ser
excedido e´ 1/n.
O valor ζ¯m 1/n e´ a soluc¸a˜o da seguinte integral:
ζ¯m 1/n = n
∫ ∞
ζm 1/n
x2
m0
e−x
2/(2m0)
que nos fornece os seguintes valores importantes:
- valor me´dio 1/n = 1/2
ζ¯m 1/2 = 1.25
√
m0
- valor significativo 1/n = 1/3
ζ¯m 1/3 = 2.0
√
m0
- valor 1/10
ζ¯m 1/10 = 2.55
√
m0
- valor 1/100
ζ¯m 1/100 = 3.34
√
m0
A figura 5 mostra como os valores 1/n podem ser visualizados graficamente.
Outro valor bastante utilizado e´ aquele que corresponde ao valor ζm 1/n para n = 1000,
considerando como valor cr´ıtico. Isto por que adimitindos que o corpo encontra-se sujeito a
um estado de mar cr´ıtico, uma tempestade, com durac¸a˜o me´dia de 3 horas e per´ıodo me´dio
um pouco abaixo de 10 segundos, o que acarretaria uma exposic¸a˜o a um total de cerca de
1000 ciclos. O valor cr´ıtico ζmcrit e´ enta˜o
ζmcrit = ζm 1/1000 =
√
2m0 ln 1000 = 3.72
√
m0 = 1.86ζ¯m 1/3
Texto Preliminar, SH Sphaier 8
Figura 5: Valores estat´ısticos 1/n
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
1.1.3 Distribuic¸o˜es de Weibull
A distribuic¸a˜o de Weibull de dois paraˆmetros de uma varia´vel X e´ dada por:
pX(x) =
r
k
(
x
k
)r−1 e−(x/k)
r
PX(x) = 1− e−(x/k)r
onde r e k sa˜o os dois paraˆmetros da distribuic¸a˜o.
Tendo um registro de um sinal, podemos extrair dele todas alturas cava-crista. Se fizermos
a me´dia do terc¸o das maiores alturas, temos a altura significativa Hs, ou altura um-terc¸o H1/3.
Isto e´, cada registro fornece um valor de altura significativa. Se reunirmos va´rios registros e
de cada um retirarmos a altura significatica, teremos uma amostra da varia´vel Hs ( ou H1/3).
Aceita-se que esta varia´vel aleato´ria segue a distribuic¸a˜o de Weibull de 2 paraˆmetros.
Aplicando-se ao caso de uma regia˜o do mar, temos X = Hs. Fazemos diversos registros,
determinamos para cada um deles seu Hs e formamos com o conjunto de valores uma amostra.
Com esta amostra, admitindo que a varia´vel aleato´ria segue a distribuic¸a˜o de Rayleigh, de-
terminamos os paraˆmetros dois paraˆmetros γ = r e H0 = k para a regia˜o onde estamos
observando o mar.
A partir da func¸a˜o de distribuic¸a˜o podemos determinar a probabilidade de excedeˆncia de
um valor de Hs:
1− PHs(Hs) = e−(Hs/H0)
γ
Texto Preliminar, SH Sphaier 10
2 Elevac¸o˜es, Ma´ximos e Alturas
Consideremos que a varia´vel aleato´ria ζ(t) obtida durante um per´ıodo de observac¸a˜o de
cerca de 30 minutos da elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar em relac¸a˜o a posic¸a˜o de repouso, repre-
senta devidamente o mar (estacionariedade e ergodicidade ver apeˆndice) e segue a distribuic¸a˜o
de densidade de probabilidade de Gauss com me´dia zero, isto e´:
pZ(ζ) =
1√
2piσζ
e−ζ
2/2σ2ζ
A partir da distribuic¸a˜o